核心素養(yǎng)視角下變式教學(xué)在立體幾何中的應(yīng)用

摘要：在核心素養(yǎng)視角下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圍繞某一特定知識點或典型數(shù)學(xué)問題展開變式教學(xué)，有助于學(xué)生高階思維品質(zhì)的提升與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的鍛煉與提高.基于對變式教學(xué)應(yīng)用原則與實踐價值的把握，從內(nèi)容變式與方法變式兩個層面探討在核心素養(yǎng)視域下展開高中數(shù)學(xué)立體幾何變式教學(xué)的策略方法.通過對高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)形式的變革與轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)變學(xué)生被動接受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的狀態(tài)，切實提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)與素質(zhì)能力.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；高中數(shù)學(xué)；變式教學(xué)；立體幾何

變式教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有極高應(yīng)用價值與現(xiàn)實意義的教學(xué)方法，是一種對研究對象的表現(xiàn)形式進(jìn)行變更或?qū)κ挛锏挠^察、思考角度方法等進(jìn)行變更，使學(xué)習(xí)者以更為簡便、有效的思考方式抓住研究對象，觀察事物本質(zhì)特征，進(jìn)而實現(xiàn)精準(zhǔn)把握、深度學(xué)習(xí)的教學(xué)模式.在核心素養(yǎng)視角下，將變式教學(xué)合理巧妙地應(yīng)用到立體幾何的教學(xué)過程之中，不僅能夠讓學(xué)生更為深刻地把握立體幾何圖形與現(xiàn)實世界、現(xiàn)實空間之間所存在的密切關(guān)聯(lián)，形成從數(shù)學(xué)角度觀察、描述、思考現(xiàn)實世界的理性思維習(xí)慣，對其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升同樣也有深遠(yuǎn)意義.

1 高中數(shù)學(xué)立體幾何變式教學(xué)之內(nèi)容變式

內(nèi)容變式主要指的是對立體幾何教學(xué)模塊理論知識內(nèi)容表現(xiàn)形式的變式轉(zhuǎn)化，主要體現(xiàn)在幾何概念的變式、基本事實的變式、幾何定理的變式以及計算公式的變式四個方面上^［1］.在核心素養(yǎng)視域下對高中數(shù)學(xué)立體幾何部分的知識內(nèi)容進(jìn)行變式教學(xué)，更有助于學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的夯實與直觀想象能力、空間幾何意識的良好生成.

1.1 概念變式

幾何概念泛指立體幾何圖形數(shù)學(xué)定義的描述，是學(xué)生形成空間幾何意識的前提.在應(yīng)用變式教學(xué)方法對幾何概念進(jìn)行變式時，針對幾何定義的抽象特點運用情境教學(xué)法將其變式為更貼近學(xué)生生活實際，更契合學(xué)生認(rèn)知特點的直觀情境，使其更為全面、深刻地理解幾何概念，夯實立體幾何基礎(chǔ)知識^［2］.

例如，在湘教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊“空間的幾何體”教學(xué)中，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)多面體、旋轉(zhuǎn)體兩個基本立體幾何概念時，從學(xué)生的生活實際入手，呈現(xiàn)生活中幾種常見的立體物體，如快遞紙箱、茶葉盒、籃球、水杯、圣誕帽等，鼓勵學(xué)生從上述幾種實物中進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，自主建構(gòu)出如（圖1）下空間幾何體.

在此之后，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合初中所學(xué)幾何知識內(nèi)容為各種空間幾何體命名，并嘗試進(jìn)行幾何圖形的分類.由此，在情境的作用下學(xué)生便能把握幾種空間幾何體結(jié)構(gòu)特點等方面的差異.以棱柱為代表的空間幾何體普遍由多個多邊形圍成，以球體為代表的空間幾何體則是由一個平面圖形圍繞某一直線旋轉(zhuǎn)而成.教師立足學(xué)生的這一發(fā)現(xiàn)，利用微課為學(xué)生呈現(xiàn)形成多面體、旋轉(zhuǎn)體的動畫演示視頻，在調(diào)動學(xué)生多重感官的同時，讓學(xué)生通過幾何概念的變式教學(xué)更為深刻地把握多面體及旋轉(zhuǎn)體的概念，為其后續(xù)深度學(xué)習(xí)立體幾何知識內(nèi)容、探究立體幾何問題奠定基礎(chǔ).

