單元復習教學：以“問題提出”的方式

摘"要：《三位數(shù)乘兩位數(shù)》單元復習課，依據(jù)“問題提出”的教學理念，設計“選數(shù)字組多位數(shù)，編寫乘法算式”的情境任務，引導學生提出問題，從而激發(fā)學習興趣，豐富學習資源；然后梳理學生編寫的乘法算式，幫助學生歸類可能的算式，建立模型，歸因可能的錯誤，提醒糾錯，并通過拓展算式，遷移運用模型，聯(lián)系積的變化規(guī)律，進一步認識多位數(shù)乘法的算理和算法，從而突破計算難點，完善認知體系。這樣的教學步驟明確、前后連貫，把原本枯燥、乏味的計算復習課上得更吸引人、更有新意，凸顯了“問題提出”教學的優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞：小學數(shù)學；問題提出；三位數(shù)乘兩位數(shù)；模型；糾錯

一、教學實踐

（一）教前思考

人教版小學數(shù)學四年級上冊第四單元《三位數(shù)乘兩位數(shù)》包括三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算、積的變化規(guī)律、常見數(shù)量關(guān)系等內(nèi)容，共有5道例題：例1是三位數(shù)乘兩位數(shù)的一般情況，主要是讓學生理解筆算的算理，掌握筆算的算法；例2是因數(shù)中間或末尾有“0”的情況，主要是讓學生利用“遮零法”轉(zhuǎn)化成學過的兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘一位數(shù)或兩位數(shù)乘一位數(shù)等乘法來計算；例3讓學生觀察算式，發(fā)現(xiàn)積的變化規(guī)律——可拓展到積不變的規(guī)律；例4、例5分別是“單價×數(shù)量=總價”“速度×時間=路程”這兩種常見數(shù)量關(guān)系的簡單應用。本單元是整數(shù)乘法的最后一個單元，學生在學習中能否理解算理、掌握算法，對其遷移學會更多位數(shù)乘法的計算具有重要的影響。

在新授課的課后作業(yè)中，筆者發(fā)現(xiàn)，學生計算的興趣不高，出錯率比較高，主要表現(xiàn)為：進位忘記加；數(shù)位對錯了；對因數(shù)末尾有“0”的情況，積后面的“0”忘添或少添了；對因數(shù)中間或末尾有“0”的情況，不能區(qū)分不同的類型，靈活地運用計算方法……而且，很少能夠自主發(fā)現(xiàn)錯誤，更不用說深入分析錯因；對算理和算法的認識還不夠深刻，不能很好地遷移計算更多位數(shù)的乘法。

因此，本單元的復習課，筆者嘗試改變傳統(tǒng)的教學模式，依據(jù)“問題提出”的教學理念，設計“選數(shù)字組多位數(shù)，編寫乘法算式”的情境任務，引導學生提出問題，從而激發(fā)學習興趣，豐富學習資源；然后梳理學生編寫的乘法算式，幫助學生歸類可能的算式，建立模型，歸因可能的錯誤，提醒糾錯，并通過拓展算式，遷移運用模型，聯(lián)系積的變化規(guī)律，進一步認識多位數(shù)乘法的算理和算法，從而突破計算難點，完善認知體系；最后關(guān)注常見的數(shù)量關(guān)系，引導學生利用多位數(shù)乘法計算的知識解決生活問題。

（二）教學過程

1.設計情境任務，提出計算問題

課件出示數(shù)字卡片“0”“1”“2”“3”“4”“5”“0”，提出任務要求：（1）編寫一道你能夠算對的三位數(shù)乘兩位數(shù)的算式；（2）編寫一道你認為其他小朋友容易算錯的三位數(shù)乘兩位數(shù)的算式。教師引導學生理解任務要求后，學生根據(jù)任務要求編寫三位數(shù)乘兩位數(shù)的算式，教師收集學生編寫的算式。

［設計意圖：設計數(shù)字卡片情境，孕伏多位數(shù)乘法“數(shù)位（計數(shù)單位）分解，數(shù)字（計數(shù)單位的個數(shù)）相乘”的算理與算法。分“能夠算對”和“容易算錯”兩個層次讓學生編題，激發(fā)學習興趣，豐富學習資源，同時了解學生的“已知”和“不足”，提高教學的針對性。］

2.梳理“能夠算對”的算式，歸類建模

師"老師從大家那里收集了幾道“能夠算對”的算式。

（出示算式：①215×30；②354×21；③342×50；④300×25；⑤530×20；⑥340×21；⑦302×15；⑧250×40；⑨520×43）請看①號算式。讓你列豎式計算，你會怎么做呢？

