如何體會運動前后圖形的變與不變

章樂

“軸對稱和平移”是小學階段“圖形與幾何”領域“圖形的運動”部分的重要內容，其本質特征都是圖形運動之后保持兩點之間的距離不變，這樣就保證了運動之后圖形的形狀和大小不變，人們稱這類運動為剛體運動。在實際教學中，有些教師比較注重整體感知、操作活動和直觀描述的層次，對運動的要素，由點及線、由線到面和由面到體，卻一帶而過。調研發現，學生在學習這部分內容時往往會出現這些問題：一是不能區分圖形的平移格數和圖形的間隔格數；二是不習慣從動態的角度分析一個圖形的構造特點，更善于從靜態的角度將一個圖形進行分解；三是在補全軸對稱圖形的另一半時，不能從運動的角度思考圖形上點的運動。軸對稱和平移的教學應該關注哪些核心知識？設計怎樣的學習活動才能幫助學生深刻地體會軸對稱和平移運動的本質？教師不妨從基于學習路徑分析的單元整體教學的角度去探索“軸對稱和平移”的教學。

一、理解單元學習目標

（一）單元內容概述

北師大版教材把“軸對稱和平移”編排在五年級上冊，而人教版教材將其歸類為“圖形的運動（二）”，設置在四年級下冊，它們的教學目標定位如下。

北師大版教材：通過一系列折、畫、想、說等活動，進一步認識軸對稱圖形的特征；能在方格紙上畫出（或補全）軸對稱圖形；能畫出圖形沿著水平或垂直方向平移后的圖形；能運用軸對稱和平移知識在方格紙上設計簡單的圖案，初步發展空間觀念。

人教版教材：通過一系列看、找、數、畫、做、說等活動，發現軸對稱圖形的對稱點和對稱軸之間的距離關系，深刻認識軸對稱圖形的特征；能在方格紙上畫出（或補全）軸對稱圖形；能畫出圖形沿著不同方向平移后的圖形；能用平移知識解決簡單的實際生活問題，初步發展空間觀念。

兩個版本教材的教學目標包含了以下內容：進一步認識軸對稱圖形的特征；能在方格紙上畫出（或補全）軸對稱圖形；能在方格紙上按水平或垂直方向將圖形進行平移，能運用軸對稱和平移知識解決現實生活中的實際問題，初步發展空間觀念。

（二）確定核心目標

本單元的核心目標是進一步明確圖形軸對稱和平移的內涵。一方面，圖形由線構成，而線由點組成，圖形的運動本質上可以歸結為點的運動，通過研究圖形上點運動的特征，能更清晰地展示圖形運動的特征。另一方面，圖形的軸對稱和平移看似沒有聯系，但它們其實都是剛體運動，即運動前后圖形的形狀和大小都沒有變，改變的只是圖形的位置，最終使學生獲得關于軸對稱和平移的整體性認識。

（三）核心目標具體化

綜上所述，將核心目標具體化為兩點。

1.能把圖形的軸對稱運動和平移運動歸結為點的運動。其主要內涵包括：畫出（或補全）軸對稱圖形以及圖形沿著指定方向平移后的圖形；知道軸對稱運動和平移運動的特點；能依據圖形上特殊的點畫出運動后的圖形。

2.厘清圖形軸對稱運動和平移運動之間的聯系。具體包括：歸納出兩種運動的相同點為運動前后圖形的形狀和大小不變，改變的只是圖形的位置；知道軸對稱運動和平移運動的本質，以及它們之間有時可以互相轉化。

二、確定學習起點

學生在第一學段已經通過折、描、畫等操作活動初步感知了軸對稱和平移現象。在此基礎上，本單元引導學生借助方格紙，從定量的角度發現軸對稱和平移的特征，把圖形的運動轉化為點的運動，認識圖形運動的本質。為此，筆者試圖通過前測對學生的學習起點做詳細的了解，并根據對軸對稱和平移運動特點認識的具體表現，制訂評價框架，規定水平層次。軸對稱和平移掌握水平前測結果如表1所示。表1 軸對稱和平移掌握水平前測結果

