立足三個(gè)過程 培養(yǎng)推理能力

【摘 要】 三個(gè)版本的課標(biāo)都非常重視對(duì)學(xué)生推理能力的要求.《課標(biāo)（2022年版）》在前兩個(gè)版本的基礎(chǔ)上，將推理能力從“課程內(nèi)容”調(diào)整到“課程目標(biāo)”中，作為初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)之一.推理能力是在推理活動(dòng)的過程中形成與發(fā)展起來的.推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中，教學(xué)中要以全部課程內(nèi)容作為“載體”，在各種課型中都要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷推理活動(dòng)過程.【關(guān)鍵詞】 課程標(biāo)準(zhǔn)；推理能力；課程內(nèi)容；活動(dòng)過程

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022年版）》）在“課程目標(biāo)”中提出了“核心素養(yǎng)”的概念，并且界定了初中階段的9大核心素養(yǎng)表現(xiàn)，其中之一是推理能力.培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)教育的需要，我們?cè)诒疚氖紫妊凶x三版本對(duì)推理能力的要求，然后提出培養(yǎng)學(xué)生推理能力的“宏觀”作法.1 對(duì)推理能力的再認(rèn)識(shí)

我國于1963年首次明確提出邏輯推理能力，之后演變成推理能力.自2000年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡稱《課標(biāo)（實(shí)驗(yàn)版）》）開始，國家已經(jīng)發(fā)布過三個(gè)版本的課標(biāo)，這三個(gè)版本的課標(biāo)中都含有對(duì)“推理能力”的表述與要求.

1.1 呈現(xiàn)推理能力要求的“位置”

《課標(biāo)（實(shí)驗(yàn)版）》在“前言”的第三部分“關(guān)于學(xué)習(xí)內(nèi)容”中，提出“課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)……，發(fā)展學(xué)生的……推理能力”［1］；《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）在“前言”的第三部分“課程設(shè)計(jì)思路”中，提出“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)發(fā)展學(xué)生的……推理能力……”［2］；《課標(biāo)（2022年版）》在“課程目標(biāo)”的第一部分“核心素養(yǎng)內(nèi)涵”中，指出“數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力”［3］.由此可以得出：

（1）《課標(biāo)（實(shí)驗(yàn)版）》和《課標(biāo)（2011年版）》都把“推理能力”放在“課程內(nèi)容”中，強(qiáng)調(diào)的是以課程內(nèi)容為“載體”培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.

（2）《課標(biāo)（2022年版）》把“推理能力”放在了“課程目標(biāo)”中，進(jìn)一步提升了對(duì)“推理能力”的要求，強(qiáng)調(diào)的是教學(xué)中培養(yǎng)推理能力是讓學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的基礎(chǔ)，明確了推理能力有助于學(xué)生“形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度與理性精神”［3］6.

（3）從《課標(biāo)（實(shí)驗(yàn)版）》以后，推理能力以獨(dú)立于思維能力的形式單獨(dú)提出，成為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的組成部分.

1.2 三個(gè)版本課標(biāo)對(duì)推理能力的表述

三個(gè)版本課標(biāo)對(duì)推理能力的表述，見表1.

通過認(rèn)真研讀三個(gè)版本課標(biāo)對(duì)“推理能力”的表述，可以得到：

（1）推理能力是學(xué)生在經(jīng)歷“推理”的過程中形成與發(fā)展而來的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷推理過程，從而提高學(xué)生的推理能力.

（2）從《課標(biāo)（2011年版）》的表述“演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算”中可以看出數(shù)學(xué)計(jì)算過程“實(shí)則”上就是數(shù)學(xué)推理過程.

（3）《課標(biāo)（2022年版）》在《課標(biāo)（2011年版）》的基礎(chǔ)上，明確提出了“了解代數(shù)推理”的要求.

1.3 正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)推理

自《課標(biāo)（2022年版）》提出“代數(shù)推理”的要求以來，很多專家、學(xué)者在刊物上發(fā)表了自己對(duì)“代數(shù)推理”的看法，對(duì)于這些“觀點(diǎn)”，老師們應(yīng)認(rèn)真研讀，深刻思考，不要盲目聽從.