生"（列豎式計算，如圖1所示）把30中的“0”遮住不看，把算式轉(zhuǎn)化成215×3，算出積，在后面添上一個“0”，就可以了。

師"很好！（出示圖2）老師把這個豎式寫成這樣的模型，你們能看懂它的意思嗎？

生"能。就是剛才的豎式，只是沒有把數(shù)字填寫上去。第二個因數(shù)末尾有“0”，可以先算“0”前面的數(shù)乘第一個因數(shù)的積，再在積的末尾添上一個“0”。

師"再看其他算式，還有哪些算式也可以用這個豎式模型計算？

生"③號算式。

師"（出示圖3）這樣就把①號算式和③號算式歸為一類了。

師"接著看剩下的算式，你能將它們再歸歸類，并寫出類似的豎式模型嗎？想一想分類的理由是什么。小組討論。

（學生小組討論。）

生"我們發(fā)現(xiàn)，⑥號算式和⑨號算式是同一類的：第一個因數(shù)末尾都有一個“0”。以⑥號算式為例，可以這樣算：先把340末尾的“0”遮住，變成34×21計算，再在積的末尾添上一個“0”。（出示圖4）可以用這樣的豎式模型。

生"我們發(fā)現(xiàn)，⑤號算式和⑧號算式兩個因數(shù)末尾都有一個“0”。列豎式時可以這樣算：把兩個因數(shù)末尾的“0”都遮住，變成兩位數(shù)乘一位的乘法計算，再在積的末尾添上兩個“0”。（出示圖5）可以用這樣的豎式模型。

生"我們發(fā)現(xiàn)，②號算式和⑦號算式兩個因數(shù)末尾都沒有“0”。列豎式計算時，數(shù)位要對齊，從個位算起。（出示圖6）可以用這樣的豎式模型。

生"我們發(fā)現(xiàn)，④號算式第一個因數(shù)末尾有兩個“0”。先將這個因數(shù)末尾的兩個“0”都遮住，變成一位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法計算，再在積的末尾添上兩個“0”。（出示圖7）可以用這樣的豎式模型。

生"④號算式不用單獨分一類。它也是第一個因數(shù)末尾有“0”（只不過是有兩個“0”）的算式，可以歸到⑥號算式和⑨號算式那一類，即第二類；如果交換兩個因數(shù)的順序，它就變成第二個因數(shù)末尾有“0”的算式，可以歸到①號算式和③號算式那一類，即第一類。另外，從將“0”遮住的結(jié)果看，它是兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法，也可以歸到⑤號算式和⑧號算式那一類，即第三類。

師"講得真好！模型并不是一個具體的算式，而代表同一類算式。（出示圖8）經(jīng)過同學們的思考、討論，得到了這四種豎式模型。

［設計意圖：在學生“能夠算對”的算式中選擇豐富的樣例，引導學生分類建立三位數(shù)乘兩位數(shù)豎式計算的模型，為進一步認識多位數(shù)乘法的算理和算法做鋪墊。同時，突出因數(shù)末尾有“0”的乘法計算過程中的轉(zhuǎn)化思想，凸顯舊知與新知的聯(lián)系，為完善多位數(shù)乘法的認知體系做鋪墊。］

3.初步拓展算式，遷移運用模型

師"之前的算式都是三位數(shù)乘兩位數(shù)，都用了5張數(shù)字卡片。現(xiàn)在，我們多用一兩張卡片，編一些我們還沒學過的乘法算式。（出示算式：453×120；3540×21；5410×230）有了這些模型，你會利用它們計算這些算式嗎？

生"453×120這個算式，可以用豎式模型一，轉(zhuǎn)化成三位數(shù)乘兩位數(shù)計算，再在積的末尾添上一個“0”。

生"3540×21這個算式，可以用豎式模型二，轉(zhuǎn)化成三位數(shù)乘兩位數(shù)計算，再在積的末尾添上一個“0”。

生"5410×230這個算式，可以用豎式模型三，轉(zhuǎn)化成三位數(shù)乘兩位數(shù)計算，再在積的末尾添上兩個“0”。

師"如果在因數(shù)的末尾添上更多的“0”呢？

生"還是利用“遮零法”，通過相應的豎式模型計算。

師"同學們真會現(xiàn)學現(xiàn)用！得到了模型，也學會了運用。現(xiàn)在，請大家想一想：“遮零法”運用的是我們學過的哪個知識點？

生"積的變化規(guī)律：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾或除以幾（0除外），積也乘或除以相同的數(shù)。

