借閱讀之力 強(qiáng)思維生長(zhǎng)
——以“數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠”為例

文｜黃麗娟

在新課標(biāo)背景下，通過學(xué)習(xí)“雞兔同籠”內(nèi)容，學(xué)生要在現(xiàn)實(shí)生活中體會(huì)到“發(fā)現(xiàn)—抽象—簡(jiǎn)化—解決—處理”這一思想活動(dòng)的全過程。在“雞兔同籠”問題探索活動(dòng)中，教師可以讓學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)培養(yǎng)理性思維能力，較清晰地表達(dá)自己的思維過程和結(jié)果。同時(shí)，能在簡(jiǎn)單的“雞兔同籠”問題上，探索出一套行之有效的分析問題、解決問題的方法，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的重要性，并將其應(yīng)用于實(shí)際問題中。

新課標(biāo)提倡將化繁為簡(jiǎn)、數(shù)形結(jié)合的理念融入探究和創(chuàng)造的過程中，讓學(xué)生積累更多的思考經(jīng)驗(yàn)，逐步形成理性思考方式，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并用其來解決現(xiàn)實(shí)中的問題。所謂“模型意識(shí)”，即對(duì)數(shù)學(xué)模型的普遍性有初步的認(rèn)知，認(rèn)識(shí)到其能用于某一類問題的求解，這是一種數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本方式。在實(shí)際生活中，很多問題都和數(shù)學(xué)相關(guān)，并且可以用數(shù)學(xué)的概念和方法來解釋，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“雞兔同籠”問題，可提高學(xué)生的應(yīng)用能力，讓學(xué)生在應(yīng)用定律的過程中，提高交流能力，最終形成推理能力。

一、教材分析

“雞兔同籠”問題最早見于《孫子算經(jīng)》，是在中國民間廣泛流傳的趣味算術(shù)題。“雞兔同籠”的教學(xué)，目的是讓學(xué)生從古代數(shù)學(xué)題目中感受到我國的數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生更好地理解各種解題的方式。“雞兔同籠”問題的求解方法有列表法、假設(shè)法、方程法等，因?yàn)閷W(xué)生還沒有學(xué)會(huì)這一單元的公式，所以這節(jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生自己去猜測(cè)、思考，進(jìn)行推理。

“雞兔同籠”的學(xué)習(xí)既能訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維，又能讓學(xué)生感受到一般的代數(shù)方法，具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。在解答此類問題時(shí)，教材呈現(xiàn)出由學(xué)生一步一步地解題的步驟。運(yùn)用“假設(shè)法”可以訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維，而用“方程式”可以使學(xué)生感受到一般的代數(shù)方法。所以，對(duì)于“雞兔同籠”的解題，學(xué)生可以選擇任何一種解題方式，這就需要學(xué)生形成良好的思維能力。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.運(yùn)用列表、假設(shè)方法來解答“雞兔同籠”的題目，培養(yǎng)學(xué)生的思考能力，體驗(yàn)猜測(cè)驗(yàn)證、假設(shè)建模等數(shù)學(xué)思維方式。

2.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高其運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：通過“雞兔同籠”問題的解答，找出幾種不同的解決辦法。

教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用方法解決“雞兔同籠”問題。

四、教學(xué)過程

（一）趣味導(dǎo)入“雞兔同籠”課題

師：今天我們這節(jié)數(shù)學(xué)課是一堂趣味的數(shù)學(xué)課，在這節(jié)課之前，我要和同學(xué)們做一個(gè)游戲，我畫，你們猜，大家猜一猜，我畫的這是什么。（小雞）一個(gè)圓形代表頭部，兩條垂直的直線代表腿部。還有一個(gè)小動(dòng)物，有兩只長(zhǎng)長(zhǎng)的耳朵，這是什么動(dòng)物？（兔子）大家都猜出來了吧，我們這節(jié)課的主角是兔子和小雞，下面讓我們開始今天的學(xué)習(xí)吧！

師：我們國家有很長(zhǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷史，有很多古老的、有趣的故事，至今還在我們的生活中流傳著。今天我們要講的是一道很有意思的古代數(shù)學(xué)題——雞兔同籠。

多媒體出示：籠子里關(guān)著小兔和小雞，上有35只頭，下有94 只腳，請(qǐng)問一共有多少只兔子、多少只雞？

（板書：數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠）

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家猜猜看有幾只雞、有幾只兔子。

生1：我想應(yīng)當(dāng)是雞有10 只，兔有25 只，如果這35 個(gè)腦袋都是雞，那就是70 條腿，94 只腳比70 條腿多。因此，我想應(yīng)當(dāng)是兔子更多一些。

生2：我不同意她的觀點(diǎn)，我覺得應(yīng)該少一些兔子，多一些雞。我猜想，若有35 個(gè)兔子腦袋，那就該有140 只腳，140 比94 更多，那就證明兔子的數(shù)量多了，因此我猜想有13 只兔子，21 只雞。