《數(shù)學(xué)教育辭典》指出，數(shù)學(xué)推理就是“根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確立一個(gè)新的數(shù)學(xué)判斷的思維形式”［4］.這里所說的“數(shù)學(xué)推理”并沒有“代數(shù)”與“幾何”之分，因此數(shù)學(xué)推理不應(yīng)有“代數(shù)”與“幾何”之分.筆者認(rèn)為只要是得到一個(gè)“數(shù)學(xué)判斷”的過程，就是推理.正如史寧中教授所言“數(shù)學(xué)推理就是從一個(gè)數(shù)學(xué)命題判斷到另一個(gè)數(shù)學(xué)命題判斷的思維過程”［5］.案例1 （-1）×（-1）為什么等于1？

（-1）×（-1）=1是個(gè)真命題，對(duì)于這個(gè)命題，可以用下面的方法給予證明［5］29：

0=0×（-1）（0乘任何數(shù)為0）

=［（-1）+1］×（-1）（-1與1互為相反數(shù)）

=［（-1）×（-1）］+［1×（-1）］（乘法分配律）

=［（-1）×（-1）］+（-1）（因?yàn)?×（-1）=-1）

注 上面四個(gè)等式后面括號(hào)里的楷體字是該等式成立的根據(jù).

因?yàn)?1的相反數(shù)是1，所以（-1）×（-1）=1.

設(shè)計(jì)意圖 在有理數(shù)的運(yùn)算中，有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則是個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，特別是對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的理解既是重點(diǎn)也是學(xué)習(xí)難點(diǎn).教學(xué)中大部分教師對(duì)此也是“一帶而過”，這樣就喪失了一次引導(dǎo)學(xué)生理解推理過程的“機(jī)會(huì)”.為此，我們?cè)趯W(xué)生學(xué)習(xí)了乘法的交換律和乘法對(duì)加法的分配律后，設(shè)計(jì)了本案例.目的在于培養(yǎng)學(xué)生在運(yùn)算過程必須做到“步步有據(jù)”的良好品質(zhì)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的“嚴(yán)謹(jǐn)性”，感悟到數(shù)學(xué)是一門講“道理”的學(xué)科，這里的講理過程就是數(shù)學(xué)推理.

本例題是基于算理的運(yùn)算，本質(zhì)上是一種演繹推理.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不可以簡單的把運(yùn)算法則理解為依附于運(yùn)算的性質(zhì)，而應(yīng)當(dāng)把運(yùn)算法則理解為運(yùn)算的本質(zhì).

張景中院士指出，“計(jì)算是具體的推理，推理是抽象的計(jì)算……我們可以舉些例子，讓學(xué)生慢慢體會(huì)到所謂推理，本來就是計(jì)算；到了熟能生巧的程度，計(jì)算過程可以省略了，還可以得到同樣的結(jié)果，就成了推理”［6］.

在《課標(biāo)（2022年版）》提出“代數(shù)推理”之前，我們一直在進(jìn)行大量的運(yùn)算活動(dòng)，根據(jù)張景中院士的觀點(diǎn)，這種運(yùn)算過程就是推理.因此，“代數(shù)推理”不是“新”的推理類型，從這個(gè)意義上講，《課標(biāo)（2022年版）》提出“代數(shù)推理”的概念很值得商榷.

1.4 數(shù)學(xué)推理能力的主要表現(xiàn)

初中階段，培養(yǎng)學(xué)生“推理能力”的目的，是要求學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)推理解決學(xué)習(xí)中遇到的問題.對(duì)應(yīng)《課標(biāo)（2022年版）》的解讀認(rèn)為，初中階段的推理能力表現(xiàn)在10個(gè)方面，如“理解數(shù)學(xué)概念的定義過程，能夠利用概念定義進(jìn)行簡單的推理”“感悟推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種基本活動(dòng)，是理解數(shù)學(xué)和解決問題的主要方式”［7］等等.對(duì)于這10個(gè)方面，教師們要認(rèn)真閱讀、反復(fù)思考，便于自己在教學(xué)實(shí)踐中更加有效的培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 培養(yǎng)推理能力的三個(gè)主要過程

《課標(biāo)（2011年版）》指出“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中”［2］6.這就要求我們應(yīng)以“數(shù)與代數(shù)”“圖形與結(jié)合”“統(tǒng)計(jì)與概率”三個(gè)領(lǐng)域的課程內(nèi)容為載體，在新知識(shí)的學(xué)習(xí)、探究以及開展“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的過程中，始終要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力.

從數(shù)學(xué)化的角度看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要包含兩大方面的任務(wù)：一是探究新的數(shù)學(xué)知識(shí)；二是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題［8］.在完成這兩方面任務(wù)的同時(shí)，學(xué)生的推理能將得到培養(yǎng)和提高.因此，從培養(yǎng)學(xué)生推理能力的角度看，我們應(yīng)立足于下面的三個(gè)活動(dòng)過程.

