以幾何圖形為載體的實際應用問題探究

摘要：三角函數或解三角形問題具有相應的平面幾何背景，以三角函數或解三角形為背景的實際應用問題，借助平面幾何圖形載體來創新設置與巧妙綜合，結合三角函數或解三角形的相關知識來綜合與應用，達到解決相應的實際應用問題的目的，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：幾何圖形；實際應用；三角函數；解三角形；創新

三角函數或解三角形問題是高考數學六大主干模塊知識中必考的重要內容之一，特別是新高考對該部分基本知識、思想方法與數學能力等方面的考查明顯加強，且在命題上逐年創新.以平面幾何圖形為載體的三角函數或解三角形的實際應用問題，將成為新高考數學試卷命題的熱點與亮點之一.

1 以三角函數為背景的應用問題

利用平面幾何圖形的創新情境，以三角函數為創新背景來創設與構建數學問題，結合三角函數的相關知識來分析與解決，進而解決對應的實際應用問題.

例1 我國勾股定理的論述比西方相應的論述早一千多年，在我國古代著名的數學經典著作《九章算術》中，有相應的問題敘述：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”具體翻譯過來的意思為：今有直角三角形ABC，勾（短直角邊）BC長5步，股（長直角邊）AB長12步，問該直角三角形能容納的正方形DEBF的邊長為多少？如圖1所示，在Rt△ABC中，求得正方形DEBF的邊長后，可求得tan ∠ACE=_____.

分析：根據題目條件，設正方形DEBF的邊長為a，結合兩直角三角形相似列出對應的方程，進而求解邊長a的值，然后分別求解兩對應角的正切值，最后利用兩角差的正切公式加以轉化與求值.

例2 〔2022屆上海市寶山區高三（上）期末數學試卷（一模）〕吳淞口燈塔AE采用世界先進的北斗衛星導航遙測遙控系統，某校數學建模小組測量其高度H（單位：m），示意圖如圖2，垂直放置的標桿BC的高度h=3 m，使A，B，D在同一直線上，也在同一水平面上，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.（本題的距離精確到0.1 m）

（1）該小組測得α，β的一組值為α=51.83°，β=47.33°，請據此計算H的值；

（2）根據經驗數據可知，適當調整標桿到燈塔的距離d（單位：m），使得α與β之差變大時，可以有效提高測量的精確度.若燈塔的實際高度為20.1 m，試問d為何值時，α-β最大？

分析：（1）利用已知條件，結合直角三角形構建關系式，從而利用計算器求具體的值即可；

（2）延長BC，由E向BC作垂線，垂足為F，結合直角三角形，利用三角恒等變換公式得到tan （α-β）的值，再結合基本不等式求得d值即可.

點評：解決涉及以三角函數為背景的應用問題，借助平面幾何圖形，特別是三角形、平面四邊形等常規幾何模型，結合三角函數的定義、三角函數的相關公式（誘導公式、同角三角函數基本關系式、三角恒等變形公式）等知識來解決相關的實際應用問題.

2 以解三角形為背景的應用問題

利用平面幾何圖形的創新情境，以解三角形為創新背景來創設與構建數學問題，結合解三角形的相關知識來分析與解決，進而解決對應的實際應用問題.

點評：解決涉及以解三角形為背景的應用問題，借助實際應用情境，合理數學建模.通過構建對應的平面幾何圖形，數形結合，利用正弦定理、余弦定理以及解三角形中的相關知識來解決相關的實際應用問題.

以幾何圖形為載體的三角函數或解三角形的實際應用問題，通常與圓、扇形等平面幾何圖形相結合.解決此類問題的關鍵是把各個線段表示出來，進而列出函數的解析式；與最值（范圍）有關的問題，常常涉及表面積與體積，解題關鍵是適當引入參數，然后運用導數進行分析與求解.