基于數(shù)學(xué)活動(dòng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略研究

摘" 要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》與新教材更加重視發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，并提出數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線之一.為此，本文以“探究切面圓柱體的性質(zhì)”教學(xué)為例，探討數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)策略，提出活動(dòng)應(yīng)具有可操作性與趣味性、設(shè)問應(yīng)有線索指引、問題應(yīng)有序設(shè)置并具有邏輯關(guān)聯(lián).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)活動(dòng)；橢圓；旦德林雙球模型；切面圓柱體

中圖分類號：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）18-0002-05

收稿日期：2024-03-25

作者簡介：郭庭光（1991.10—），男，廣東省揭陽人，碩士，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)、會(huì)用數(shù)學(xué)，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容落實(shí)“四基”，培養(yǎng)“四能”，將核心素養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程.如果在數(shù)學(xué)教學(xué)中能有目的地開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在看得見、摸得著的情況下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，更能驅(qū)動(dòng)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累隱性經(jīng)驗(yàn).

1" 高中“數(shù)學(xué)活動(dòng)”教學(xué)策略1.1" 根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)

教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生學(xué)情、教學(xué)內(nèi)容及要達(dá)成的教學(xué)目的，設(shè)計(jì)具體可執(zhí)行的活動(dòng)流程.活動(dòng)的關(guān)鍵在于必須尊重學(xué)生學(xué)情，探討內(nèi)容和難度要著眼其最近發(fā)展區(qū)，且問題與問題之間的順序要有邏輯性，設(shè)置明確合理的線索以保證問題之間是緊密相連、層層遞進(jìn)且環(huán)環(huán)相扣，才能逐層引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，并在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.

1.2" 教師引導(dǎo)學(xué)生，主導(dǎo)活動(dòng)過程

雖然“數(shù)學(xué)活動(dòng)”設(shè)計(jì)的初衷是鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考，但是教師對教學(xué)活動(dòng)的主導(dǎo)作用卻是課堂效率的保證，因此教師應(yīng)該在教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)時(shí)更加注意對學(xué)生的引導(dǎo)，在設(shè)問時(shí)要留下足夠的線索.當(dāng)學(xué)生在探究討論的過程中遇到困難時(shí)，教師可以通過與學(xué)生交流，給予一定的引導(dǎo)和幫助［1］.

1.3" 借助幾何直觀，突破重點(diǎn)難點(diǎn)

幾何直觀是指借助所見的幾何圖形，對研究對象進(jìn)行直接認(rèn)知與整體把握的能力.高中生具有一定的空間想象能力，但對于大部分學(xué)生而言，平面幾何和立體幾何一直都是難以跨越的障礙.

例如，在設(shè)計(jì)“探究切面邊緣曲線的焦點(diǎn)位置”教學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師若只用語言說明和符號書寫的方式去講授，課堂必然是索然無味，因此如何把切面邊緣曲線展現(xiàn)出來就成為關(guān)鍵所在.“圓柱體被平面所截”在黑板上難以展現(xiàn)，但可以借助多媒體的力量，用軟件GeoGebra制作動(dòng)畫展現(xiàn)截取過程.

1.4" 注重課后反思，總結(jié)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動(dòng)的主體是學(xué)生.教師可以組織學(xué)生反思自己在活動(dòng)中學(xué)到什么知識(shí)，運(yùn)用了什么研究方法，同時(shí)也要回顧哪些知識(shí)點(diǎn)還有疑問，哪些結(jié)論還能進(jìn)一步推導(dǎo)，其他同學(xué)的方法有什么值得借鑒的地方，這是對所學(xué)知識(shí)的進(jìn)一步升華.