生"積的變化規(guī)律有一種難一點的情況，是兩個因數(shù)都變化的情況。這時，積也要相同地變化兩次。

師"原來積的變化規(guī)律這么有用！同學們不僅要知其然，而且要知其所以然。

［設計意圖：多用卡片，將三位數(shù)乘兩位數(shù)拓展為更多位數(shù)的乘法，并針對學生計算的難點，聚焦因數(shù)末尾有“0”的情況（只有五張非“0”卡片的情境設計使這種情況的出現(xiàn)更為自然），讓學生遷移運用三位數(shù)乘兩位數(shù)豎式計算的模型，在特殊情況下進一步認識多位數(shù)乘法的算理和算法。同時，聯(lián)系積的變化規(guī)律，揭示“遮零法”背后的道理，加強知識之間的聯(lián)系。］

4.梳理“容易算錯”的算式，歸因提醒

師"同學們還編出了一些“容易算錯”的算式。很多同學編的是兩個因數(shù)末尾都沒有“0”的算式。為什么呢？你們覺得會錯在哪里？

生"因為數(shù)字多，進位多，容易把進位忘加或把進位加錯。

師"也有同學編的是因數(shù)末尾有“0”的算式。這種算式會錯在哪里？

生"忘添或少添積后面的“0”。

師"很有道理！請同學們把你編出的“容易算錯”的算式用豎式計算，并且把你覺得其他同學會錯的地方用紅筆標注出來。

（學生計算、標注。教師巡視。）

師"老師從大家那里收集了一些具有代表性的易錯題。

（出示圖9）從編寫第一個算式的同學開始說一說。

生"這個豎式在分步算乘法時都是對的，但是，在算兩積之和時把1＋5算成了1×5。我想提醒大家：在計算時，要清楚哪些步驟用乘法計算，哪些步驟用加法計算。

生"先算5×4=20時，應該寫0進2；再算5×0=0時，直接寫0了，沒有加進上來的2。同樣地，先算3×4=12時，應該寫2進1；再算3×0=0時，直接寫0了，沒有加進上來的1。我想提醒同學們：在計算時，向前一位進的數(shù)可以寫在旁邊，提醒自己，這樣不容易遺忘。

生"乘法口訣記錯了，2×4算成6了。另外，算5+6=11時，應該進位，而沒有進位。我想提醒大家：在計算時，口訣一定要熟練，并且不要忘記進位。

生"書寫潦草，把0寫得像6，自己把自己給坑了。另外，算4×5=20時，應該進2，而沒有進2。我想提醒同學們：在計算時，書寫一定要端正，同時也不要忘記進位。

生"這個豎式其實屬于上面的豎式模型三。這時，兩個因數(shù)末尾都有一個“0”，應該在算出的積末尾添上兩個“0”，但是，這里只添了一個“0”。我想提醒同學們：在計算時，在因數(shù)的末尾遮了幾個“0”，在積的末尾就要添上幾個“0”；不能覺得反正都是“0”，就用一個“0”代替多個“0”。

生"我的題目比較特別。420×15用“遮零法”，先轉(zhuǎn)化成42×15=630；這個積末尾本身就有一個“0”，導致忘了在它后面添上之前遮去的“0”。我想提醒大家：計算時一定要小心、仔細，不能跳步驟；特別是，算出的積末尾本身帶有的“0”，不要和因為之前遮去因數(shù)末尾的“0”而要補上的“0”混淆。

師"很好！這些就是我們平時計算中最容易出錯的地方。同學們要注意：計算時，不要混淆加和乘，不要忘加或加錯進位，不要忘添或少添“0”，也不能記錯口訣，不能書寫潦草，而要按照規(guī)范的格式和步驟，細心地計算。

［設計意圖：在學生“容易算錯”的算式中選擇豐富的樣例，引導學生呈現(xiàn)錯誤，分析錯因，提醒糾錯，從而突破難點。這里，學生的生成與教師的預設有一定的差異：學生關(guān)注了教師沒預設到（不太關(guān)注）的“混淆加和乘”“記錯口訣”“書寫潦草”錯誤，忽視了教師預設到（較關(guān)注）的“數(shù)位對錯”錯誤。這也是“問題提出”教學因為學生主體性強而產(chǎn)生的魅力和帶來的困難。］

