PME視角下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)框架

摘要：從PME視角研究數(shù)學(xué)概念教學(xué)，綜合數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延、數(shù)學(xué)概念的心理表征、數(shù)學(xué)概念教學(xué)方式及信息加工理論下的學(xué)習(xí)階段，提出關(guān)于PME視角下數(shù)學(xué)概念教學(xué)的具體設(shè)計(jì)框架并對(duì)該框架作出具體說明.從PME視角下研究數(shù)學(xué)概念教學(xué)，在認(rèn)知心理層次上找到阻礙概念形成與轉(zhuǎn)變的因素，設(shè)計(jì)出符合數(shù)學(xué)概念特征和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念心理規(guī)律的教學(xué)方案，最終有效地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的加工.

關(guān)鍵詞：PME；概念教學(xué)；概念意象

1 研究背景及問題

構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)概念，正確掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提.概念的理解是數(shù)學(xué)教學(xué)中最基本、最主要的任務(wù)之一，而概念的形成與轉(zhuǎn)變是一個(gè)連續(xù)的動(dòng)態(tài)心理歷程，因此數(shù)學(xué)概念教學(xué)需要綜合數(shù)學(xué)概念的特征與學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)心理規(guī)律等各方面因素，嚴(yán)格審視數(shù)學(xué)概念教學(xué)的整體設(shè)計(jì)過程，才能使學(xué)生徹底理解數(shù)學(xué)概念，這也是上好一堂概念課的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)（psychology of mathematics education，簡(jiǎn)記為PME）是研究學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律以及教師如何根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律進(jìn)行有效教學(xué)設(shè)計(jì)的學(xué)科^［1］.PME理論對(duì)于教師的教及學(xué)生的學(xué)都有著極強(qiáng)的指導(dǎo)意義，因此從PME視角下提出數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)框架，考慮從PME視角透視數(shù)學(xué)概念教學(xué)，以學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理規(guī)律和數(shù)學(xué)概念的特征為出發(fā)點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)方案，最終達(dá)到學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念并成功加工到已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的目的.

研究問題：PME視角下數(shù)學(xué)概念教學(xué)的設(shè)計(jì)框架是什么？教學(xué)設(shè)計(jì)框架的依據(jù)是什么？如何從PME視角利用設(shè)計(jì)框架進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)？

2 PME視角下數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)框架

數(shù)學(xué)概念是人們對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式本質(zhì)屬性的思考在頭腦中的映射.因此，在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，第一步必須先明確數(shù)學(xué)概念，找到數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延；第二步，對(duì)數(shù)學(xué)概念意象進(jìn)行具體分析，建立抽象數(shù)學(xué)概念的適當(dāng)心理表征;第三步，針對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)概念的地位及學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，選取合適的概念教學(xué)方式;第四步，根據(jù)加涅的信息加工學(xué)習(xí)理論將學(xué)習(xí)活動(dòng)及主要的心理活動(dòng)進(jìn)行進(jìn)一步拆分，把學(xué)習(xí)過程劃分為八個(gè)階段，針對(duì)八個(gè)不同的學(xué)習(xí)階段分配相應(yīng)的任務(wù)；第五步，根據(jù)以上PME視角下數(shù)學(xué)概念的研究，確立具體的教學(xué)活動(dòng)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié).

基于PME視角研究的需要，綜合數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延、數(shù)學(xué)概念的心理表征、數(shù)學(xué)概念教學(xué)方式及信息加工理論下的學(xué)習(xí)階段，提出了PME視角下數(shù)學(xué)概念教學(xué)的具體設(shè)計(jì)框架，如圖1所示.

3 概念教學(xué)設(shè)計(jì)框架的理論依據(jù)

3.1 現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)下的知識(shí)

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)根據(jù)知識(shí)的不同狀態(tài)和表述形式將知識(shí)廣義地劃分為陳述性知識(shí)與程序性知識(shí).其中，陳述性知識(shí)是指“是什么”的描述客觀事物特點(diǎn)及關(guān)系的知識(shí)；程序性知識(shí)則是指“怎么做”的操作步驟和過程的知識(shí).根據(jù)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，可以將數(shù)學(xué)概念歸結(jié)于復(fù)雜的陳述性知識(shí)，而關(guān)于數(shù)學(xué)概念的獲得及應(yīng)用所相應(yīng)的技能則屬于程序性知識(shí).數(shù)學(xué)概念教學(xué)則需要以順應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)心理的教學(xué)方式去幫助學(xué)生建立抽象數(shù)學(xué)概念的適當(dāng)心理表征，合理地納入并融入到已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，最后能靈活完成數(shù)學(xué)概念的相關(guān)應(yīng)用.