1.5" 重視評價(jià)反饋，打磨活動(dòng)細(xì)節(jié)

數(shù)學(xué)活動(dòng)是數(shù)學(xué)課堂的一種展現(xiàn)形式，但其本質(zhì)仍然是一堂數(shù)學(xué)課，因此教學(xué)評價(jià)是教學(xué)活動(dòng)不可或缺的重要環(huán)節(jié).為提高學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效果，需要對學(xué)生知識(shí)概念掌握程度、課堂活動(dòng)參與程度、動(dòng)手探究的積極性、新知識(shí)的應(yīng)用程度進(jìn)行恰當(dāng)且有效的評價(jià).

2" 高中“數(shù)學(xué)活動(dòng)”教學(xué)實(shí)踐下面以“探究切面圓柱體的性質(zhì)”教學(xué)活動(dòng)為例進(jìn)行深入探究.

“探究切面圓柱體的性質(zhì)”是一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課，課堂定位是學(xué)生學(xué)習(xí)完圓錐曲線后，根據(jù)教材閱讀資料提供的圓錐體旦德林雙球模型引申出對圓柱體的旦德林雙球模型的推廣與探討.近幾年高考出題更加注重對課本閱讀材料的理解，這節(jié)課就是通過活動(dòng)的形式帶動(dòng)學(xué)生去體會(huì)如何從材料里獲得新知識(shí)，并解決新問題.為了更好展示旦德林雙球形以及切面圓柱體，本節(jié)課借助軟件GeoGebra制作動(dòng)態(tài)圖，同時(shí)也指導(dǎo)學(xué)生制作自制教具以作直觀感受.本節(jié)課的主要流程如下：引入圓柱體的旦德林雙球模型→探究活動(dòng)；猜測切面的焦點(diǎn)→利用定義證明切面是橢圓→探究活動(dòng)；切面圓柱體的性質(zhì)→評價(jià)總結(jié)［2］.

2.1" 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

2.1.1" 設(shè)計(jì)思路

教師從教材的章節(jié)封面出發(fā)，帶學(xué)生回顧如何從圓錐體中截出橢圓、拋物線、雙曲線，然后啟發(fā)學(xué)生把圓錐體更換成圓柱體曲線會(huì)不會(huì)有所改變.

2.1.2" 課堂活動(dòng)內(nèi)容

師：我們一起回憶橢圓是怎么從圓錐體中截出來的？（如圖1所示）

生：斜著截圓錐體.

師：怎樣算是斜？

生：截面不與底面平行.

師：那拋物線呢？

生：與圓錐母線平行.

師：再看看雙曲線？

生：垂直底面截兩個(gè)倒放的圓錐體.

師：那這些曲線都是截圓錐得到的，如果把這個(gè)圓錐體換成圓柱體呢？又有什么區(qū)別？這是今天我們要探究的內(nèi)容.

師：一個(gè)圓柱體被一個(gè)不平行底面的平面所截，底面與截面之間的部分叫作切面圓柱體，我們先猜測切面邊緣曲線是什么圖形？（如圖2所示）

生：（齊聲）橢圓！

師：那我們就先猜測它是一個(gè)橢圓，既然是猜測，下一步就需要干什么？

生：（齊聲）需要證明！

師：應(yīng)該用什么方法去證明？

生：定義法！

師：那一起來回憶橢圓定義是什么？

生：橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和是一個(gè)定值并大于兩個(gè)定點(diǎn)的距離，即

|PF1|+|PF2|=2agt;|F1F2|=2c.

師：在定義里面大家認(rèn)為最關(guān)鍵找什么？

生：找焦點(diǎn)！

2.2" 探究活動(dòng)——探究切面邊緣曲線的焦點(diǎn)位置2.2.1" 設(shè)計(jì)思路

在課前要求學(xué)生利用鋸紙筒的方法做好自制教具，并利用紙筒和球讓學(xué)生模仿制作一個(gè)簡易的圓柱體旦德林雙球模型.通過實(shí)體的教具，把截面邊緣上的橢圓用印泥印在紙面上，同時(shí)紙面上也會(huì)印出圓柱體內(nèi)切球與切面間的切點(diǎn)，學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，自然會(huì)聯(lián)想到切點(diǎn)就是切面橢圓的焦點(diǎn)，為接下來的證明做好了鋪墊，起到了承上啟下的作用.

