基于“六何深度學習法”的高三習題課教學

摘" 要：筆者將通過“從何→是何→與何→如何→變何→有何”的深度學習方式，讓學生明白如何用好數(shù)學問題，怎樣結(jié)合課本解決數(shù)學問題，從而更好地指導高三習題課教學，進而達到高中數(shù)學新課程標準的要求，落實數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：六何;教材;題根

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）18-0046-03

收稿日期：2024-03-25

作者簡介：彭瑛晶（1982.4—），女，江西省樂平人，本科，中學高級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

基金項目：“指向數(shù)學核心素養(yǎng)的‘六何’深度學習法實踐研究”（省級編號：2022B213；市級編號：GYYB22176）.

數(shù)學題型千變?nèi)f化，我們怎樣用好數(shù)學題來有效組織高三習題課教學？一直是一線教師思考的問題.我們將結(jié)合“六何”認知鏈一起來回歸課本找尋“題根”，上好高三習題課，做到深度學習.

1" 問題從哪里來（從何）

以2023年全國新高考數(shù)學Ⅰ卷21題為例.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且

P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E（∑ni=1Xi）=∑ni=1qi．記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）．

2023年全國新高考數(shù)學Ⅰ卷21題結(jié)合“五育”背景中的體育有效銜接教材，要解決這道題需將數(shù)列an+1=pan+q（p，q為常數(shù)）遞推公式、等比數(shù)列求和及條件概率、全概率內(nèi)容有機融合.

2" 上述高考題的題根來源于我們課本哪里（是何）

《普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第三冊人教（2019）A版》

P91第10題：甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求n次傳球后球在甲手中的概率［1］.

總結(jié)：我們可以發(fā)現(xiàn)課本上的這道題是概率和數(shù)列的綜合應(yīng)用，并與2023年全國新高考數(shù)學Ⅰ卷21題涉及知識點基本相同——找到題根.

3" 回歸課本，夯實基礎(chǔ)（與何）

讓學生觀察分析2023年全國新高考數(shù)學Ⅰ卷21題及上述教材中的第

10題，回答兩個問題：（1）這兩個題目涉及哪些知識點？（2）這些知識點是哪本教材中的內(nèi)容？并找出相應(yīng)例題或習題加以應(yīng)用.

涉及知識點：《普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第二冊人教（2019）A版》

第四章數(shù)列部分an+1=pan+q（p，q為常數(shù)）型遞推公式、等比數(shù)列求和；《普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第三冊人教（2019）A版》第七章隨機變量及其分布部分的條件概率與全概率的內(nèi)容.

3.1" an+1=pan+q（p，q為常數(shù)）型遞推公式、等比數(shù)列求和

課本P39例12" 某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1 200，預計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛.設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，….

（1）寫出一個遞推公式，表示cn+1與cn之間的關(guān)系；

（2）將（1）中的遞推公式表示成cn+1-k=r（cn-k）的形式，其中k，r為常數(shù)；

（3）求S10=c1+c2+c3+…+c10的值（精確到1）.

通過課本上的例題明確要解an+1=pan+q（p，q為常數(shù)）這類問題，

關(guān)鍵就要學會將an+1+λ=p（an+λ）化為：an+1=pan+pλ-λ，

令q=pλ-λλ=qp-1.

于是可以推導出：an+1+qp-1=p（an+qp-1），

所以

an+qp-1是以a1+qp-1為首項，p為公比的等比數(shù)列［2］.

3.2" 條件概率與全概率

一般地，設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P（A）＞0，我們稱

P（B｜A）=P（AB）P（A）為在事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P（Ai）gt;0，i=1，2，…，n，則對任意的事件BΩ，有P（B）=∑ni-1P（Ai）P（B｜Ai）.

我們稱上面的公式為全概率公式.

課本P50例4" 某學校有A，B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計算王同學第2天去A餐廳用餐的概率.

總結(jié)：通過讓學生自己去找題目中所涉及的知識點，即題的根源是什么？可以培養(yǎng)學生學會審題的能力.題目中有什么？求什么？是如何呈現(xiàn)的？所要解決的問題與我們所學過的哪些知識點“有何聯(lián)系？”

4" 回歸課本明確題根，再看高考題（如何）

再看2023年全國新高考數(shù)學Ⅰ卷21題.

解" （1）

記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi，

所以，P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）=P（A1）P（B2|A1）+P（B1）P（B2|B1）

=0.5×（1-0.6）+0.5×0.8=0.6.

