工科“復變函數”課程教學的兩點思考

◇內蒙古工業大學理學院 劉力華

復變函數是高等數學的后續課程，是大學微積分的擴展.本文介紹了復變函數課程中隱含一條主線，這條主線貫穿課程，并連接了課程的許多主要知識點，在教學中引導學生發現并掌握這條主線，從總體上來把握課程內容；在課程教學中還要引導學生善于尋找知識點之間的聯系，總結規律，以提升課程學習效果.

復變函數是工科院校為許多專業的學生開設的一門非常重要的數學基礎課，對訓練學生的思維水平，包括邏輯思維和工程思維，培養學生良好的數學素養有著不可替代的作用.復變函數的基本理論和方法在自然科學和工程技術領域有著廣泛的應用，是解決熱力學、流體力學和電磁學等學科領域問題的有力工具.因此學好復變函數對工科院校的學生來說尤為重要[1].如何學習這門課程，如何更快更好的掌握這門課程是值得任課老師和學生共同思考的問題.

復變函數這門課程的特點是理論性很強，內容抽象而且數學概念比較多，工科學生學習起來普遍感覺比較困難，這就需要任課老師和學生共同努力，去尋思路、找方法，使課程知識點能夠相對簡單易學.由于復變函數知識是高等數學[2]實變函數相關知識的推廣和延續，兩門課程的知識點有許多相似之處，比如復變函數，復變函數的極限，連續性及其導數等概念[3]，因此在學習過程中采用類比的方法[4]是值得推薦的，也是行之有效的方法，可以讓學生在復習已有知識的基礎上，輕松掌握新知識，體會溫故而知新的樂趣.除此之外，在學習過程中引導學生抓住一條主線，從總體上把握課程知識點，尋找知識點之間的聯系，并積極思考，總結規律，就會收到良好的學習效果.

1 發現并掌握主線

在復變函數的知識體系中，始終有一條主線貫穿其中，那就是將需要解決的復變函數問題轉化為實變函數問題.在授課過程中，教師逐步引導學生來發現這條主線，進而掌握這條主線.學生通過已掌握的高等數學的相關知識來解決復變函數所遇到的新問題，這樣學生學習新知識就會感覺輕松愉快.

比如解決復變函數求極限問題：我們有定理：

在教學過程中，通過老師的引導，學生能很快發現并掌握這條主線，而且在后續知識的學習中會主動尋找主線貫穿的知識點，如復變函數連續性的判別，復數項級數斂散性的判別等等.他們會發現，這條主線連接了本門課程的許多知識要點，就像一根糖葫蘆，抓住這條主線，相關知識點就很容易理解和掌握.這種方法，在實際教學中取得了良好的效果.

2 尋找和總結規律

講授復變函數這門課程，教師還要引導學生善于尋找知識點之間的聯系，總結規律.復變函數積分是本課程內容的重中之重，類型多，定理多，學生學習起來也很頭疼，經常張冠李戴.其實復變函數的積分內容除類似于實函數的不定積分和定積分外，主要研究的是復變函數沿曲線的積分，包括封閉曲線和非封閉曲線上的積分，考察封閉曲線上的積分，課程中給出了柯西-古薩定理、柯西積分公式、高階導數公式以及留數定理，下面我們把四個定理列出來，通過對比尋找規律：

這就是說復變函數中的這四個重要定理，看似形式不同，實質是統一的，都統一到留數定理，柯西-古薩定理、柯西積分公式、高階導數公式都是留數定理的特例，而留數定理是它們的一般化，這樣就把課程中第三章積分的知識和第五章留數的知識聯系起來，便于掌握.通過任課教師的引導和學生的積極討論，課程中的四大定理可以通過一個定理輕松掌握，這既激發了學生的求知欲，又讓學生品嘗到了學習的樂趣，不再懼怕這門課，收效明顯.

在學習復變函數過程中，只要勤于思考，善于分析總結，知識就會融會貫通，學習這門課程也就會感覺輕松愉快.