2.2.2" 課堂活動(dòng)內(nèi)容

師：我們都知道焦點(diǎn)是關(guān)鍵，如果這個(gè)切面邊緣曲線是一個(gè)橢圓，它的焦點(diǎn)藏在哪里？

生：……（找不出來）

師：是不是很難找？即使尺子量也量不出來，那這時(shí)候我們不得不提到一個(gè)比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林，他研究的是圓錐與圓的切線問題，他提出一個(gè)天才的想法，那就是旦德林雙球模型.大家來看一下這個(gè)動(dòng)圖，大家發(fā)現(xiàn)了什么.（如圖3所示）

師：這里有幾個(gè)球？

生：兩個(gè)球.

師：兩個(gè)球與這個(gè)圓錐什么關(guān)系？

生：兩個(gè)球與圓錐在內(nèi)部相切！

師：我們再看這個(gè)截面，它與兩個(gè)球有什么關(guān)系？

生：球與截面也是相切！

師：這個(gè)圖中兩個(gè)紅色的線段和兩個(gè)紫色的線段看起來都具有什么特點(diǎn)？

生：紅色和紅色相等，紫色和紫色相等.

師：那球與兩個(gè)面的兩個(gè)切點(diǎn)最有可能是什么？

生：橢圓的焦點(diǎn)！

師：現(xiàn)在不妨也猜測它們就是橢圓的焦點(diǎn)，并一起動(dòng)手做一個(gè)圓柱體的旦德林雙球模型.

生：（動(dòng)手嘗試后）可以把球放在切面圓柱體內(nèi)，并倒放按在桌面上，使得乒乓球剛好與桌面相切.

師：同桌之間挑一個(gè)鋸面比較平整的切面圓柱體，然后印在印泥上，再把它蓋在紙上.

師：上面有幾個(gè)切點(diǎn)？

生：一個(gè)切點(diǎn).

師：一個(gè)切點(diǎn)就是有一個(gè)焦點(diǎn)，但橢圓應(yīng)該有幾個(gè)焦點(diǎn)？

生：兩個(gè)！

師：那怎么辦？

生：可以反著印.

2.2.3" 課堂分析

本次活動(dòng)探究重點(diǎn)在于學(xué)生動(dòng)手探究切面邊緣橢圓焦點(diǎn)的位置，在切面圓柱紙筒里塞進(jìn)一個(gè)乒乓球，實(shí)際上是展示圓錐體旦德林雙球模型的剖面圖.動(dòng)手把橢圓用印泥印出來，學(xué)生就能對切面形狀、焦點(diǎn)位置有更深刻的了解.

2.3" 利用定義證明切面是橢圓

2.3.1" 設(shè)計(jì)思路

為方便理解，在證明前提出一個(gè)引理，即球外一點(diǎn)引球面的兩條切線段長度相等，只要把性質(zhì)列舉出來，學(xué)生根據(jù)線索是能摸索出證明方法.

2.3.2" 課堂活動(dòng)內(nèi)容

師：球外有一個(gè)點(diǎn)A，引球作兩條切線，B和C是球上的兩個(gè)切點(diǎn)，類比圓的切線段性質(zhì)，能得到什么性質(zhì)？（如圖5所示）

生：兩個(gè)切線段相等.

師：應(yīng)該如何證明？

生：用勾股定理或者利用△ABO與△ACO全等.

師：根據(jù)勾股定理得到：|AB|=|OA|2-R2=|AC|，先記住這個(gè)性質(zhì).現(xiàn)在關(guān)注圓柱體的旦德林雙球模型，點(diǎn)M是上面的球與圓柱的切點(diǎn)，點(diǎn)F1是切面與球的切點(diǎn)，那現(xiàn)在能得到什么關(guān)系？（如圖6所示）

生：|PM|=|PF1|.

