合理猜想，巧妙解題：基于數學問題的探究應用

摘要：基于數學知識與技巧方法等方面的猜想探究，是數學命題與創新應用方面的一個熱點問題.結合實例，就合理猜想與探究應用的基本類型加以剖析，總結猜想的基本方向與方法，引領并指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：猜想；聯想；特殊；類比；歸納

波利亞認為，在有些情況下，教猜想比教證明更重要.他說，如果在學習數學時還有數學發現方面的什么事情可以做的話，就必須使學生有提問題的機會，這些問題得在一定水平上，首先是猜想，然后是證實一個數學事實.下面就常見的猜想類型及其應用作歸類探析，并結合實例加以剖析.

1 方法性猜想

方法性猜想就是從解決兩個不同問題中可能存在的一些相同或相似方法入手，根據解決一個已知問題中具有的某種方法，猜想該種方法也可能用于解決新的問題的一種推理方法.方法性猜想是數學思想方法層面上應用比較廣泛的一種猜想方法.

點評：類比性猜想是基于類比推理的一種基本方式，也是解答數學命題中出現頻率比較高的方法之一；經常從題目中的定義、公式、圖形等方面加以類比猜想，從而得出對應的結論.

5 歸納性猜想

在解答一些數列、函數等相關問題時，往往可以通過對前面或特殊的若干特例的歸納、分析，猜想出一般性的結論，再加以科學論證.

例5 化簡（cos θ+isin θ）²，（cos θ+isin θ）³，（cos θ+isin θ）⁴，并猜想一般結論：（cos θ+isin θ）ⁿ=（n∈Z）.

分析：這其實就是復數三角形式的乘方運算，是高中數學教材中的選講內容之一.具體解決問題時，可以利用復數的四則運算與三角函數關系式加以化簡，通過歸納總結、猜想而得出結果.

解析：由（cos θ+isin θ）²=（cos θ+isin θ）＼5（cos θ+isin θ）=cos 2θ+isin 2θ，

（cos θ+isin θ）³=（cos 2θ+isin 2θ）（cos θ+isin θ）=cos 3θ+isin 3θ，

（cos θ+isin θ）⁴=（cos 3θ+isin 3θ）（cos θ+isin θ）=cos 4θ+isin 4θ，

歸納猜想，可得（cos θ+isin θ）ⁿ=cos nθ+isin nθ.

故填答案：cos nθ+isin nθ.

點評：根據題設條件先確定前面若干問題，進而找到規律，歸納、猜想出一般性的結論.同時，這也給我們提供了一種解題思路.這種解法雖操作簡單，但需較強的觀察、分析和歸納等方面的關鍵能力.

猜想是發現問題、解決問題的一種重要思想方法，是創造性思維的重要組成部分.牛頓曾指出：沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現.猜想的重要意義由此可見一斑.隨著新高考改革與命題研究的深入，猜想題作為考查學生創造性思維和推理能力的一種創新題型，越來越受到關注.