蝴蝶定理在高考試題中的應用

林健航

1 試題呈現

例（2022全國甲卷＼520）設拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，點D（p，0），過點F的直線交C于M，N兩點.當直線MD垂直于x軸時，|MF|=3.

（1）求C的方程；

（2）設直線MD，ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β.當α-β取得最大值時，求直線AB的方程.

解法1：（1）拋物線C的方程為y2=4x.（過程略.）

（2）如圖1，設M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）.

由拋物線的對稱性知，

當α=90°時，β=90°，

則α-β=0.

當α≠90°時，β≠90°，設過點（x0，0）的直線方程為x=my+x0.

聯立x=my+x0，y2=4x，得y2-4my-4x0=0.

當x0=1時，得y1y2=-4；

當x0=2時，得y1y3=-8，y2y4=-8.

由y22=4x2，y21=4x1兩式相減，得y22-y21=4（x2-x1），所以kMN=y2-y1x2-x1=4y1+y2.

同理kAB=4y3+y4，即kAB=4-81y1+1y2=y1y2-2（y1+y2）=2y1+y2=kMN2.

當α∈（0°，90°）時，β∈（0°，90°），且α>β.

當α∈（90°，180°）時，β∈（90°，180°），且α<β.

故要使α-β最大，則α∈（0°，90°）.

設kAB=k>0，則kMN=2k.

故tan（α-β）=tan α-tan β1+tan αtan β=k1+2k2=11k+2k≤121k·2k=24，

當且僅當1k=2k，即k=22時，等號成立.

所以當α-β最大時，kAB=22.

設直線AB：x=2y+t，

代入拋物線方程，可得y2-42y-4t=0，

所以y3y4=-4t.

又因為y3y4=-8y1-8y2=64y1y2=-16，

所以-4t=-16，解得t=4.

故直線AB的方程為x-2y-4=0.

此解法為通性通法.本題主要考查拋物線的定義、直線與拋物線的位置關系、直線的傾斜角和斜率的概念、均值不等式等基礎知識，考查數形結合、分類討論和點差法等數學思想方法，考查邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養.

第（2）問解決的關鍵在于找出直線MN與AB斜率之間的關系kAB=12kMN.此結論是否可以一般化？其幾何背景又是什么？可否進行拓展？圍繞這些問題，筆者做了一些思考，分享如下.

2 背景探幽

本題的背景就是坎迪定理，下面我們先從蝴蝶定理入手進行探究.

如圖2，設M是圓O中弦AB的中點，過點M任作兩條弦CD，EF，

連接DE，CF，分別交AB于P，Q兩點，則MP=MQ.

這個問題的圖形，像一只在圓中翩翩起舞的蝴蝶，這正是該

結論被冠以“蝴蝶定理”美名的緣故.

此定理的證明方法很多，下面用中學的有關知識給出該定理

的兩種證法.

證法1：（初中幾何知識）如圖3，過圓心O作CF，ED的垂線，

垂足分別為S，T，連接OM，OP，OQ.

因為∠OSQ=∠OMQ=90°，所以

O，S，Q，M四點共圓.

于是∠QSM=∠QOM.

同理可得∠PTM=∠POM.

易得△FCM∽△DEM，則MFMD=FCDE.又FC=2FS，DE=2DT，所以MFMD=FSDT.

又∠F=∠D，易得△FSM∽△DTM，于是有∠QSM=∠PTM，所以∠QOM=∠POM，

又OM⊥PQ，所以MP=MQ.

證法2：（高中幾何知識）如圖4，以M為坐標原點，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系.設OM=b，則圓O的方程可寫為

x2+y2-2by+c=0.①

設直線CD，EF的方程分別為y=k1x，y=k2x，合并為

（y-k1x）（y-k2x）=0.②

于是，過曲線①②的交點C，D，E，F的二次曲線系方程為

x2+y2-2by+c+λ（y-k1x）（y-k2x）=0.③

③式中令y=0，可知曲線③與AB的交點P，Q的橫坐標滿足（1+λk1k2）x2+c=0.由韋達定理，可得xP+xQ=0，即|MP|=|MQ|.

由仿射幾何知識可知，蝴蝶定理在圓錐曲線中也成立：

如圖5，在圓錐曲線中，過弦AB的中點M任作兩條弦CD和EF，

直線DE，CF交直線AB于P，Q兩點，則MP=MQ.（證明略）

若將M改為弦AB上的任意一點，則可得到坎迪定理：

如圖6，圓錐曲線中，過弦AB上的點M任作兩條弦CD和EF，

直線DE，CF分別交直線AB于P，Q兩點，則1MP-1MQ=1MA-1MB.（證明略.）

由蝴蝶定理和坎迪定理，可得上述例題的簡單解法.

解法2：（1）略.

（2）如圖7，由無限思想，可設x軸與拋物線相交于O，P兩點，其中

點P位于無窮遠處.由坎迪定理，得

1|DF|-1|DT|=1|DO|-1|DP|，即1-1xT-2=12.

解得xT=4，即直線AB經過點T（4，0）.

由解法1知，要使得α-β取得最大值，則kAB=k>0.

過點D作x軸的垂線分別交MN，AB于點R，S.

由蝴蝶定理，得|DR|=|DS|，則kMNk=|DR||DF|·|DT||DS|=|DT||DF|=2，即kMN=2k.

故tan（α-β）=tan α-tan β1+tan αtan β=k1+2k2=11k+2k≤121k·2k=24，

當且僅當1k=2k，即k=22時，等號成立.

所以直線AB的方程為x-2y-4=0.

3 應用拓展

若將上述例題一般化可得下列兩個結論.

結論1如圖7，設拋物線C：y2=2px（p>0），F（m，0），D（n，0）（n>m>0），過點F的直線交C于M，N兩點.設直線MD，ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN，AB的斜率分別為k1，k2，則k1k2為定值nm，并且直線AB過定點n2m，0.

結論2設橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），F（m，0），D（n，0）（-a

11+n-ma-n-n-mn+a

，并且直線AB過定點11n-m+1a-n-1n+a+n，0.

研究解析幾何問題，不僅要研究其解法，還要研究其幾何背景，扣住幾何屬性，在更廣、更深的層面上認識試題，發揮其教學功能，于教學過程中落實學科素養.