師：所以同理可得|PN|=|PF2|，現(xiàn)在有沒有同學(xué)能證明截面是一個(gè)橢圓？

生：把兩個(gè)式子加起來，|PF1|+|PF2|=|PM|+|PN|=|MN|是一個(gè)定值且大于|F1F2|，故點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡是個(gè)橢圓.

2.3.3" 課堂分析

證明切面邊緣曲線是橢圓是基于上一環(huán)節(jié)的焦點(diǎn)位置探究，以及球切線段相等的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的.因此，把證明問題步驟細(xì)分，再引導(dǎo)學(xué)生逐層攻克，能達(dá)到有效的教學(xué).

2.4" 探究活動(dòng)——切面圓柱體的性質(zhì)

2.4.1" 設(shè)計(jì)思路

本部分是課堂的第二次探究活動(dòng)，探究的性質(zhì)分為兩部分.第一部分的設(shè)計(jì)目標(biāo)是幫助學(xué)生理解切面圓柱體上的橢圓的短軸長等于底面圓的直徑，第二部分的設(shè)計(jì)目標(biāo)是幫助學(xué)生理解切面角度與橢圓離心率的關(guān)系.

2.4.2" 課堂活動(dòng)內(nèi)容

2.4.2.1" 切面圓柱體性質(zhì)探究的第一部分

師：先回顧一個(gè)橢圓有哪些基本性質(zhì)？

生：長軸長，短軸長，離心率，焦距.

師：這幾個(gè)是橢圓最基本的性質(zhì)，我們先從這些性質(zhì)開始，大家拿出尺子量一下自己印出來的橢圓，注意測量的是橢圓的內(nèi)徑，然后完成表格，填在學(xué)案上.（如表1所示）

表1" 橢圓內(nèi)徑測量數(shù)據(jù)

師：大家看一下同學(xué)們寫的數(shù)據(jù)有什么規(guī)律.先看長軸長，大家寫的一不一樣？

生：不一樣.

師：這說明同學(xué)們切紙筒時(shí)角度都不一樣，切出來的橢圓各不相同，但是我們發(fā)現(xiàn)除了第三組之外，其他的數(shù)據(jù)都是一樣的.第三組可能在測量中出現(xiàn)了誤差，但是大家有沒有發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)有什么關(guān)系？

生：2b=2r！

師：是的，兩組數(shù)據(jù)測量都是4 cm，那為什么他們會(huì)相等呢？一起來看看動(dòng)圖，當(dāng)改變切面角度的時(shí)候，得到的橢圓是不一樣的，但是在變化當(dāng)中有沒有什么是不改變的呢？（如圖7所示）

生：橢圓的短軸長和底面圓直徑.

師：當(dāng)截面的角度發(fā)生改變的時(shí)候，圓柱體的截面橢圓形也在變，但橢圓短軸長保持不變，即短軸長等于直徑.

2.4.2.2" 切面圓柱體性質(zhì)探究的第二部分

師：我們可以看到點(diǎn)A、B、C，他們和橢圓有什么關(guān)系？請完成表格.（如表2及圖8所示）

表2" 圓柱體截面與橢圓定義的聯(lián)系

師：請問AC是什么？

生：2a.

師：那AB呢？

生：2b.

師：這兩個(gè)都沒問題，關(guān)鍵是第三個(gè)是什么？

生：2c.

師：為什么是2c呢？

生：因?yàn)楣垂啥ɡ砗蜋E圓性質(zhì)得出2c.

師：那我們有這個(gè)條件之后，我們能不能得出什么結(jié)論，我們假設(shè)橢圓與底面圓的夾角是α，離心率e=c/a，那e與α有聯(lián)系嗎？

生：e=c/a=sinα！

2.4.3" 課堂分析

這部分內(nèi)容對學(xué)生而言是在操作中實(shí)踐，學(xué)生只要按部就班就可以完成表格.對教師而言的關(guān)鍵點(diǎn)是如何幫助同學(xué)們在操作時(shí)保持規(guī)范，減少不必要的失誤.