5.進一步拓展算式，打通算理和算法

師"之前，我們在有“0”的情況下，多用了一兩張卡片。現(xiàn)在，我們把兩個“0”變成一個“1”和一個“2”，依然多用一兩張卡片，編一些我們還沒學過的乘法算式。（出示算式：514×132；2514×32）你能用豎式計算嗎？先算第一個式子。

（學生嘗試計算。）

師"誰來說說計算的過程，特別是第二個因數(shù)百位上的數(shù)應該怎樣計算？

生"（列豎式計算，如圖10所示）先算第二因數(shù)個位上的數(shù)乘第一個因數(shù)每一位上的數(shù)，2×514=1028，積末尾的“8”要和個位對齊；再算十位上的數(shù)乘第一個因數(shù)每一位上的數(shù)，3×514=1542，表示1542個十，積末尾的“2”要和十位對齊；然后算百位上的數(shù)乘第一個因數(shù)每一位上的數(shù)，1×514=514，表示514個百，積末尾的“4”要和百位對齊；最后把這三個積相加。

師"講得非常完整！（出示圖11）老師把這個豎式寫成這樣的模型，你們能看懂嗎？

生"看得懂。它表示因數(shù)末尾沒有“0”的三位數(shù)乘三位數(shù)的豎式計算。第二個因數(shù)個位上的數(shù)與第一個因數(shù)相乘，得到“幾個一”，積的末尾與個位對齊，寫在第一行；十位上的數(shù)與第一個因數(shù)相乘，得到“幾個十”，積的末尾與十位對齊，寫在第二行；百位上的數(shù)與第一個因數(shù)相乘，得到“幾個百”，積的末尾與百位對齊，寫在第三行；再把這三個積相加。

師"這個豎式和我們本單元學習的因數(shù)末尾沒有“0”的三位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式有什么相同點和不同點？

生"計算方法是一樣的，只不過多乘了一次。

生"原理是一樣的：一位一位分開乘，乘得積再相加，而且每次乘得的積都要注意末尾與第二個因數(shù)中相應的數(shù)對齊。只是乘的次數(shù)不同。

師"同學們觀察得很仔細！如果是四位數(shù)乘四位數(shù)呢？豎式會是怎樣的？

生"和剛才的豎式模型一樣：只要一位一位地乘，每一位乘得的積末尾與這一位對齊，就可以了。四位數(shù)乘四位數(shù)，要乘四次，得到四個積，寫成四層，再將四個積相加。

生"不管第二個因數(shù)有幾位，只要每一次乘得的積末尾不對錯位，就行了。

師"是的。數(shù)學表面上看起來千變?nèi)f化，實際上“萬變不離其宗”。學會了計算原理和方法，多位數(shù)乘多位數(shù)也就能計算了。第二個式子留給同學們課后計算。

［設計意圖：突破難點之后，繼續(xù)多用卡片，將三位數(shù)乘兩位數(shù)拓展為更多位數(shù)的乘法，并從特殊走向一般，聚焦因數(shù)末尾沒有“0”的情況（需要將兩張“0”卡片變?yōu)榉恰?”卡片），讓學生遷移運用三位數(shù)乘兩位數(shù)豎式計算的模型，在一般情況下進一步打通多位數(shù)乘法的算理和算法，從而完善多位數(shù)乘法的認知體系。同時，抓住這一契機，強調(diào)了“數(shù)位對齊”這一易錯之處，補上了教學的漏洞。］

6.關(guān)注數(shù)量關(guān)系，解決生活問題

教師出示如下生活問題，引導學生運用所學的計算知識來解決。

1.估一估，三位數(shù)乘兩位數(shù)的積最大是幾位數(shù)，最小是幾位數(shù)？

2.如圖12，已知白色長方形的面積是200平方米，那么陰影部分長方形的面積是多少平方米？

3.某商場以每個88元的價格購進135個足球，以每個120元的價格賣出，這些足球全部被賣出，該商場一共賺了多少元？

4.一輛貨車從甲地開往乙地送貨，去時以40千米/小時的速度行駛，3小時正好到達，按原路返回時只用了2小時，這輛貨車往返的平均速度是多少？

5.請你選擇這節(jié)課編寫的一道三位數(shù)乘兩位數(shù)的算式，編寫一個可以用這個乘法算式解決的生活問題。

［設計意圖：計算的重要目的是解決生活問題。因此，課尾關(guān)注常見的數(shù)量關(guān)系，設計生活問題讓學生解決。第1題讓學生估算：估算是解決生活問題的重要方法。第2題讓學生靈活運用積的變化規(guī)律解決問題：此題無法利用學生學過的知識直接計算。第3、第4題是常見數(shù)量關(guān)系的簡單應用，讓學生體驗計算的現(xiàn)實意義。第5題讓學生逆向思考，根據(jù)算式編寫生活問題，幫學生感悟數(shù)量關(guān)系作為數(shù)學模型的應用價值，培養(yǎng)發(fā)散思維。］