師：看來大家都有濃厚的探索興趣，看著大家各抒己見，我真的感到十分欣慰！那就請(qǐng)大家在練習(xí)本上嘗試自己檢驗(yàn)一下吧！

（二）圍繞“雞兔同籠”設(shè)疑

相信在上一個(gè)環(huán)節(jié)，大家對(duì)“雞兔同籠”都有所了解了，現(xiàn)在讓我們看一下課件。有沒有人能帶著感情念出來？能不能說清楚？

多媒體出示：

?《孫子算經(jīng)》中“雞兔同籠”原文內(nèi)容：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何。

師：你能從中得到什么資料？結(jié)合日常生活中的常識(shí)性知識(shí)，你還可以得出什么結(jié)論？（點(diǎn)名報(bào)告）

師：根據(jù)以上的資料，讓我們先來猜測(cè)一下，這個(gè)籠中有多少只雞、多少只兔子？（給學(xué)生一點(diǎn)時(shí)間去猜）你怎么知道是對(duì)是錯(cuò)？（確認(rèn)了腳的個(gè)數(shù)）這能否隨便猜？要把握什么？

師：每個(gè)人都猜測(cè)出了幾組數(shù)字，但都被證明是錯(cuò)的，那么多人怎么會(huì)猜錯(cuò)？（數(shù)據(jù)過大）事實(shí)上，我們?cè)谧鰯?shù)學(xué)研究時(shí)，往往會(huì)將復(fù)雜的事情簡(jiǎn)單化，將數(shù)字變小，從簡(jiǎn)單的問題開始。例如，我們可以先猜測(cè)5 只雞和5 只兔子的腳的總數(shù)，再逐步增加難度。這一次我們能不能猜對(duì)？請(qǐng)你自己計(jì)算、思考，把答案寫在卡片上！

在呈現(xiàn)教學(xué)情境的過程中，利用古代數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生感受到我國古代數(shù)學(xué)文化的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，在感受數(shù)學(xué)文化時(shí)，還能激發(fā)出學(xué)生的民族自豪感和愛國熱情。同時(shí)，學(xué)生通過對(duì)結(jié)果的猜測(cè)和修正，可得出正確答案。如果學(xué)生不能得出正確的結(jié)論，教師就可以進(jìn)行下一步的教學(xué)，適當(dāng)刺激學(xué)生對(duì)問題的探索，也為下一步“化繁為簡(jiǎn)”打下良好的基礎(chǔ)。

（三）運(yùn)用多元方法解決“雞兔同籠”問題

1.列表法

籠子中有若干只雞和兔子，從上面看一共是8個(gè)頭，從下面看一共是26 只腳，你是否能知道兔子和雞都有多少？

師：通過猜測(cè)，你能猜出有多少只雞嗎？有多少只兔子呢？

生：3 只雞、5 只兔子。

師：怎樣才能確定這是正確的呢？

教師指導(dǎo)學(xué)生說出自己的解題思想和步驟。

生1：我是將8 個(gè)腦袋平均分成8 份，4 只雞、4只兔子，一共24 只腳，缺2 只腳，表示雞較多，兔較少，調(diào)整后3 只雞、5 只兔子。

生2：我先從1 只雞和7 只兔子開始計(jì)算。

生3：我先從7 只雞和1 只兔子開始計(jì)算。

……

師：同學(xué)們，如果我們用表來排列我們剛才所做的論證，這就叫列表法。現(xiàn)在，請(qǐng)大家翻開課本第104頁，將第一個(gè)表格填滿。

生：老師，我沒有使用列表方法，我是用圖形來尋找答案的。

師：同學(xué)們，請(qǐng)你們站在黑板前面，向我們展示你的學(xué)習(xí)方式。（見圖1）

圖1

2.畫圖法

師：經(jīng)過剛剛的練習(xí)，大家對(duì)“雞兔同籠”的問題都有了一定的認(rèn)識(shí)，并且在討論中發(fā)現(xiàn)了一條非常簡(jiǎn)便的思路，那我們?cè)侔堰@個(gè)思路繼續(xù)應(yīng)用下去，如何才能使它變得更加簡(jiǎn)便？

（學(xué)生討論：如果8 個(gè)腦袋都是雞，會(huì)比較容易計(jì)算。）

師：剛才我們用圖解法解決“雞兔同籠”問題，這是另外一種解題方式，除了畫圖法，還有假設(shè)法。

3.假設(shè)法

師：下面請(qǐng)大家用假設(shè)法進(jìn)行解題。

生：首先，將8 個(gè)腦袋都看成是雞的，共有16 只腳。假設(shè)所有的雞籠都被關(guān)了起來，即8×2。其次，籠中共有26 只腳，我們只數(shù)出16 只，還少數(shù)出10 只腳，即26-16=10（只），這是一個(gè)很大的數(shù)字。最后，一只兔子比一只雞多出兩只腳，因此我們?cè)诘? 只雞上加出兩條腿，這樣就少計(jì)算出8 只腳，再在第2只雞上加出兩條腿，以此類推，總共為5 只雞加出2條腿，則圖中有5 個(gè)頭是4 條腿，4 條腿的是兔子，2條腿的是雞。求兔子的數(shù)量，是10÷2=5，雞的數(shù)量是8-5=3。