3.2 數(shù)學(xué)概念意象

認(rèn)知心理學(xué)的研究表明，數(shù)學(xué)概念的心理對(duì)應(yīng)物（心理表征）在大多數(shù)情況下并非是相應(yīng)的形式定義，而是一種由多個(gè)成分組成的復(fù)合體，包括心智圖象、對(duì)其性質(zhì)的認(rèn)識(shí)與有關(guān)過程的記憶，這就是概念意象（concept image）^［2］.而某一概念的心理表征往往包含多種成分，也就是指概念會(huì)以多種不同的形式得到表現(xiàn)，比如圖象、語言、符號(hào)等.概念的正確理解就是幫助學(xué)生在頭腦中建立“恰當(dāng)?shù)摹毙睦肀碚?簡(jiǎn)單來說，這意味著概念意象既包括該概念的多元表征，也包括已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與所學(xué)概念之間的聯(lián)系.概念意象具有豐富性、個(gè)體性與可變性.

3.3 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)方式

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)有概念形成、概念同化兩種基本方式.概念形成是指在對(duì)概念所反映的一類事物的不同例子中去發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)屬性，從而形成新概念的方式.概念形成的心理過程包括辨別、分化、類化、抽象、檢驗(yàn)、概括、形成（引用）^［3］.概念同化即學(xué)生主動(dòng)地與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的相關(guān)概念進(jìn)行相互作用與聯(lián)系，從而獲得新概念的過程.概念同化的心理過程包括辨別、同化、強(qiáng)化.概念形成是以學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，概念同化則以學(xué)生的間接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ).布魯納倡導(dǎo)的“發(fā)現(xiàn)法”與奧蘇貝爾提出的“有意義學(xué)習(xí)”分別對(duì)應(yīng)了概念獲得中概念形成和概念同化這兩種基本學(xué)習(xí)方式在教學(xué)方法上的表現(xiàn).

3.4 信息加工理論下的學(xué)習(xí)階段

加涅（R.Gagne）認(rèn)為學(xué)習(xí)的過程就是一個(gè)信息加工的過程.加涅的信息加工學(xué)習(xí)理論將學(xué)習(xí)活動(dòng)及主要的心理活動(dòng)進(jìn)一步拆分，把一個(gè)完整的學(xué)習(xí)過程劃分為八個(gè)階段：動(dòng)機(jī)階段（期望）、了解階段（注意—選擇性知覺）、獲得階段（編碼—貯存）、保持階段（記憶貯存）、回憶階段（提?。⒏爬A段（遷移）、作業(yè)階段（反應(yīng)）、反饋階段（強(qiáng)化）.每個(gè)階段都有相應(yīng)的學(xué)習(xí)事件與教學(xué)任務(wù)^［4］，且八個(gè)階段發(fā)揮著不同的功能.在每一個(gè)階段，學(xué)生的頭腦中都在進(jìn)行信息加工，促使信息從一種形態(tài)轉(zhuǎn)變成另外一種形態(tài).教師則需要根據(jù)各學(xué)習(xí)階段發(fā)生的學(xué)習(xí)事件，對(duì)應(yīng)分配各階段的教學(xué)任務(wù)，把學(xué)生的內(nèi)部信息加工過程與教學(xué)事件聯(lián)系起來，促進(jìn)學(xué)生的有效學(xué)習(xí).

4 概念教學(xué)設(shè)計(jì)框架的具體應(yīng)用說明

4.1 明確數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延

數(shù)學(xué)概念由它的內(nèi)涵與外延所組成，明確數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延則是準(zhǔn)確掌握概念與系統(tǒng)知識(shí)的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延分別是對(duì)事物質(zhì)和量的規(guī)定，數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵就是數(shù)學(xué)概念所反映的事物本質(zhì)屬性的總和，數(shù)學(xué)概念的外延是數(shù)學(xué)概念所反映的事物的總和.

