基于已知知識的高效課堂教學研究

［摘 要］傳統的數學教學往往將知識劃分為孤立的單元來引導學生學習，這種孤立、碎片化的學習限制了學生對知識的綜合理解及應用。教師應實施基于已知知識的課堂教學，讓學生將新知識與已有知識建立聯系，激發學生的學習興趣和學習能力，促進學生深入理解和有效應用新知識，從而打造高效課堂。

［關鍵詞］已知知識；高效；課堂教學

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）17-0010-03

在初中數學教學中，遵循學生認知發展的一般規律，搭建已知知識到未知知識的橋梁，是學生理解知識、提升能力的關鍵。筆者在平時的作業中發現，學生對于如何解決二次函數中的線段、面積最值問題存在一定疑惑。基于此，筆者根據學生學情，以已知知識為基礎，以構建高效課堂為目標，在同一個函數背景下設計了一節關于二次函數中的線段、面積最值問題的專題課。本節課氣氛活躍，學生參與度高，取得了良好的教學效果，現與讀者進行分享。

一、教學過程

環節一 基礎熱身

引問1：若點[A（2，4）]，[B（2，1）]，求線段AB的長度。

引問2：若[A（x，yA）]，[B（x，yB）]，求線段AB的長度。

對于引問1，學生已經非常熟悉，基本上能夠馬上解答。在引問1的基礎上，筆者將問題一般化，繼續提出引問2，學生在稍作思考后能得到當點[A]與點[B]的上下位置關系不確定時，[AB=yB-yA]，筆者引導學生總結得到用坐標表示鉛垂線段長的一般方法，即當[AB]∥[y]軸時，[AB=yB-yA]。

緊接著，筆者將引問中的問題置于二次函數背景下，提出下面的開放性問題。

問題1：如圖1，拋物線[y=-x2+2x+3]與[x]軸交于點[D]、[E]，與[y]軸交于點[C]，在[CE]上方的拋物線上有一動點[A]。若[xA=2]，過點[A]作[AB]∥[y]軸交[CE]于點[B]，你能求出圖中的哪些量？

學生在思考后踴躍發言。

學生1：將[xA=2]代入拋物線的解析式，可以求出點[A]的坐標是（2，3）。

學生2：點[D]、[E]在[x]軸上，令[y=0]，得到方程[-x2+2x+3=0]，解得[xD=-1]，[xE=3]，從而得到[D（-1，0）]，[E（3，0）]。

學生3：知道點[C]和點[E]的坐標后，可以求出直線[CE]的解析式是[y=-x+3]。

學生4：因為[AB]∥[y]軸，所以[xB=xA=2]，代入直線[CE]的解析式可以求出點[B]的坐標是（2，1）。

教師：很好！剛才同學們得到了點的坐標，有了點的坐標，我們就可以求出直線的解析式，除此之外還可以求什么？

學生5：還可以求出線段的長，比如[OC=OE=3]，[OD=1]，[AB=2]。

學生6：因為[OC=OE]，所以[△OCE]是一個等腰直角三角形，[∠OCE=∠OEC=45°]，又因為[AB]∥[y]軸，[∠ABC=∠OCE=45°]。

筆者在問題1的基礎上，繼續將其中的線段問題一般化，給出變式1。

變式1：若[xA=m]，過[A]作[AB]∥[y]軸交[CE]于點[B]，求線段[AB]的長（用含[m]的式子表示）。

筆者要求學生寫出完整的解題過程，并請一名學生敘述自己的解題過程，然后再進行板書。有了前面問題的鋪墊，學生不難發現，要求鉛垂線段[AB]的長度，只需要將點[A]、[B]的縱坐標表示出來即可，將[xA=m]代入拋物線的解析式可以得到[yA=-m2+2m+3]，將[xB=m]代入直線[CE]的解析式可以得到[yB=-m+3]，進而得到[AB=-m2+3m]。

設計意圖：點是構成幾何圖形最基本的元素，能夠用點的坐標表示線段的長是本節課的學習基礎。引問從學生較為熟悉的知識入手，堅持“低起點”，從最基本的求線段長度出發，既為后面的線段最值問題的求解鋪墊，又符合學生的“最近發展區”，讓學生能“跳一跳，摘到桃子”。問題1是一個開放性問題，其中所求解的元素在后面的問題中都可以用到，既為后面的問題解決節省時間，又調動了學生的學習積極性，培養了學生的發散思維。變式1的提出是從特殊到一般的轉化。“基礎熱身”環節給出的幾個基本問題，為后續問題的提出和解決埋下了伏筆。

