二次函數不同表達式的求解思路分析

趙亞文

【摘? 要】? 二次函數既是初中數學的重要內容，也是學生們學習的難點之一.作為基本要素之一，二次函數的解析式是打開函數世界的一把關鍵“鑰匙”，因此解析式的求解是學習的關鍵與重點.常見的二次函數解析式形式有一般式、頂點式、交點式，掌握所有表達式對應的解題思路和方法，才能夠提高解題效率，達到解題目的.本文主要對三種不同的二次函數表達式問題進行分析，通過例題得到一些解題的通法，提供給更多經驗以便學生學習和思考.

【關鍵詞】? 初中數學；二次函數；解題技巧

1? 一般式

形如的表達式被稱為二次函數的一般表達式，是三種不同表達形式中最基礎、最常見的一種形式.待定系數法是解答二次函數一般式的常見方法，即找到三組已知的點坐標，將對應的代入解析式中，通過解三元一次方程求出具體的值.

解答二次函數一般解析式的具體步驟為：①根據已知條件找到函數上具體的三個點坐標，假設函數解析式為；②將坐標中值代入假設的解析式中，得到三元一次方程；③運算求得大小，即可得知二次函數的具體解析式.

例1? 如圖1，二次函數（）圖象與軸交于兩點，與軸交于點，則二次函數的解析式為_____.

剖析? 沒有在問題中給出明確的坐標，首先需要結合圖形找出經過函數的三個具體坐標值，其次將這些坐標代入解析式中，解三元一次方程組即可求得函數的一般形式解析式.

解析? 由圖1可知二次函數經過、、三點，

將其代入解析式中，

可得，

解方程組可知，

故拋物線解析式為.

2? 頂點式

形如（）被稱為二次函數的頂點式，也是初中數學常見的一種二次函數表達形式，求解該解析式需要明確頂點坐標和其他點坐標，將其代入假設的頂點形式解析式中，求得的大小，即可得知具體的函數解析式.

求解二次函數頂點式問題，具體解題步驟為：①假設二次函數解析式為；②根據所給條件和已知圖象，代入假設的解析式中得到方程組；③運算求出的大小，即可得知具體的頂點式.

例2? 如圖2所示，點在函數圖象上，已知△是邊長為的等腰直角三角形，求該二次函數的解析式.

剖析? 首先假設函數解析式為頂點式，其次結合三角形的結構特點和已知對稱軸求出頂點坐標，將的具體坐標值代入假設的解析式中，求得的大小，即可得知具體二次函數解析式.

解析? 如圖2所示，二次函數的對稱軸為，

假設函數解析式為（），

因為△是邊長為的等腰直角三角形，

所以，

此時點、，

代入解析式中可得：，，，

故二次函數解析式為，

即.

3? 交點式

形如的解析式被稱為二次函數的交點表達式，其中對應函數與軸的交點.作為常見的一種二次函數解析式，求解時需要知道交點坐標和其他任意一點坐標，即可對解析式做出解答.

求解二次函數的交點形式解析式，具體解題步驟為：①假設二次函數解析式為交點形式；②根據所給條件，找出與軸相交的兩點坐標和其他一點坐標；③將坐標值帶入假設的解析式中，求出的值，即可求得具體坐標解析式.

例3? 已知一元二次方程的兩個實數根，且，若分別是拋物線與軸的兩個交點的橫坐標（如圖3），且拋物線與軸交于點，求拋物線的具體解析式.

剖析? 拋物線與軸相交的兩點對應方程的兩個實數根，首先假設拋物線解析式為交點形式，解方程求出兩個交點坐標，代入解析式中求得的值，其次根據點求出的值，即可得知函數的具體解析式.

解析? 假設二次函數解析式為（），

因為是方程的兩個實數根，

因為，

所以，，

因為經過點，

所以，

解得，

所以二次函數解析式為，

即.

4? 結語

通過上述例題分析，一般式、頂點式、交點式都需要找到具體點的坐標，將其代入假設的解析式中運算，即可求得具體函數表達式.三種不同形式的函數表達式分別展示了二次函數解析式求解的不同思路，每一種表達式對應的點坐標各不相同，且都是學生們必須全部掌握和學習的重點內容.學生們在實踐過程中，需要結合其他知識點求坐標具體值，因此熟練掌握基本知識點，是解答函數解析式問題的基礎與關鍵.

參考文獻：

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