二、教學評析

這是一堂有關(guān)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的復習課，教學的重點是：幫助學生糾正常見錯誤，突破計算難點；打通算理算法，完善認知體系。

復習課常見的教學方式是：教師引導學生回顧已學知識，建立知識體系后，呈現(xiàn)不同的練習題，讓學生去解答。這樣的教學常常使學生被動學習，效率不高。 而“問題提出”教學能夠給學生更多的自主學習空間，讓學生既是問題提出者，也是問題解決者，從而不僅可以激發(fā)學生的學習興趣，而且可以提升學生的思維能力。當然，這樣的教學具有更大的不確定性，對教師理解數(shù)學、理解學生以及把控課堂的能力提出了更高的要求。

“問題提出”的教學過程往往包括四個基本步驟：呈現(xiàn)問題情境，提出任務要求，學生提出問題，師生處理問題。如何讓四個步驟環(huán)環(huán)相扣，讓學生在主動的數(shù)學探索中有效地實現(xiàn)教學目標，這是“問題提出”教學的關(guān)鍵所在。本堂課在這方面給予我們很多有益的啟示。

本堂課中，“問題提出”的情境是“0”“1”“2”“3”“4”“5”“0”七張數(shù)字卡片。因為直接的教學目標是多位數(shù)乘法的細節(jié)，多位數(shù)乘法的原理是基于位值（數(shù)位和數(shù)字）制記數(shù)法的，所以，用相對抽象的可以排列組合的數(shù)字作為問題情境，所提的問題比較容易直接和教學目標建立連接。而給出兩個“0”，為學生提出特殊情況和容易產(chǎn)生錯誤的問題提供了豐富的背景材料。

學生提出的問題不僅受問題情境的影響，而且直接受教師引導語（任務要求）的影響。本堂課中，教師用了兩句不同的引導語，要求每個學生提出兩個問題。第一句引導語要求的“問題提出”比較寬泛也相對容易，可以作為熱身活動。和教學目標更為關(guān)聯(lián)的是第二句引導語。這句引導語要求學生提出更難的問題，實質(zhì)上是鼓勵學生把問題情境中的兩個“0”合理地用在所提的問題中。這體現(xiàn)了問題情境和引導語的內(nèi)在聯(lián)系，而這樣的內(nèi)在聯(lián)系能讓“問題提出”教學更好地服務于教學目標的實現(xiàn)。更有意思的是，在第二句引導語中，教師要求學生提出“你認為其他小朋友容易算錯”的題目。這樣的要求能幫助那些學習困難的學生提出有效的數(shù)學問題。因為有些學生即使不是一個很好的問題解決者，仍然可以提出好問題“讓其他小朋友容易算錯”。為傳統(tǒng)課堂中學習困難的學生提供積極參與的機會，正是“問題提出”教學的一大優(yōu)勢。

當學生提出問題后，“問題提出”教學就進入另一個重要的步驟：師生處理問題。本堂課中，教師沒有直接讓學生解決問題（進行計算），而用了一個特殊又關(guān)鍵的方法來梳理學生提出的問題：歸類建模。圖8中師生一起總結(jié)出的四種豎式模型，直接體現(xiàn)了兩位數(shù)乘三位的特殊與非特殊情況。到此，教學目標已經(jīng)自然地呈現(xiàn)在學生提出的問題中了。顯然，要有這樣的效果，學生必須提出有效的數(shù)學問題。而學生提出有效的數(shù)學問題，又和前面教師設置合理的問題情境和引導語密不可分。由于這個環(huán)節(jié)對數(shù)學思維的要求很高，教師合理地運用了小組討論和全班匯報的方式來完成。通過分類建模完成問題梳理后，就進入問題解決的過程。不難看出，有了“問題提出”的過程，學生無論是對題目的理解還是對題目的感情都不同一般。

值得一提的是，本堂課中，完成了“問題提出”的教學過程后，教師還不失時機地引導學生將所學的知識運用到生活情境中，從而進一步鞏固和深化本單元的教學目標。

總之，這堂課的教學步驟明確、前后連貫，把原本枯燥、乏味的計算復習課上得更吸引人、更有新意，凸顯了“問題提出”教學的優(yōu)勢。