環節二 拾級而上

在用未知數表示出線段[AB]的長度后，筆者提出以下鉛垂線段的最值問題。

變式2：過[A]作[AB]∥[y]軸交[CE]于點[B]，求線段[AB]的最大值。

學生思考后給出答案。

學生7：對變式1中的結果[AB=-m2+3m]進行配方，得到[AB=-m-322+94]，因為平方具有非負性，所以[-m-322≤0]，所以[AB≤94]，即[AB]的最大值是[94]。

教師：當[m]取何值時，[AB]取到最大值[94]？

學生8：當[m=32]時，[AB]取到最大值[94]。

教師：[m]能取到[32]嗎？你能求出[m]的取值范圍嗎？

學生9：可以取到，因為點[A]是[CE]上方拋物線上的動點，所以[0lt;mlt;3]。

教師：很好！對于式子[AB=-m2+3m]，我們可以看成[AB]是關于[m]的二次函數，當我們利用配方法求二次函數的最值時，需要考慮自變量的取值范圍，只有當頂點的橫坐標在自變量的取值范圍內，才可以在頂點處取得最值，這是很多同學會忽略的一點。

接著，筆者引導學生對求鉛垂線段最值的一般思路進行總結，并趁熱打鐵，在變式2的基礎上提出變式3。

變式3：如圖2，過點[A]作[AH⊥CE]于[H]，求線段[AH]的最大值。

教師：剛才我們求的是一條鉛垂線段的最值，現在我們稍微改變一下，過點[A]作[AH⊥CE]于[H]，由圖可知，線段[AH]相對于坐標軸是傾斜的，我們把這樣的線段叫作“斜線段”，它的長度的最大值如何求呢？

在學生思考后，筆者請學生到講臺進行展示。

學生10：可以借鑒變式2的方法，過點[A]作[AB]∥[y]軸交[CE]于點[B]（如圖3），所以[∠ABC=∠OCE=45°]，[△ABH]是等腰直角三角形，[AH=AB·sin45°=22AB]，在變式2中求出了[AB]的最大值是[94]，代入得[AH]的最大值是[928]。

教師：真棒！這里除了利用三角函數得到[AH]與[AB]的數量關系，還可以用什么方法？

學生11：利用[△ABH]∽[△ECO]也可以得到[AH=22AB]。

教師：剛才我們已經求出了斜線段[AH]的最大值，那么接下來我們還能求誰的最值呢？

學生12：還能求三角形面積的最值。

教師順勢給出變式4。

變式4：如圖4，連接[AC]、[AE]，求[△ACE]面積的最大值。

有了前面問題的鋪墊，學生在思考后積極發言。

學生13： 如圖5，過點[A]作[AH⊥CE]，因為[S△ACE=12CE·AH]，[CE]是定值[32]，要求[△ACE]面積的最大值，只需求[AH]的最值，過點[A]作[AB]∥[y]軸交[CE]于點[B]，由變式3可以得到[AH=22AB]，所以[S△ACE=322AH=322×22AB=32AB]，線段[AB]的最大值在變式2中已經求出，代入上式就可以得到[S△ACE]的最大值是[278]。

學生14： 我們也可以只作一條輔助線，過點[A]作[AB]∥[y]軸交[CE]于點[B]，則[S△ACE=S△ABC+S△ABE=12AB（xA-xC）+12AB（xE-xA）=12AB（xE-xC）=32AB]，所以只要求[AB]的最值就可以了。

教師：在這里，我們由鉛垂線段[AB]的最值得到了“斜線段”（高）[AH]的最值，最后求出了[△ACE]面積的最值。反過來，我們也可以利用割補法直接得到關系式[S△ACE=12AB（xE-xC）=32AB]，進而由[AB]的最值得到[△ACE]面積的最值，再由[S△ACE=12CE·AH]求出斜線段[AH]的最值，這為變式3的解決提供了新的思路。

