培養數學思維 促進深度學習

王開林

在工作室活動中，筆者開設的“用導數研究一類函數問題”一課，是針對學生學習中暴露出來的問題設計的一節微專題復習課，從基礎入手，引領學生變式探究，幫助學生建構用導數研究解決一類函數問題的方法，培養思維能力，促進深度學習.

1 微專題復習課例主要片段

1.1 基礎訓練

學生課前完成下列訓練題，課堂上予以展示.

（1）若函數f（x）=xln x，則不等式f（x）>e的解集為.

（2）已知函數f（x）=ln xx，若函數g（x）=f（x）－k有2個零點，則實數k的取值范圍是.

（3）函數f（x）=xln x單調遞減區間為.

（4）已知函數f（x）=xex，當x∈（－∞，0）時，f（x）的值域為.

（5）若不等式kex>x恒成立，則實數k的取值范圍是.

（6）若函數f（x）=exx，則不等式f（x）<－1e的解集為.

學生在展示的基礎上，梳理用導數研究函數的一般方法和以上訓練題中涉及的六個常見函數的圖象與性質，并相互補充，教師及時點評和總結.

設計意圖：經過一輪復習學生已經較好地掌握了用導數研究函數的方法，設計這樣一組基礎訓練題讓學生課前完成，課上進行展示，既可以回顧導數的相關基礎知識和基本方法，也是想引導學生注意掌握題組中六個常見函數的圖象和性質.這類函數在考試當中經常遇到，而學生又極容易出錯.課堂上讓學生展示解題過程時，就有學生畫錯了函數圖象的變化趨勢.如對于函數f（x）=ln xx，當x∈（e，+∞），函數f（x）單調遞減，又因為f（x）=ln xx>0恒成立，函數圖象雖然逐漸下降，但始終在x軸的上方，不會穿過x軸，而且無限接近于x軸，有學生畫圖時想當然地畫成向下穿過x軸，導致求錯k的取值范圍.這是學生的易錯點，需要重點強調，要讓學生真正弄清楚、搞明白.這六個常見函數的圖象和性質也是本節課進一步學習的基礎.

1.2 活動探究

問題1若函數f（x）=ax－x2（a>1）有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是.

師：函數零點問題常用什么方法解決？動手試試.

生1：函數零點問題常常轉化成方程根的問題或者函數圖象交點的問題，很明顯，指數函數y=ax（a>1）與二次函數y=x2的圖象在第二象限有一個交點，在第一象限還應該有兩個交點，但是從圖象上看在（0，+∞）上這兩個函數都單調遞增，根本沒法求出a的取值范圍.

生2：此時問題可以轉化為當x>0時，方程ax=x2應該有兩個實根.兩邊取對數得xln a=2ln x，再分離參數得ln a2=ln xx，所以問題即為直線y=ln a2與y=ln xx的圖象應該有兩個交點.根據y=ln xx的圖象，得0

師：解決函數零點問題常常需要數形結合.數形結合是一種重要的數學思想方法，數缺形時少直覺，形少數時難入微.本題中當x<0時，利用圖形的直觀很容易得到兩個函數圖象有一個交點，即函數有一個負零點；而當x>0時，利用圖形很難精確地得到a的范圍，這時就要從數的角度來考慮，轉化成方程根的問題，通過取對數、分離參數順利地將問題又轉化成圖象交點問題.而對于函數y=ln xx的圖象，我們已經很熟悉，尤其是不穿過x軸的細節問題也注意到了，問題迎刃而解.

變式1已知函數f（x）=1ex+ax（a∈R，x>0），若存在實數m，n，使f（x）≥0的解集恰為［m，n］，則實數a的取值范圍是.

師：像1ex+ax≥0這樣的不等式我們會解嗎？

生3：因為x>0，f（x）=1ex+ax≥0，即－a≤xex的解集恰為［m，n］，所以問題可轉化為函數y=xex的圖象與直線y=－a有兩個不同的交點.結合函數y=xex的圖象，易得0<－a<1e，因此－1e

師：非常好！把不等式的解集問題成功地轉化成方程有解的問題，也就是函數圖象有交點的問題.而且他注意到當x≥1時，雖然函數單調遞減，但f（x）=xex>0恒成立，所以圖象總在x軸的上方，不穿過x軸，而且無限接近x軸.本題也是通過轉化成函數圖象交點的問題來解決的.

變式2若函數f（x）=12ax2－ex+1在x=x1和x=x2兩處取到極值，且x2x1≥2，則實數a的取值范圍是.

師：同學們先獨立思考幾分鐘，然后在小組內交流你的思路和方法.

生4：因為函數f（x）有兩個極值點，又f′（x）=ax－ex=0，所以方程a=exx有兩個實根.令g（x）=exx，則函數g（x）=exx的圖象與直線y=a有兩個不同的交點，且交點橫坐標分別為x1，x2，所以a>e.

師：當a>e時，一定有x2x1≥2嗎？

生5：不一定.當直線y=a越向上平移，x2x1越大，只要想辦法求出x2x1=2時a的值就可以啦.

師：怎么才能求出此時a的值？

生5：由ex1x1=ex2x2，得x2x1=ex2ex1=ex2－x1=2，所以x2－x1=ln 2.又x2x1=2，所以x1=ln 2，x2=2ln 2.若x2x1≥2，則a≥g（ln 2）=2ln 2.

師：若x2x1<2，則實數a的取值范圍是什么？

眾生：e

通過適時追問加深學生的理解，促進學生深度學習.

變式3求證：對一切x∈（0，+∞），都有ln x>1ex－2ex恒成立.

