退一步柳暗花明 換視角別有洞天

摘要：最值問題是高中數學學習的重點，其中多元變量最值問題又一直是高中數學學習的難點，更是高考、各地模考與競賽的熱點問題.為了讓學生得心應手地處理此類問題，本文中從2020年全國卷一道真題出發，增加輔題，找到問題的同源性，并嘗試從不同的視角得到不同的解法，提升學生的數學核心素養和關鍵能力.

關鍵詞：多元變量；最值；視角

2020年11月18日在江蘇省第十六屆中學數學教學高級論壇上，筆者應邀“說”一節“多元變量最值問題”課，現將教學設計和課后反思整理如下，與同行共勉.

1 教學分析

1.1 教材分析

最值問題是高中數學學習的重點，其中多元變量最值問題又一直是高中數學學習的難點，更是高考、各地模考與競賽的熱點問題.這類問題教師一講，學生就懂，但由于知識、思想和方法不成體系，因而在獨立思考時總覺得似曾相識，卻又很難解出來.

1.2 聽課者情況分析

本節說課的對象是參加江蘇省第十六屆中學數學教學高級論壇的專家，教授和優秀教師，他們對此問題的理解應該比較深刻.但是，由于此次論壇資料均要反饋到各高中學校，作為高三二輪復習課的參考，教學面向大部分高三學生，因此，本節課設為中等難度.

1.3 教學任務

本節課的核心內容是二元變量最值問題的解決方法，并得到解決此問題的一般策略，形成知識體系和方法框架.以一道經典題為載體，由淺入深，層層遞進，由表及里，層層剖析.以退一步得到簡單基礎問題入手，或轉換視角從幾個不同的角度思考得到系列解法，不斷引導學生探究數學問題的本質和豐富的內涵，完善知識方法，形成體系，激發學生的學習興趣，促進學生的個性化發展，提升核心素養，使學生站在一定高度去思考問題，進行深度學習.

2 教學過程設計

引例 （2020年全國Ⅱ卷理科17）

△ABC中，sin²A-sin²B-sin²C=sin Bsin C.

（1）求A；

（2）若BC=3，求△ABC周長的最大值.

第（1）問解答略，下面具體研究第（2）問的解法.

問題1 已知條件是什么？未知目標是什么？

設計意圖：近年的高考真題對于高三二輪復習來說是研究的重點，很能抓住學生的眼球.

從2020年的一道高考真題入手，引出本節課的核心問題——“多元變量的最值問題”.

解決問題的根本就是要找到條件、目標以及它們之間的關系.

在問題1的基礎上，還可以提幾點小問題：

（1）這個三角形周長為什么有最大值？

（2）這個三角形為什么不固定？

（3）求周長的最大值，可以選擇什么作為變量？

解法1：以角為變量.

問題5 同學們還能用不同的方式敘述方程組有解問題嗎？

設計意圖：在上述四種解法的基礎上，再一次嘗試轉換探究視角，由數到形，得到方程組有解的幾何意義，使得問題的求解別有洞天.

但由于bgt;0，cgt;0，且b²+c²+bc=9的幾何意義學生能夠理解其圖形是橢圓的一部分，但因為不是橢圓方程的標準形式，所以只能構建思路，仍然退一步，先結合幾何意義解答輔題.

問題6 你能將輔題“

已知bgt;0，cgt;0，且b²+c²+bc=9，求b+c的最大值”還原為引例的第（2）問嗎？

設計意圖：在前面的探究中，學生覺得已經達到了圓滿的狀態，此問題的提出更是讓學生覺得驚異，前面由數到形，本問又要求由形到數，構造它的平面幾何模型，雖然答案很明顯，但深意滿滿.不禁會讓學生感嘆數學的博大精深.只有深度學習，掌握本質，融會貫通，才能發現數學的美妙！

問題7 請同學們結合以上探究，總結處理多元變量最值問題的一般思路.

設計意圖：從知識層面看，得到解決多元變量最值問題的一般思路（如表1）； 從教育教學總體目標看，培養學生數學抽象核心素養，使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多節的系統.

問題8 （2014年浙江）已知實數a，b，c滿足a+b+c=0，a²+b²+c²=1，則a的最大值是______.