例如，“函數(shù)的零點(diǎn)”這個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵就是“對(duì)于函數(shù)y=f（x），使f（x）=0的實(shí)數(shù)x”，其外延就是“滿足f（x）=0的實(shí)數(shù)x的全體”；“二元一次方程”概念的內(nèi)涵就是“含有兩個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次的整式方程”，其外延就是“形如ax+by+c=0（a≠0，b≠0）的方程的全體”.

4.2 概念意象分析

數(shù)學(xué)概念的意象分析必須先找到所要學(xué)習(xí)的新數(shù)學(xué)概念與學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)直接或間接的聯(lián)系，再分析數(shù)學(xué)概念心理表征的多種不同形式，最終幫助學(xué)生建立抽象數(shù)學(xué)概念的適當(dāng)心理表征.同時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)努力幫助學(xué)生對(duì)自身所具有的概念意象具有清醒的意識(shí)，利用必要的觀念沖突去實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的更新，這也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維靈活性的途徑之一.

例如，數(shù)學(xué)概念“函數(shù)的零點(diǎn)” ：對(duì)于函數(shù)y=f（x），使f（x）=0的實(shí)數(shù)x就叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)：初中所學(xué)習(xí)的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解一元一次方程與一元二次方程；高中所學(xué)習(xí)的函數(shù)的圖象與性質(zhì).心理表征的多種不同形式：函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f（x）=0的實(shí)數(shù)解，函數(shù)f（x）與g（x）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

4.3 選取概念教學(xué)方式

根據(jù)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延、學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，選取合適的概念教學(xué)方式，這對(duì)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)是極其重要的.概念形成依靠學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)與直接認(rèn)識(shí)，用歸納的方式抽取一類事物的共同本質(zhì)屬性，適用于低年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，也適用于“原始概念”（已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中無相關(guān)聯(lián)系的概念）的學(xué)習(xí).而概念同化利用新舊概念之間的相互作用去理解新概念，更大程度上依賴于原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)和舊概念，適用于高年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念.由兩種學(xué)習(xí)形式的心理過程可知，它們并非相互獨(dú)立，兩種形式也可結(jié)合起來使用.

例如，“函數(shù)的零點(diǎn)”概念，高中階段的學(xué)生對(duì)函數(shù)已經(jīng)具備了一定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此從PME視角下選擇概念同化是最好的教學(xué)方式.例如，“一元一次方程”的概念，它作為方程的起始課，在強(qiáng)調(diào)活動(dòng)探究的背景下選擇概念形成是最好的教學(xué)方式；“函數(shù)的零點(diǎn)”概念，高中學(xué)生對(duì)于函數(shù)、解方程具備一定的認(rèn)知，所以選擇概念同化是最好的教學(xué)方式.

4.4 學(xué)習(xí)階段任務(wù)分配

學(xué)習(xí)的過程被劃分為八個(gè)階段，每個(gè)階段都有各自的教學(xué)任務(wù).教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)或安排適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)任務(wù)，幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行有效的信息加工，完成預(yù)期目標(biāo)，從而將數(shù)學(xué)概念納入到認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.第一階段是“動(dòng)機(jī)”，此時(shí)的教學(xué)任務(wù)是在一定的情境下激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的期望.第二階段是“了解”，教學(xué)任務(wù)是給出與學(xué)習(xí)目標(biāo)有關(guān)的刺激，引起學(xué)生的注意力去揭示概念的本質(zhì)屬性.第三階段是“獲得”，教學(xué)任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生得出數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，進(jìn)行知識(shí)的重組將其貯存在短時(shí)記憶中.第四階段是“保持”，該階段的教學(xué)任務(wù)是對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行多種不同形式的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到強(qiáng)化記憶的目的.第五、第六階段分別是“回憶”階段、“概括”階段，這兩個(gè)階段的教學(xué)任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生從大腦記憶中將數(shù)學(xué)概念提取出來，再將學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念遷移到不同的情境中，旨在促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.第七階段是“操作”，教學(xué)任務(wù)是根據(jù)作業(yè)的完成情況所反映出的對(duì)概念的掌握程度，及時(shí)調(diào)整教學(xué).第八階段是“反饋”，根據(jù)學(xué)生的反饋情況，設(shè)置相應(yīng)教學(xué)活動(dòng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解，進(jìn)一步促進(jìn)信息的有效加工，最終實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.