師：同學(xué)們，你能看到8 個(gè)腦袋都是兔嗎？現(xiàn)在，請(qǐng)學(xué)生在自己的習(xí)題冊(cè)上做一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算。

教師引導(dǎo)學(xué)生自己試著去解答問題，分層次地進(jìn)行討論和交流，目的是讓學(xué)生逐漸清楚地理解：總腳數(shù)的差值中有多少個(gè)2，而“2”就是兔子與雞腿的差值。

（四）借助“雞兔同籠”問題滲透數(shù)學(xué)文化

師：同學(xué)們，“雞兔同籠”這種從正向思維到逆向思維的方式來解決數(shù)學(xué)問題，很有難度。同學(xué)們，我們的先人很聰明，他們?cè)?600 年前就找到了“雞兔同籠”這個(gè)題目，這個(gè)題目比較難，本來是要讓小朋友去體驗(yàn)一個(gè)由淺入深的過程，但我們的先人認(rèn)為，只要我們從最簡(jiǎn)單的知識(shí)開始，就可以感受到其中的數(shù)學(xué)價(jià)值，用更多數(shù)學(xué)問題為生活服務(wù)。

學(xué)生在小組內(nèi)查找“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)資料。

數(shù)學(xué)文化的滲透，使學(xué)生能根據(jù)自己所學(xué)到的知識(shí)，來解答“雞兔同籠”這道古老的難題。在此基礎(chǔ)上，引入有趣的解法，從而營造出良好的文化氛圍，使學(xué)生能更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更能讓學(xué)生體會(huì)到我國數(shù)學(xué)文化的古老與美好，從而提升學(xué)生的民族自豪感。

（五）圍繞“雞兔同籠”問題進(jìn)行拓展運(yùn)用

請(qǐng)大家結(jié)合所學(xué)的“雞兔同籠”知識(shí)進(jìn)行拓展練習(xí)。

1.有烏龜與仙鶴共40 只，烏龜與仙鶴共112 條腿。有多少只龜，多少只鶴？

2.自行車及三輪共10 輛，共26 個(gè)輪子，有幾輛自行車，幾輛三輪車？

3.小紅用13 塊6 毛錢買了35 枚面值分別為20分和50 分的郵票，請(qǐng)問這35 枚郵票中的兩種郵票各有幾枚？

師：同學(xué)們，請(qǐng)結(jié)合“雞兔同籠”知識(shí)，設(shè)想在上面這幾道題中找到“雞”和“兔”，并且分別求出“雞”和“兔”都有多少只？

師：上面這些題和“雞兔同籠”知識(shí)有什么相同點(diǎn)？

生：均采用假設(shè)法。

這些實(shí)踐題不管是題目本身，還是表達(dá)方式，都與“雞兔同籠”題有很大不同。然而，雖然表面上看起來與“雞兔同籠”無關(guān)，但學(xué)生卻能輕松地解答出來。這一正向遷移表明，學(xué)生對(duì)“雞兔同籠”的認(rèn)識(shí)已由“特殊”上升到“一般”，并具有一定的數(shù)學(xué)視野，通過遷移使其結(jié)構(gòu)得到完善，使其成為一種有效的學(xué)習(xí)策略，從而形成模式意識(shí)，提高以數(shù)學(xué)語言來表現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活的能力。

五、教學(xué)反思

?（一）運(yùn)用多元策略教學(xué)

?在“雞兔同籠”問題的解法中，猜想是對(duì)這類問題進(jìn)行探索和求解的方法之一，而列表法則有助于對(duì)這類問題進(jìn)行有條不紊的思考，有助于對(duì)這類問題進(jìn)行有效的推理，為這類問題提供了一種可操作的思路。在教學(xué)時(shí)，教師要給予學(xué)生充足的空間，有充足的時(shí)間去探究和討論解決此類問題的方法。

?（二）掌握假設(shè)方法運(yùn)算原理

?假設(shè)法屬于一種算術(shù)方法，可以被分成四個(gè)主要的步驟，即假設(shè)—計(jì)算—推理—調(diào)整。假設(shè)法的計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，但理解算理會(huì)有一定的難度，特別是推理和調(diào)整這兩個(gè)步驟很難理解，學(xué)生如果不能通過這兩個(gè)階段，就不能真正地掌握假設(shè)法。在教學(xué)時(shí)，教師要仔細(xì)分析學(xué)生存在的思維障礙。當(dāng)學(xué)生完全掌握假設(shè)法后，教師還可以利用“半兔法”“抬腳法”等特殊的假想方法，讓學(xué)生體會(huì)到假想方法的精妙和靈活性，再將其應(yīng)用到解題中，切實(shí)提高學(xué)生對(duì)這一部分知識(shí)的學(xué)習(xí)及應(yīng)用能力。