設計意圖：（1）嘗試應用，內化方法.鼓勵學生用幾種視角對本題進行探究，展示成果，師生共評，查漏補缺，深入理解，并能體會方法的區別和聯系，以便更合理地進行方法的選擇.（2）比較分析，揭示聯系.本題是三元變量的最值問題，但其本質類似引例的第（2）問.

問題9 請回顧本節課的學習過程，對本節課進行小結.

設計意圖：回顧反思，總結提升.設想讓學生回顧本節課的流程，在回顧過程中猶如再經歷一次探究的過程，找到自己的切身感受，再分別從知識感悟、方法引領、思想提升、素養培養等幾個方面總結反思，升華.

3 教學反思

3.1 以問題設計為起點，以問題驅動為導向，實現經驗與知識的相互轉化

認知心理學認為，“問題”是進行思維活動的原動力和牽引力.數學核心素養是在學生與情境問題的有效活動中提升的.本節課是以問題串的形式引領學生探究，筆者根據求多元變量最值的教學內容，提出了九個問題，環環相扣，層層推進，有效調動了學生的積極性，激發他們的探究心理和求知欲望，強化內在的學習需求，實現了經驗與知識的相互轉化.經驗與知識常被看作是彼此對立的一對概念，事實上卻緊密相聯.深度學習倡導通過“聯想與結構”的活動將二者結合起來.簡單地說，聯想與結構是指學生通過聯想，回想已有的經驗，使當前學習內容與已有的經驗內在關聯，并實現結構化.本節課的設計中，重點關注到這一點，通過退一步，簡化題目，讓學生聯想曾經做過的類似題，獲得基本解題經驗，再延伸拓展到本題的解法，最后總結出解決此類問題的基本結構體系.可謂“退一步柳暗花明”！

3.2 以自主探索為基礎，以合作交流為途徑，讓學生成為真正的教學主體

教育家斯賓塞說：“學習任何知識的最佳途徑是自己去發現.”新課程理念下的課堂教學，要尊重學生的自主性，張揚學生的個性，知識要讓學生自己去探索，規律要讓學生自己去發現，學法要讓學生自己創造，學習領域要讓學生自己去拓寬，學習內容要讓自己去發掘，學習收獲要讓自己去運用.因此，在“以學生為主體”的數學課堂中，教師要大膽地把學習的主動權交給學生，鼓勵學生在以發現、嘗試、操作為主的數學活動中，自己去發現問題，自己去探究答案，自己去體驗成功.對于高三二輪復習的學生來說，已經有了較好的自主學習和合作交流的能力，通過教師的引導和幫助，他們能主動地去“經歷”知識發現、發展的過程.在這個過程中，知識真正成為學生能夠觀察、思考、探索、操作的對象，成為學生活動的客體，學生成為教學的主體.本節課的設計中，在學生“最近發展區”，倡導思維風暴，主要以問題來調動，嘗試從不同的視角得到不同的解法，大視角是數和形，小視角“數”中分函數、方程、不等式，“形”中又分平面幾何和解析幾何.可謂“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，更是“換視角別有洞天”！

3.3 以體驗探究為核心，以教師引導為橋梁，幫助學生通過深度加工把握知識本質

深度學習是一種高水平認知加工、給予理解的、主動的學習方式，是指教學中學生的學習非一般意義上學習者的自學，因而特別強調教師的重要作用，強調教師對學生學習的引導和幫助.因此，它發生的先決條件就是教師的自覺引導，教師要精心設計具有教學意圖的、結構化的教學材料以及能有序實現教學目標的教學過程，營造平等、寬松、合作、安全的互動氛圍，并依據反饋信息對教學活動進行及時調整.在整個課堂實施過程中，教師要以學生為本，以學生的體驗探究為核心，讓角色，讓時空，讓精彩.薩拉·布朗·韋斯林說過：“問題是學習的滑輪，在問題與答案中，令學生豁然開朗且獲得更多認識的是問題，而不是答案.”本節課圍繞問題1～8縱橫馳騁，將探究的過程演繹得波瀾壯闊、懸念迭起、扣人心弦，令人蕩氣回腸.學生在一一探索解決問題的過程中，收獲的不僅僅是知識和把握知識本質，更是在學習中培養了數學核心素養，在學習中成長和發展.