從前測的結果看出，學生具有一定的幾何思考能力，對軸對稱和平移的特征有一定的了解，接近68%的學生會畫軸對稱圖形的另一半和平移后的圖形，但絕大多數學生不能建立圖形的運動和點運動之間的聯系，特別是發現它們之間的共同點。

三、分析學習路徑

基于以上分析，從單元整體教學視角出發，筆者對“軸對稱和平移”單元整體教學的學習路徑做了適當的優化與調整。

（一）認識圖形的平移

借助多媒體課件先動態演示點、線和圖形的平移過程，讓學生嘗試歸納出平移運動的兩要素：一是方向，二是距離。接著讓學生嘗試在方格紙上畫出一面小紅旗向左平移6格后的圖形，引導學生思考圖形平移的畫法。有了直觀的感受，借助已有的經驗，有的學生可能會想用實物平移的方式確定平移后圖形的位置，有的學生可能會在原圖上選擇幾個特殊的點，分別向左平移6格，根據原來圖形的形狀畫出平移后的圖形。然后讓他們分小組討論哪一種方法最好。在此過程中，學生把圖形的平移轉化為點的平移，掌握圖形平移的畫法，即選點、移點和連點，更為重要的是發現圖形在平移過程中存在的不變的要素（圖形的形狀和大小不變）和變化的規律（每個點沿著相同方向移動了相同的距離）。

（二）加深軸對稱圖形特征的認識

借助方格紙，先讓學生觀察軸對稱圖形的一組對應點到對稱軸的距離相等，接著讓學生嘗試在方格紙上畫出軸對稱圖形的另一半。有的學生可能會想象翻折的過程（軸對稱運動），感知如何補全一個軸對稱圖形；有的學生可能會找出圖形上的特殊點，根據軸對稱圖形的特征，找出這些特殊點的對稱點，然后把這些點連起來，從而補全軸對稱圖形，最后讓他們借助方格紙總結補全軸對稱圖形的方法，即選點、定點和連點。在此過程中，教師可以動態展示半個圖形翻折為整個圖形的過程，明確告知學生這就是軸對稱運動，讓學生不僅感知軸對稱的運動屬性，而且從定量的角度發現軸對稱圖形的特征并且掌握補全軸對稱圖形的方法，更重要的是發現在翻折過程中存在不變的要素（圖形的大小和形狀不變）和變的規律（對稱點到對稱軸的距離相等）。

（三）理解圖形運動的本質內涵

引導學生把圖形的運動（軸對稱和平移）歸結為點的運動，發現在圖形運動過程中存在著不變的要素和變化的規律，體會圖形運動的本質，且不同運動之間在某些時候可以互相轉化，初步培養學生的空間觀念和推理能力。

四、對單元整體教學的思考

筆者以北師大版教材為基礎，從單元整體的視角出發，對“軸對稱和平移”單元的教學做出適當的調整，將平移調整為起始課，關注圖形運動要素，由點及線、由線到面，同時關注理解軸對稱和平移運動的內涵。

（一）將“運動要素”作為理解圖形平移運動的重點

例如，課件動態呈現小紅旗的平移過程，引導學生在交流中明確：一方面要說清楚圖形的平移運動包含兩個要素，即方向和距離；另一方面要關注圖形的構造特點，有哪些重要的點或邊，通過對這些點和邊的運動分析，理解圖形的平移和點以及線平移的關系，把圖形的平移歸結為點的平移，獲得對圖形的平移運動的整體認識。