1.2 基本事實變式

基本事實代指立體幾何的公理，是學(xué)生了解立體圖形幾何特征與性質(zhì)所需把握的關(guān)鍵內(nèi)容.在高中立體幾何教學(xué)中，立體圖形的基本事實多來源于平面幾何中的定義、公理、定理等.由此，在進(jìn)行立體幾何基本事實的變式教學(xué)時，可由學(xué)生已知的平面幾何知識入手，將其轉(zhuǎn)化為二維平面圖形促進(jìn)學(xué)生的理解與認(rèn)知.

例如，在湘教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊“平面”的教學(xué)中，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)幾個關(guān)于平面的基本事實時，可由學(xué)生已知的知識入手，呈現(xiàn)長方體ABCD-A′B′C′D′（如圖2），讓學(xué)生在觀察長方體中各條棱、各個面相互位置關(guān)系的同時，主動結(jié)合初中已知的平面幾何定理嘗試解讀其中所包含的基本事實.

學(xué)生圍繞長方體展開描述，得到如下數(shù)學(xué)推論：

推論一：由點A，B在平面ABCD與平面ABB′A′內(nèi)，且整條直線AB都在平面ABCD與平面ABB′A′內(nèi)，可知，如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).

推論二：由同時過A，B，C三點的平面只有平面ABCD，可知，過不在一條直線上的三點有且只有一個平面.

推論三：由相鄰的平面ABCD與平面ABB′A′有一個公共點B，且過點B的直線僅有一條公共直線AB，可知，若兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

為讓學(xué)生更精準(zhǔn)地描述上述幾個關(guān)于立體圖形中平面的基本事實，還可以通過問題“你們能夠?qū)⑸鲜稣Z言文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言嗎？”驅(qū)動學(xué)生主動聯(lián)系所學(xué)數(shù)學(xué)知識，進(jìn)行立體幾何基本事實的數(shù)學(xué)變式（如表1）.

如此一來，學(xué)生在遷移運用意識、類比推理平面幾何性質(zhì)、應(yīng)用集合符合轉(zhuǎn)化幾何基本事實的過程中得到思維的發(fā)散與學(xué)習(xí)能力的鍛煉，進(jìn)而更好地進(jìn)行立體幾何推理與空間圖形的研究.

1.3 幾何定理變式

幾何定理是對幾何基本事實進(jìn)行邏輯推理與驗證推導(dǎo)得來的幾何結(jié)論，指向?qū)W生對幾何問題的解決與對立體幾何知識的創(chuàng)新應(yīng)用.在核心素養(yǎng)視角下的高中數(shù)學(xué)立體幾何變式教學(xué)中，設(shè)置創(chuàng)新問題對幾何基本事實進(jìn)行合理變式，讓學(xué)生在應(yīng)用幾何基本事實分析解決問題的過程中，完成對幾何定理的自主推導(dǎo)，進(jìn)而加深印象，切實規(guī)避認(rèn)知混淆問題.

例如，在湘教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊“直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系”的教學(xué)中，為讓學(xué)生對直線與平面平行的判定定理形成較好的認(rèn)識，可將l∥α?l∩α=?這一幾何基本事實變式為幾何證明題：

如圖3，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB∥CD，當(dāng)直線CD沿直線DA′平移后，便可構(gòu)成平面CDA′B′，試證明直線A′B′∥平面ABCD.

由此，學(xué)生便會綜合運用立體幾何基本事實與平面幾何定理完成問題的證明，并自主推導(dǎo)出關(guān)于直線與平面平行的判定定理：若a α，b α，且a∥b，則a∥α.同樣地，還可將這一變式教學(xué)方法遷移運用到直線與平面平行的性質(zhì)定理、直線與平面垂直的判定定理以及直線與平面垂直的性質(zhì)定理等的教學(xué)中，讓學(xué)生通過自主推導(dǎo)與轉(zhuǎn)化變形全面把握幾何定理的實質(zhì)，并活躍與發(fā)散思維.

1.4 計算公式變式

立體幾何圖形與平面幾何圖形之間存在“剪不斷、理還亂”的內(nèi)在關(guān)系.立體幾何的概念、基本事實、定理是平面幾何的拓展延伸，有關(guān)的計算公式在某種形式上也是對平面幾何計算公式的創(chuàng)新變式.由此，在學(xué)習(xí)幾種簡單幾何體的面積、體積計算公式時，引導(dǎo)學(xué)生利用類比、變式進(jìn)行學(xué)習(xí).