師：要證ln x>1ex－2ex，只需證什么？

生6：只需證xln x>xex－2e.令f（x）=xln x，g（x）=xex，則當x∈（0，+∞）時，f（x）min=f1e=-1e，g（x）max=g（1）=1e.

所以f（x）>g（x）－2e，即xln x>xex－2e.故ln x>1ex－2ex得證.

師：這里應該有等號吧？

生6：f（x）=xln x的最小值與g（x）=xex的最大值不能同時取到，所以沒有等號.

師：要證xln x>xex－2e，一定要證f（x）min＞g（x）max-2e

嗎？

生7：只要證明f（x）－g（x）－2e>0恒成立即可，不一定要證

f（x）min＞g（x）max-2e，但由

f（x）min＞g（x）max-2e

一定可以得到xln x>xex－2e.

師：很好！一定要弄清楚這里的充分性與必要性.

設計意圖：基礎訓練中涉及到的六個函數是常見函數，雖然很多問題看似與它們無關，但實際上通過轉化之后也能化歸為這幾個函數的問題，只要借助這些函數的圖象和性質都能順利解決.通過問題1和3個變式，培養學生學會思考，能夠舉一反三，觸類旁通.解決的關鍵是如何尋求問題的切入點.

問題2設函數f（x）=xex，x≥0，－x－1，x<0，g（x）=f（x）－b，若函數g（x）恰有3個零點，則實數b的取值范圍為.

師：怎么解決函數零點問題？

生8：將函數零點問題轉化為圖象交點問題，畫出函數f（x）的圖象，則只需直線y=b與函數f（x）的圖象有三個交點，很容易得到0

師：很好.注意到了當x>1時，雖然函數f（x）單調遞減，但f（x）=xex>0恒成立，所以函數圖象始終在x軸的上方，不穿過x軸，而且無限接近于x軸.

變式1設函數f（x）=x－1ex，x≥0，－x－1，x<0，g（x）=f（x）－b，若函數g（x）恰有3個零點，則實數b的取值范圍為.

師：與問題2相比有什么變化？方法是否相同？

生9：當x≥0時，f′（x）=2－xex，f（x）在（0，2）上是增函數，在（2，+∞）上是減函數，所以

當x=2時f（x）有極大值1e2，故0

師：函數y=x－1ex與函數y=xex形式相近，圖象也相似，也都有類似的性質，即當x≥2時，雖然函數單調遞減，但y=x－1ex>0恒成立，圖象總在x軸的上方，不穿過x軸，而且無限接近于x軸.

變式2

設函數f（x）=x－1ex，x≥a，－x－1，x

師：與變式1相比，此題中函數f（x）的圖象因動區間而不確定，有什么好辦法解決這個問題嗎？

生10：采用圖象分析法.函數f（x）=x－1ex在x=2處取得極大值，且極大值為1e2，直線y=1e2與f（x）=x－1ex和y=－x－1的交點橫坐標分別是2和－1－1e2.所以若函數g（x）恰有3個零點，只需保證函數f（x）的圖象與垂直于y軸的直線有三個交點，則－1－1e2

變式3已知函數f（x）=xex+1，x≥0，x2+2x+1，x<0，若函數y=f（f（x）－a）－1有4個零點，則實數a的取值范圍是.

師：復合函數零點問題怎么入手？

生11：還是要數形結合，先畫出圖象.

師：投影你畫的圖象，接下來怎么辦？

生11：當x≥0，由f（x）=xex+1=1，得x=0；當x<0時，由x2+2x+1=1，得

x=－2.所以由f（f（x）-a）=1，可得f（x）－a=0或f（x）－a=－2，即f（x）=a或f（x）=a－2.所以只需函數f（x）的圖象與距離為2的兩條平行線y=a和y=a－2共有4個交點，則有

a>1+1e，1

師：函數y=x－1ex，y=xex+1與函數y=xex形式相近，圖象很相似，都有類似的性質，要注意它們的漸近線.另外，對于復合函數問題，如何轉化也是關鍵.

設計意圖：問題2以及3個變式，讓學生注意到與六個基本函數形式、圖象和性質都相近的函數，尤其是漸近線，特別容易出錯，要重點強調.

1.3 鞏固訓練

（1）若函數f（x）=12x－1，x<1，ln xx2，x≥1，則函數y=|f（x）|－18的零點個數為.

（2）已知函數f（x）=（2x－x2）ex，x≤0，－x2+4x+3，x>0，g（x）=f（x）+2k，若函數g（x）恰有兩個不同的零點，則實數k的取值范圍是.

（3）對于函數y=f（x），若存在區間［a，b］，當x∈［a，b］時的值域為［ka，kb］（k>0），則稱y=f（x）為k倍值函數.若f（x）=ln x+x是k倍值函數，則實數k的取值范圍是.

2 教學感悟

2.1 突出主干，關注通法

新高考加強了對主干知識的考查，只有增強對主干知識的深層次認識，才能更好地把握數學的本質.復習教學還是要立足基礎，不設計偏題、怪題，更多地關注通性通法，不片面追求技巧.既要一題多解、一題多變，更要多題一解，要引導學生總結歸納出適用于一類問題的通性通法.

2.2 查漏補缺，精準指導

二輪復習既要進一步鞏固強化應知、應會的基礎知識，幫助學生確實解決存在的問題，還應提升學生的綜合能力.二輪復習的專題設置既要考慮到高頻考點，關注重點、熱點和難點，還要根據學情針對學生暴露出來的問題，進行精準指導，實現減負增效；既要設置小切口的專題，實施微專題教學，還要注意不同知識板塊之間的聯系與綜合，特別是創設不同的、科學的、真實的情境，培養學生數學理解能力和數學應用能力.