（二）對軸對稱教學的整合思考

小學生對軸對稱的理解應該包含兩個方面：一是具有“軸對稱”特征的一類圖形；二是作為圖形運動的一種方式。即如一個軸對稱圖形可以看作以其一半為基礎，經過“軸對稱運動”而形成。例如，在教學“軸對稱的再認識”時，可以讓學生先觀察圖中的對應點，要求學生回答：數一數，你發現了什么？引導學生在交流中明確：軸對稱圖形一組對應點到對稱軸的距離相等。由此，在教學“補全軸對稱圖形”的方法時，可以先讓學生觀察圖形的構造特點，有哪些重要的點或邊，然后引導學生想象翻折的過程，再結合實際操作過程和結果進行以下討論：“在你補全另一半圖形時，你是先畫點，還是先畫線？你是怎么確定點或者線的位置的？”在學生充分討論和交流的基礎上，進一步交流：“你覺得補全另一半圖形時，最重要的步驟是什么？”最后借助多媒體課件，動態呈現圖形軸對稱運動（翻折）的過程，在此基礎上，可以得到軸對稱圖形上的一組對應點到對稱軸的距離相等，進而可以把圖形的軸對稱運動歸結為點的運動，獲得對圖形的軸對稱運動的整體認識。

（三）厘清圖形的軸對稱運動和平移運動之間的聯系

首先，圖形的軸對稱運動和平移運動都可以歸結為點的運動，在圖形運動的前后，它們的形狀和大小都不發生變化，改變的只是圖形的位置，這是它們最大的共同點。其次，當兩條對稱軸平行時，那么將圖形進行兩次軸對稱運動后就相當于將圖形進行了平移運動，平移的方向和對稱軸垂直，平移移動的距離是兩條對稱軸距離的兩倍。以上結論是針對一般的圖形來說的。有些特殊的圖形，也可以只經過一次軸對稱運動，就能達到平移的效果。

認識兩種運動之間的聯系，有益于學生理解在數學中研究圖形運動的關鍵點，主要在于運動前后圖形的相對位置及其對應點的關系。對圖形的平移和軸對稱的學習，不僅有益于學生從運動的角度去觀察現實世界，從整體的視角去思考現實世界，從而發展他們的幾何空間觀念，而且有益于學生欣賞“圖形與幾何”的美，感受數學世界中的圖形來源于生活，享受學習“圖形的運動”的樂趣，培養他們的應用意識和創新意識。

因此，筆者對“軸對稱和平移”的單元教學安排和學習目標作了適度的調整。

1.“平移”的學習目標：創設俄羅斯方塊游戲情境，讓學生感知平移運動現象；掌握圖形平行的畫法，并能沿著不同方向連續兩次平移；理解平移運動的特征，體會將圖形的平移轉化為點的平移的數學思想方法。

2.“軸對稱再認識（一）”的學習目標：通過折紙活動，直觀感知軸對稱圖形的特征（定性）；能在方格紙上畫出簡單軸對稱圖形的對稱軸；借助方格紙，體會軸對稱圖形的特征（定量）。“軸對稱再認識（二）”，其學習目標為：通過折、畫、剪等活動，直觀感知軸對稱運動；根據軸對稱圖形的特征，補全（畫出）軸對稱圖形；通過綜合練習，建立平移運動和軸對稱運動的聯系。

3.“欣賞與設計”的學習目標：能從軸對稱和平移的角度欣賞生活中的圖案，感受圖形運動的美，進一步體會圖形運動的特點。

從學科邏輯看，軸對稱和平移本質上都是點的運動。先通過平移感悟本質，積累直觀感悟。再從圖形運動的視角認識軸對稱（補全軸對稱圖形的另一半）更切合學科的知識邏輯，也更符合學生的認知邏輯。所以本單元要突破的就是認識和理解圖形上點的運動現象，在探索和理解圖形上所有點運動的過程中，感受軸對稱、平移運動的特點，幫助學生積累圖形運動經驗，發展學生的空間觀念。

（作者單位：深圳市福田區荔園小學〈荔園教育集團〉）

編輯：張俐麗