2.1 概念的建立過程

數(shù)學(xué)概念是揭示現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式，是構(gòu)成教材的基本單位，是“四基”的核心，數(shù)學(xué)知識(shí)幾乎都是概念.《課標(biāo)（2022年版）》界定的初中學(xué)段的課程內(nèi)容中，約有400個(gè)概念教學(xué)，概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的重要組織部分.每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是千錘百煉的結(jié)果.數(shù)學(xué)概念構(gòu)成了一個(gè)相對(duì)完整的邏輯體系，概念之間不僅建立了各種邏輯聯(lián)系，形成各種相關(guān)的命題，而且正是這種多元聯(lián)系，使得概念的表征具有多樣化［9］.

數(shù)學(xué)概念課的學(xué)習(xí)屬于新授課，幾乎每一節(jié)新授課都涉及數(shù)學(xué)概念，因此一定要重視數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)，在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的建立過程中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.

案例2 銳角三角比概念的建立過程.

“銳角三角比”是青島版九上第二章“解直角三角形”第一節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)課依次給出了正弦、余弦和正切的概念，最后給出銳角三角比的概念.在概念建立過程中，應(yīng)實(shí)現(xiàn)下面的目標(biāo)：

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

（1）引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、觀察、探究、交流、猜測(cè)等活動(dòng)的過程中，探索銳角三角比的意義，發(fā)展學(xué)生的推理能力并積累學(xué)生基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（2）了解直角三角形中銳角的正弦、余弦、正切的概念，認(rèn)識(shí)銳角三角比sinA，cosA，tanA的符號(hào)，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí).

為了在建立銳角三角比概念的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，設(shè)計(jì)了下面三個(gè)環(huán)節(jié)：

【問題情境】

用木板構(gòu)造定角∠A（圖1），用表2給出四組數(shù)據(jù).

表2 木板上的點(diǎn)到點(diǎn)A以及到地面的距離木板上的點(diǎn)到A點(diǎn)的距離/m距地面的高度/mB11.500.75B21.200.60B31.000.50B40.800.40

【探究發(fā)現(xiàn)】

（1）計(jì)算五個(gè)比值：BCAB，B1C1AB1，B2C2AB2，B3C3AB3，B4C4AB4，有何發(fā)現(xiàn)？

【猜想證明】

（2）在任意銳角A的一邊上任取兩個(gè)點(diǎn)B與B′，向∠A的另一邊作垂線，垂足為C與C′（如圖2），猜測(cè)BCAB與B′C′AB′的關(guān)系，證明你的猜想.

（3）如圖2，比值B′C′AB′的大小與點(diǎn)B′在AB邊上的位置有關(guān)嗎？

（4）如圖3，以A為端點(diǎn)，在銳角A的內(nèi)部（或外部）作一條射線，在這條射線上取點(diǎn)B″，使AB″=AB′，這樣又得到了一個(gè)銳角∠B″AC.過B″作B″C″⊥AC，垂足為點(diǎn)C″.比值B′C′AB′與B″C″AB″相等嗎？由此你能得到什么的結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖 本設(shè)計(jì)分為“問題情境—探究發(fā)現(xiàn)—猜想證明”三個(gè)環(huán)節(jié)，在“問題情境”環(huán)節(jié)，用貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)的材料激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.在“探究發(fā)現(xiàn)”環(huán)節(jié)，學(xué)生根據(jù)表中的數(shù)據(jù)通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)：當(dāng)∠A的大小不變，木板上任意一點(diǎn)距地面的高度與該點(diǎn)到A點(diǎn)的距離之比都等于同一個(gè)常數(shù)12.在學(xué)生通過計(jì)算得到問題（1）的結(jié)論后，為了得到一般化的結(jié)論，我們又設(shè)計(jì)了三個(gè)小問題，用“猜想證明”給出，對(duì)于問題（2），大部分學(xué)生都能得到BCAB=B′C′AB′的結(jié)論，并且給出下面的證明：因?yàn)椤螦=∠A，∠BCA=∠B′C′A=90°，所以Rt△ABC∽R(shí)t△AB′C′，因此BCAB=B′C′AB′.在學(xué)生得到這個(gè)結(jié)論后，教師鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語言表述一般性結(jié)論，學(xué)生思考、交流后概括到“當(dāng)銳角A的大小確定時(shí)，銳角A的對(duì)邊與斜邊的比值是不變的”.這種設(shè)計(jì)意在為后面引出銳角三角比概念打下“伏筆”，降低了學(xué)生理解的“難度”.對(duì)于問題（4），學(xué)生容易得到B′C′AB′≠B″C″AB″.證明如下：假設(shè)B′C′AB′=B″C″AB″因?yàn)锳B″=AB′，所以B″C″=B′C′，于是Rt△AB″C″≌Rt△AB′C′，則∠B′AC′=∠B″AC″，這與題意矛盾.