緊接著，筆者將變式2至變式4中的三個圖形整合在一起，讓學生觀察三個圖中點[A]的位置有什么共同點。經過仔細分析，學生很快發現點[A]在直線[CE]的上方。

筆者繼續追問：如果點[A]在直線[CE]的下方，還能求出變式2至變式4中的最值嗎？從而讓學生體會編題的嚴謹性，為后續引出問題2埋下伏筆。

設計意圖：變式2至變式4由淺入深，螺旋式上升，將鉛垂線段、斜線段、三角形的面積最值問題在同一個函數背景下連成線，在變式1的基礎上解決變式2中鉛垂線段的最值問題，在變式2的基礎上解決變式3中斜線段的最值問題，進而實現變式4中面積最值問題向線段最值問題的轉化。縱觀這三個變式可以發現，解決問題的方法可以歸根為研究鉛垂線段的最值問題。此環節題目不多，但內容豐富，層層遞進，既節省了課堂時間，避免了課堂重復，又讓學生深刻理解了點、線、面之間的聯系，能夠幫助學生形成完整的認知體系，培養學生的遷移能力，提高學生的解決問題能力。

環節三 拓展生成

問題2：如圖6，已知拋物線[y=12x2-x-4]，點[P]是拋物線上的一個動點，請根據這節課所學的知識添加適當的條件，編一道與線段或面積有關的最值題，并求解。

在給出問題2后，筆者強調設計的題目應具備合理性與嚴謹性，并讓學生進行小組討論。整個過程學生興趣高漲，積極思考，大部分學生能夠在變式2至變式4的基礎上編制常規的線段、面積最值題，并進行求解，也有部分學生自主創新，編制出了較為新穎的題目。

學生15：如圖7，已知拋物線[y=12x2-x-4]，點[P]是第四象限拋物線上的一個動點，連接[AC]、[BP]、[CP]，求四邊形[ACPB]面積的最大值。我們可以利用割補法求解，連接[BC]，[S四邊形ACPB=S△ABC+S△PBC ]，[S△ABC]是定值，所以只要求[△PBC]面積的最大值即可，[△PBC]面積的最大值的求解方法和變式4一樣。

學生16：如圖8，已知拋物線[y=12x2-x-4]，點[P]是第四象限拋物線上的一個動點，點[Q]是平面內的一個動點，且四邊形[BQCP]是平行四邊形，當平行四邊形[BQCP]的面積最大時，求點[Q]的坐標。

教師：這道題目的綜合性較強，如何求解？

學生17：連接[BC]，[S?BQCP=2S△PBC]，當[?BQCP]的面積最大時，[△PBC]的面積也最大，利用變式4的方法可以求出點[P]的坐標，再根據平行四邊形的性質，利用平移法或中點法即可求出點[Q]的坐標。

經過一系列的生成與問題解決，學生的思維不斷碰撞。教師引導學生歸納總結解決這類問題的一般方法，體會“萬變不離其宗”的意境。

設計意圖：問題2是一個開放性問題，鼓勵學生在深刻掌握變式問題的基礎上進行編題，可使學生從教師的角度理解所學知識，是培養學生創新能力的有效手段。雖然此處讓學生自己探索編題的過程明顯比教師直接給出題目讓學生做耗時更長，但學生興趣更加濃厚，思考更加主動，生成更加自然。學生合作探究，可以優化思維過程；學生主動創造，可以提升思維能力，真正成為學習的主人。

二、教學反思

本次教學結合二次函數中的典型問題——線段、面積最值問題，通過問題串的形式將教學內容串成一線，從已知知識層次逐漸轉變為能力提升、思維創新層次，環環相扣，層層遞進，不同問題間的過渡自然，有利于學生理解。在問題設計上，以同一個函數為背景，在已知方法的基礎上引導學生尋找不同問題的解決方法的共性，建立聯系點，壓縮學生機械演算的過程，增加學生思維的時間，有效地助推了高效課堂的構建，提高了學生的思維能力。

綜上可知，教師的教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已知知識的基礎上。教學中，教師應著眼于學生的“最近發展區”，創設問題情境引發學生思考，將“未知”與“已知”進行整合串聯，引導學生經歷知識發展的過程，使學生學會用數學的思維進行演算與推理，進而真正實現高效教學。

（責任編輯 黃春香）