例如，在湘教版高中數(shù)學(xué)“幾種簡單幾何體的表面積和體積”的教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)正棱錐表面積計算公式時，先引導(dǎo)學(xué)生回憶在小學(xué)階段、初中階段推導(dǎo)長方體、正方體、圓柱、圓錐等基礎(chǔ)幾何體表面積計算公式的過程及方法，進(jìn)而使其在溫故知新中獲得靈感、得到啟發(fā)，通過將正棱錐轉(zhuǎn)化為平面圖形的方式主動展開對表面積計算公式的推導(dǎo).

例如，學(xué)生將圖4中的正六棱錐沿其側(cè)面一側(cè)棱剪開，獲得由六個全等三角形組成的平面圖形（圖5）.并通過度量三角形底與高，正棱錐底面周長完成正棱錐表面積計算公式有效推導(dǎo)，即S_正棱錐=S_側(cè)面+S_底面=?Ch′+S_底面.

2 高中數(shù)學(xué)立體幾何變式教學(xué)之方法變式

方法變式多側(cè)重于對高中數(shù)學(xué)立體幾何解題教學(xué)的變式，主要聚焦在一題多解上^［3］.在核心素養(yǎng)視角下的高中數(shù)學(xué)立體幾何解題教學(xué)中，結(jié)合具體問題進(jìn)行變式訓(xùn)練，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的提升與解題思維的拓展.

例如，在引領(lǐng)學(xué)生解決湘教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊“平面與平面的位置關(guān)系”一課的練習(xí)題“如圖6所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D，E，F(xiàn)分別是棱AA₁，A₁B₁，A₁C₁的中點，試證明平面DEF∥平面AB₁C₁”時，當(dāng)學(xué)生結(jié)合相關(guān)幾何定理與基本事實完成對本題的初步證明后，對題目中的條件進(jìn)行靈活變更，展開變式訓(xùn)練.

變式1 若三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，AB=6，BB₁=9，其他條件不變，試證明平面DEF與平面AB₁C₁的面積之比為2∶1.

變式2 設(shè)點P是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中棱BB₁的中點，試求二面角A-C₁P-C的大小.

在變式教學(xué)中，對題目中的原有條件進(jìn)行靈活變更，驅(qū)動學(xué)生運用各種解題方法與思路進(jìn)行一題多解，不僅能夠增強數(shù)學(xué)問題的教學(xué)價值，而且學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力與思維能得到更多元、更充分的鍛煉，學(xué)生在自主變式訓(xùn)練過程中也會更為自覺、主動地建立起已知與未知的關(guān)聯(lián).這對于學(xué)生完善數(shù)學(xué)知識體系的形成與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升同樣也有極為深遠(yuǎn)的現(xiàn)實意義.

總而言之，在核心素養(yǎng)視角下圍繞高中數(shù)學(xué)立體幾何模塊的特點從內(nèi)容與方法兩個層面上展開變式教學(xué)，不僅能夠讓學(xué)生更好地把握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)的規(guī)律方法，使其學(xué)會以規(guī)范、正確的數(shù)學(xué)語言描述空間幾何表現(xiàn)形式，得到思維品質(zhì)與學(xué)習(xí)品質(zhì)的進(jìn)階，同樣也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的可行路徑與實踐方法.因此，在充分領(lǐng)會與感知變式教學(xué)實踐價值的基礎(chǔ)上，加強對多元變式、合理變式、創(chuàng)新變式的研究力度，能夠幫助學(xué)生深刻與全面地掌握數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到穩(wěn)步提升.

參考文獻(xiàn)：

［1］楊鐳.圓錐的內(nèi)切球問題教學(xué)案例分析——以“一題一課 多解變式”為例［J］.高考，2022（36）：147-149.

［2］楊子圣.以“二面角及其平面角”為例談變式教學(xué)的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（15）：62-63.

［3］李健.直觀把握數(shù)學(xué)本質(zhì) 動態(tài)提升思維品質(zhì)——從教材中一個立體幾何問題例談變式教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報，2019，58（10）：55-58.