由此，學(xué)生得到下面的認(rèn)知：在Rt△ABC中，銳角A的對(duì)邊與斜邊的比值與銳角A的大小有關(guān)，對(duì)于Rt△ABC中的每一個(gè)銳角A都有唯一確定的比值與之對(duì)應(yīng).這個(gè)唯一確定的比值就是一個(gè)新的知識(shí)，這時(shí)給出定義的時(shí)機(jī)已經(jīng)成熟，于是給出∠A的正弦概念.

在建立銳角A的正弦的過程中，由問題（3）（4）得到的兩個(gè)結(jié)論至關(guān)重要，學(xué)生在獲得這兩個(gè)結(jié)論的過程中，經(jīng)歷了兩次證明過程，既有熟悉的證明方法，也有用的較少的證明方法（反證法）.可見，銳角三角比概念的建立過程促進(jìn)了學(xué)生推理能力的提高.

2.2 數(shù)學(xué)探究過程

《課標(biāo)（2022年版）》在解釋“三會(huì)”的培養(yǎng)目標(biāo)中多次強(qiáng)調(diào)“探究”，如“形成對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心與想象力，主動(dòng)參與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)”［3］5“能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究”［3］5“能夠探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實(shí)情境所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律”［3］6等等.

數(shù)學(xué)探究就是學(xué)生在教師精心設(shè)計(jì)好的問題啟發(fā)引導(dǎo)下，以自主學(xué)習(xí)或合作討論的方式為主，以解決問題為探究內(nèi)容的學(xué)習(xí)活動(dòng)［10］.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，能逐漸形成“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考”的習(xí)慣，不斷“增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”，這些基本素養(yǎng)都是學(xué)生“三會(huì)”的重要基礎(chǔ).案例3 根與系數(shù)關(guān)系的探究過程.

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

（1）了解一元二次方程ax2+bx+c=0根與系數(shù)的關(guān)系；

（2）讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、計(jì)算、猜想、交流、證明等推導(dǎo)根與系數(shù)關(guān)系的活動(dòng)過程，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展推理能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

為了實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)，我們用下面的問題系列引導(dǎo)學(xué)生自主探索：

【計(jì)算填表】

（1）解下面的一元二次方程，并把結(jié)果填寫在表3中的二、三兩列：

①x2-3x+2=0;②x2-x-6=0;③3x2+x-2=0;④2x2-5x-3=0.

（2）分別計(jì)算每個(gè)方程的兩根之和與兩根之積，并把結(jié)果填到表3中的第四、五兩列.

【觀察思考】

（3）觀察表3中的第四、五兩列，方程①②的兩根之和與兩根之積的值分別與相應(yīng)方程的系數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？x2-9=0具有這種關(guān)系嗎？

（4）方程③④也有這種關(guān)系嗎？

【猜想證明】

（5）猜想一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根x1，x2與方程的系數(shù)a，b，c之間有什么關(guān)系？你能證明你的猜想嗎？相互交流.

（6）用自己的語言表達(dá)上述規(guī)律.

設(shè)計(jì)意圖 《課標(biāo)（2022年版）》對(duì)于“一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系”的要求并不高，用的是“了解”.教材將本內(nèi)容安排在“公式法解一元二次方程”的后面，根據(jù)ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式，可以得到x1=－b+b2－4ac2a，x2=－b－b2－4ac2a.在此基礎(chǔ)上通過直接計(jì)算得到x1+x2=－ba，x1x2=ca.這就是“根與系數(shù)的關(guān)系”，具有這個(gè)關(guān)系的前提是方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.教學(xué)中如果直接這樣講授就“喪失”了培養(yǎng)學(xué)生推理能力的大好機(jī)會(huì)，不利于學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

因此，我們?cè)O(shè)計(jì)了本案例.本案例含有“計(jì)算填表—觀察思考—猜想證明”三個(gè)環(huán)節(jié)，共設(shè)計(jì)了六個(gè)小問題.對(duì)于“計(jì)算填表”環(huán)節(jié)中的兩個(gè)小問題，全體學(xué)生都能正確解答.“觀察思考”環(huán)節(jié)的目的在于讓學(xué)生通過觀察表格，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽象出一般性的結(jié)論，為下一個(gè)環(huán)節(jié)作好“鋪墊”.其中問題（3）是關(guān)鍵，教學(xué)中教師要舍得在這個(gè)問題上下功夫，力爭讓全體學(xué)生都能得到這個(gè)發(fā)現(xiàn).在學(xué)生得到問題（3）的規(guī)律后，教師鼓勵(lì)學(xué)生從觀察方程③④與方程①②的二次項(xiàng)系數(shù)入手，引導(dǎo)學(xué)生自主解答問題（4）.“猜想證明”環(huán)節(jié)中問題（5）意在讓學(xué)生經(jīng)歷合情推理與演繹推理活動(dòng)，由特殊到一般的探索出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，在經(jīng)歷“根與系數(shù)關(guān)系”的產(chǎn)生過程中感悟數(shù)學(xué)的思維方式，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).學(xué)生經(jīng)過前面兩個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，很容易猜想到x1+x2=－ba，x1x2=ca并給出證明.問題（6）的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力.這個(gè)案例對(duì)學(xué)生的“三會(huì)”都有積極的教育教學(xué)價(jià)值.