2.5" 評價(jià)總結(jié)

數(shù)學(xué)活動(dòng)不能只停留在活動(dòng)與探究，知識(shí)由形成到內(nèi)化的過程需要實(shí)踐與復(fù)盤總結(jié).因此，督促與幫助學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)中所學(xué)會(huì)的知識(shí)、遇到的困難、解決困難的方法與思路，將有效地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及表達(dá)能力，同時(shí)也是對學(xué)生應(yīng)用能力的強(qiáng)化.為了更好地幫助學(xué)生了解整個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)中思維的深入與思想的變化，以及對知識(shí)認(rèn)知程度的加深與改變，教師可以設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)評價(jià)表，鼓勵(lì)學(xué)生復(fù)盤所學(xué)知識(shí).（如表3所示）

3" 高中“數(shù)學(xué)活動(dòng)”在教學(xué)中的反思總結(jié)

3.1" 數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)是有趣的

數(shù)學(xué)活動(dòng)是以活動(dòng)為載體幫助學(xué)生學(xué)習(xí)與理解知識(shí)點(diǎn).在活動(dòng)過程中，學(xué)生會(huì)使用已習(xí)得的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想去解決探究問題，并在活動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)之美.但數(shù)學(xué)活動(dòng)不是課題研究，數(shù)學(xué)活動(dòng)不能過于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度，而應(yīng)是改變學(xué)生對數(shù)學(xué)課堂的體驗(yàn)，幫助學(xué)生從被動(dòng)接受知識(shí)轉(zhuǎn)變成主動(dòng)參與活動(dòng)探究.

3.2" 數(shù)學(xué)活動(dòng)需要?jiǎng)邮煮w驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動(dòng)不是單純的解題做題，對教師而言應(yīng)更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)的多樣性，進(jìn)一步探究教學(xué)方式的可能性.教師根據(jù)具體學(xué)情，在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)中要注重活動(dòng)的可操作性和指向性，活動(dòng)與活動(dòng)之間要注重先后順序，并設(shè)置線索把多個(gè)活動(dòng)緊密地連接起來.因此，在活動(dòng)設(shè)計(jì)中應(yīng)該確立明確的完成目標(biāo)，學(xué)生開展活動(dòng)時(shí)才不會(huì)因?yàn)椴恢攵鵁o事可做.

3.3" 數(shù)學(xué)活動(dòng)需要關(guān)注共性問題

學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程有一定隨機(jī)性的，教師是可以利用隨機(jī)性讓學(xué)生探究共性問題.如展示多組數(shù)據(jù)，讓學(xué)生去找不同的數(shù)據(jù)中是否蘊(yùn)含不變的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)據(jù)進(jìn)行質(zhì)疑與思考，鍛煉學(xué)生思考與判斷能力.

3.4" 數(shù)學(xué)活動(dòng)需要善用多媒體突破難點(diǎn)

有趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)離不開多媒體軟件的應(yīng)用，熟練使用多媒體軟件應(yīng)成為教師教學(xué)的基本功之一.設(shè)計(jì)課堂時(shí)應(yīng)該大膽使用軟件輔助，如GeoGebra等作圖工具，以達(dá)到事半功倍的效果.

4" 結(jié)束語

基于數(shù)學(xué)活動(dòng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)更重視學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，利用學(xué)生完成探究后的成就感加深其對數(shù)學(xué)的熱忱.

參考文獻(xiàn)：［1］

沈?qū)W文.深耕數(shù)學(xué)活動(dòng)，孕育核心素養(yǎng)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（19）：77，79.

［2］ 張弟.“問題串”在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用：以“冪函數(shù)”為例［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究， 2019（10）：105.

［責(zé)任編輯：李" 璟］