（2）設(shè)P（Ai）=pi，依題可知，P（Bi）=1-pi，則

P（Ai+1）=P（AiAi+1）+P（BiAi+1）=P（Ai）P（Ai+1|Ai）+P（Bi）P（Ai+1|Bi），

即pi+1=0.6pi+（1-0.8）×（1-pi）=0.4pi+0.2，

所以pi+1-13=25（pi-13），

又p1=12，p1-13=16，

所以pi-13是首項為16，公比為25的等比數(shù)列，

即pi-13=16×（25）i-1，pi=16×（25）i-1+13.

（3）記Xi為第i輪投籃中甲投籃的次數(shù)，則

P（Xi=1）=1- P（Xi=0）=Pi，i=1，2，…，n，由題意得，Y=∑ni=1Xi.

因為pi=16×（25）i-1+13，i=1，2，…，n，所以當n∈N*時，E（Y）=E（∑ni=1Xi）=∑ni=1pi=16×1-（25）n1-25+n3=518［1-（25）n］+n3，

故E（Y）=518［1-（25）n］+n3．

總結(jié)：通過高考題找到課本中的題根，通過題根分析在課本中找到所涉及的知識點，并對概念進一步理解后，回顧高考題獨立完成解答，檢驗是否真正掌握.

5" 變化背景，學以致用（變何）

（2024秋·湖北武漢·高三統(tǒng)考）有編號為1，2，3，…，18，19，20的20個箱子，第一個箱子有2個黃球1個綠球，其余箱子均為2個黃球2個綠球，現(xiàn)從第一個箱子中取出一個球放入第二個箱子，再從第二個箱子中取出一個球放入第三個箱子，以此類推，最后從第19個箱子取出一個球放入第20個箱子，記pi為從第i個箱子中取出黃球的概率.

（1）求p2，p3；

（2）求p20.

解" （1）從第二個箱子取出黃球的概率，

P2=23·35+13·25=815

從第三個箱子取出黃球的概率

P3=815·35+1-815·25=3875；

（2）由題意可知，

Pi+1=35Pi+25（1-Pi）=15Pi+25 ，

即Pi+1-12=15（Pi-12），又P1=23 ，

P1-12=16，∴Pi-12=16·（15

），

∴Pi=16·5i-1+12，∴P20=16·519+12.

總結(jié)：教師在習題課上要提煉方法，讓學生明白所做的練習是什么？考查了哪些知識點？這些知識點與哪些內(nèi)容有關(guān)？可以解決哪些問題？當問題的條件或者結(jié)論發(fā)生變化時又該怎么辦？進而達到深度學習.

6" 學會總結(jié)，回顧結(jié)題過程（有何）

數(shù)學習題教學一定要培養(yǎng)學生學會總結(jié)，學會反思.①回顧題目涉及知識點，融會貫通；②反思解題思路，思考解題策略是否可?。虎蹖徱暯忸}過程，思考解題方法是否最佳；④變換題目的條件和結(jié)論，探求問題的本質(zhì)解法.

7" 結(jié)束語

我們是遵從什么規(guī)律組織習題課教學，引導學生深度學習？就是結(jié)合“六何”認知鏈，如圖1所示.

圖1“ 六何”認知鏈示意圖

從何：“選題從哪兒來？”結(jié)合課本及高考真題、模考題，從學生日常反饋的易錯點、易混點、難點，似是而非的地方尋找.

是何：教會學生審題：“題目求什么？有什么？”是如何呈現(xiàn)的.學生最大的問題就是閱讀理解能力亟待提高.

與何：思考所要解決的問題與我們所學過的哪些知識點“有何聯(lián)系？”

如何：數(shù)學學科中，如何的解決主要指一些實際問題去情境化后的解決及現(xiàn)有數(shù)學問題的解答.

變何：“若…變化，其…又怎樣？”指條件、情境變化，結(jié)論又怎樣變化.

有何：“有什么收獲？”指對解題過程中的行為、態(tài)度、方法等及解題結(jié)果的小結(jié)與反思［3］.

在習題教學中，教師應(yīng)結(jié)合“六何”深度學習法及課本題設(shè)計改編題、引申題、變式題，以拓展學生的思維，達到“做一題、懂一類、通一片”的效果.

參考文獻：［1］ 章建躍，李增滬.普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第三冊（2019）A版［M］.北京：人民教育出版社，2020：45-91.

［2］ 章建躍，李增滬.普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第二冊（2019）A版［M］.北京：人民教育出版社，2020：39-40.

［3］ 吳海鳳.基于“六何認知鏈”的高中數(shù)學教材的比較研究［D］.南寧：廣西師范大學，2015.

［責任編輯：李" 璟］