從“推理能力”的角度看，“觀察思考”環(huán)節(jié)培養(yǎng)了學(xué)生的合情推理能力，而“猜想證明”環(huán)節(jié)培養(yǎng)了學(xué)生的演繹推理能力，這個(gè)過程是標(biāo)準(zhǔn)的“三段論”，與幾何證明過程是相同的，教學(xué)中教師要向?qū)W生講清楚.

在學(xué)習(xí)“圖形與幾何”領(lǐng)域的課程內(nèi)容時(shí)，經(jīng)常伴隨著推理活動(dòng)，本領(lǐng)域課程內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的主要載體；在學(xué)習(xí)“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的課程內(nèi)容時(shí)，要利用好各種數(shù)據(jù)，在“能解釋數(shù)據(jù)分析的結(jié)果，能根據(jù)結(jié)果作出簡單的判斷和預(yù)測(cè)”等過程中培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理能力；在利用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的知識(shí)開展“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的過程中，始終伴隨著學(xué)生的“說理”與“推理”活動(dòng)，這都是培養(yǎng)學(xué)生推理的重要過程.

2.3 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的過程

《課標(biāo)（2022年版）》在“總目標(biāo)”中要求，“在探索真實(shí)情境所蘊(yùn)含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)與方法分析問題和解決問題”［1］11.學(xué)生在“分析問題和解決問題”的同時(shí)，既需要學(xué)生的推理能力，也能進(jìn)一步提升學(xué)生的推理能力.

案例4 比較概率大小.

如圖4，在正方形中，陰影部分是以正方形的頂點(diǎn)及其對(duì)稱中心為圓心，以正方形邊長的一半為半徑作弧形成的封閉圖形．將一個(gè)小球在該正方形內(nèi)自由滾動(dòng)，小球隨機(jī)地停在正方形內(nèi)的某一點(diǎn)上．若小球停在陰影部分的概率為P1，停在空白部分的概率為P2，試判斷P1與P2的大小.

析解 如圖5，連接AE，BD交于點(diǎn)O，由題意可得A，B，E，D分別是正方形四條邊的中點(diǎn)，所以點(diǎn)O為正方形的中心，所以S四邊形AOBF=S四邊形AODC.

因?yàn)樯刃蜲AB的面積等于扇形CAD的面積，

所以S四邊形AOBF-S扇形OAB=S四邊形AODC-S扇形CAD，

所以陰影部分的面積等于空白部分的面積，從而得到陰影部分的面積等于大正方形面積的一半，所以P1=P2.

設(shè)計(jì)意圖 關(guān)于隨機(jī)事件的概率，《課標(biāo)（2022年版）》的要求是“能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定隨機(jī)事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解隨機(jī)事件的概率”［1］75.我們?cè)趯W(xué)生會(huì)計(jì)算簡單隨機(jī)事件的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了這個(gè)問題.本題是判斷幾何概率大小的問題，解答的關(guān)鍵是正確計(jì)算出空白部分和陰影部分的面積.主要考查了學(xué)生的計(jì)算能力，同時(shí)也進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力.3 結(jié)束語

培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的需要，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中，不論學(xué)習(xí)哪一個(gè)領(lǐng)域的課程內(nèi)容，也不論在怎樣的“課型”中，都要精心設(shè)計(jì)問題系列，以此引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷各種各樣的“過程”，在“過程”中培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的推理能力，從而不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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李樹臣（1962—），男，山東沂南人，中學(xué)正高級(jí)教師；臨沂大學(xué)學(xué)生學(xué)業(yè)導(dǎo)師，山東省教育科研先進(jìn)個(gè)人、山東省創(chuàng)新教育先進(jìn)個(gè)人、三次獲山東省教學(xué)成果獎(jiǎng)、全國義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材（青島版）的核心作者、分冊(cè)主編、中國人民大學(xué)《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》編委、湖北大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)》特約編委.