含參不等式解題的典型錯誤剖析

摘要：含參不等式能成立問題是高中數(shù)學的重點題型，也是難度較大的題型，學生在解題的過程中經(jīng)常出現(xiàn)漏解和錯解的情況.通過對學生的一個典型錯解的反思，深入剖析錯誤的原因，及時矯正解題錯誤，并給出了改進教學的建議.

關鍵詞：能成立問題；錯因分析；教學建議

不等式是高中數(shù)學的重點內(nèi)容之一，是學習數(shù)學和其他學科的重要工具.筆者有幸見習了一節(jié)關于不等式的高三復習課，從一道課堂習題的解答效果來看，近一半的學生無從下筆，極少數(shù)學生有了思路卻也沒有完全解對.本文在呈現(xiàn)不同解法的基礎上，試圖借助學生作答的典型錯誤去探尋學生錯誤形成的原因，并給出有針對性的教學建議，以期為數(shù)學教學提供些許幫助.

1 試題呈現(xiàn)與分析

1.2 試題分析

本題以不等式知識為背景，綜合考查數(shù)學學科的核心素養(yǎng).這是一個二元含參不等式的“能成立”問題，對于變量多且變量之間的關系不清楚的不等式，我們常用的方法是“換元法”，將“二元”轉換為“一元”問題，降低難度后再求解.學生在處理這類問題時往往比較困難，常見的錯因分析如下.

1.3 錯因分析

1.3.1 核心素養(yǎng)太弱，導致失分嚴重

此題中，要求出a的取值范圍，很多學生因為數(shù)學抽象、邏輯推理素養(yǎng)較弱，導致切入點和解題思路錯誤.此題可以把二元的x，y降為一元的t，將不等式轉化為熟悉的一元不等式之后，再利用二次函數(shù)的分類討論法、導數(shù)法、主元法、主元配方法等來求a的取值范圍.只要具備一定的邏輯推理和數(shù)學運算能力，即可正確求解.

1.3.2 數(shù)學語言表達不規(guī)范，導致解題過程錯誤

此題中，有解題思路的學生都是采用把二元x，y降成一元t后再進行分類討論.學生在分類討論的過程中，常常因為算理不清、邏輯不明而不能正確解出每一個小類中的情況；亦或者是在求解過程中由于數(shù)學語言表達不規(guī)范而在移項、去括號時出現(xiàn)低級的符號錯誤.因此，學生的數(shù)學語言表達方式有待規(guī)范，邏輯推理能力有待加強.

2 試題解析

不等式是高中數(shù)學的重要知識點，教學中為提高學生思維的靈活性，可圍繞以下不同解答方法，啟發(fā)學生思考，尋求多種解題思路.

2.1 分類討論法

利用分類討論，將問題分解成幾個能用不同形式解決的小問題，再將這些小問題一一加以解決，最后歸納概括各類解決的結果^［2］.這個方法學生容易理解，在解答大題時易解出較簡單的小類.

3 教學建議

通過上述分析，可以發(fā)現(xiàn)這道不等式題雖問法簡潔但不少學生卻無從下手的真正原因.筆者從數(shù)學能力、數(shù)學思維、語言表達三方面提出教學建議.

3.1 數(shù)學能力方面，注重學科核心素養(yǎng)的綜合培養(yǎng)

數(shù)學核心素養(yǎng)是學生適應社會終身發(fā)展的必備品格，數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個由淺入深長期滲透的過程.對于含參不等式問題，應加強學生對“恒成立”和“能成立”的理解，同時強化對二者的辨別能力.在教學中要抓住數(shù)學問題的本質(zhì)，提升學生“一題多解”“多題歸一”的能力，注意學科核心素養(yǎng)培養(yǎng).

3.2 數(shù)學思維方面，注重思想方法的培養(yǎng)

分類討論實質(zhì)上是局部與整體的相互轉化，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.教師在教學過程中應更加注重對學生思維的引導，引導學生從不同途徑、多角度地考慮問題.

3.3 語言表達方面，合理選擇解題策略，規(guī)范解題

解決“恒成立”和“能成立”問題，常常需要借助不等式、函數(shù)、方程及導數(shù)等相關知識，利用多變的數(shù)學思維，根據(jù)不等式的特點合理選擇解題策略，方可求得正確結果^［3］.而數(shù)學語言的規(guī)范表達是學生穩(wěn)拿高分的必殺技，高中生的書寫狀況和學生的成績顯著正相關，且呈正向影響^［4］.教師在教學過程中應注重語言的連貫性、邏輯性、準確性，給學生良好的、正確的示范，避免學生造成“會而不對，對而不全”的狀況.

參考文獻：

［1］張志明.容易混淆的“恒成立”問題與“存在成立”問題［J］.數(shù)學通報，2011，50（5）：54-55.

［2］姬梁飛.分類討論思想方法在數(shù)學解題中的應用［J］.教學與管理，2018（28）：40-42.

［3］孔祥士.例談“含參數(shù)的單變量不等式恒成立問題”的解題策略［J］.中學數(shù)學，2019（15）：52-53.

［4］嚴必友，寧連華，趙靜亞，高中學生數(shù)學書寫狀況的調(diào)查研究［J］.數(shù)學教育學報，2019，28（6）：10-15.