例如，“函數(shù)的零點(diǎn)”概念的學(xué)習(xí)，第一階段是創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生畫出給定的一次函數(shù)的圖象；第二階段是告知函數(shù)的零點(diǎn)就是圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，讓學(xué)生計(jì)算并得出零點(diǎn)，探究零點(diǎn)的本質(zhì)；第三、第四階段，通過圖象中函數(shù)零點(diǎn)位置及計(jì)算方法，類比一般函數(shù)，讓學(xué)生總結(jié)函數(shù)的零點(diǎn)的概念，再引導(dǎo)學(xué)生找到函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，從數(shù)與形兩個(gè)角度表示函數(shù)零點(diǎn)；第五、第六階段，通過回憶函數(shù)的零點(diǎn)概念，探究并總結(jié)二次函數(shù)的零點(diǎn)存在情況，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=f（x）=g（x）－h(huán)（x）的零點(diǎn)就是兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)；第七、第八階段，讓學(xué)生完成相關(guān)練習(xí)題，加強(qiáng)對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)的理解，教師再帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)函數(shù)的零點(diǎn)概念課的知識(shí)點(diǎn).

4.5 教學(xué)活動(dòng)確立

從PME視角研究數(shù)學(xué)概念教學(xué)，綜合數(shù)學(xué)概念的定義、概念意象的相關(guān)分析、概念學(xué)習(xí)方式的選取及信息加工理論下的學(xué)習(xí)階段任務(wù)分配，將概念教學(xué)過程概括為以下四個(gè)環(huán)節(jié)：概念探究、概念表征、概念順應(yīng)或概念同化、概念應(yīng)用.由上述的研究分析便可確立每個(gè)環(huán)節(jié)相關(guān)的概念教學(xué)活動(dòng)，最終設(shè)計(jì)出符合學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念心理規(guī)律的教學(xué)方案.概念探究環(huán)節(jié)是為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，引起學(xué)生注意，找到概念的本質(zhì)屬性.概念表征環(huán)節(jié)是讓學(xué)生獲得概念并在頭腦中保持記憶，轉(zhuǎn)換概念多種形式幫助學(xué)生建立合適的心理表征.概念順應(yīng)或者概念同化環(huán)節(jié)是引導(dǎo)學(xué)生從記憶里提取數(shù)學(xué)概念，然后在多種不同情境中去概括數(shù)學(xué)概念，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解.概念應(yīng)用環(huán)節(jié)是通過“操作”作業(yè)去強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念，達(dá)到知識(shí)遷移的目的.

5 總結(jié)與反思

數(shù)學(xué)概念作為一門科學(xué)學(xué)科的概念，是人們對(duì)客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的抽象思維產(chǎn)物，包含對(duì)現(xiàn)實(shí)事物原型的一定簡(jiǎn)化與理想化.同時(shí)，數(shù)學(xué)概念也是由知識(shí)與技能組成的結(jié)構(gòu)化的體系，幫助學(xué)生促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的形成與轉(zhuǎn)變是概念教學(xué)的主要任務(wù).因此，從PME視角研究數(shù)學(xué)概念教學(xué)，從認(rèn)知心理層次上克服阻礙概念形成與轉(zhuǎn)變的困難點(diǎn)，充分利用學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)打破認(rèn)知沖突，建立合適的心理表征，更新大腦認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而有效達(dá)成概念的形成與轉(zhuǎn)變.從PME視角提出數(shù)學(xué)概念教學(xué)的設(shè)計(jì)框架，更加明晰數(shù)學(xué)概念的教學(xué)準(zhǔn)備工作，根據(jù)框架所設(shè)計(jì)的概念教學(xué)能幫助學(xué)生掌握相適應(yīng)的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的數(shù)學(xué)概念.對(duì)于概念意象的分析，雖然數(shù)學(xué)家們關(guān)于同一數(shù)學(xué)概念的心理表征不完全相同，但概念心理表征的組成成分卻高度統(tǒng)一，各個(gè)成分之間也具有轉(zhuǎn)移性.當(dāng)同一概念的不同心理表征之間存在一定的矛盾或沖突時(shí)，就需要教師借助概念的直觀形象與特殊經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概念之間不同形式的轉(zhuǎn)換.

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