復變函數與積分變換在通信工程專業中的教學實踐

張原園 古再力努爾·依明 苗瑾超

摘?要：復變函數與積分變換課程在電子信息類工科專業中占據舉足輕重的作用，由于課程應用性強，相比高等數學較為抽象、復雜，大多數授課教師是數學系專任教師，不能盡可能地將課程內容充分聯系電子信息類專業進行有側重的講解，導致授課效果不是很理想，對通信工程專業學生后續學習信號與系統等專業核心課程不能做好銜接工作。筆者采用實踐與理論相結合的教學方式，融合前期電路分析、后期信號與系統部分內容，提高學生學習興趣；通過實例講解，學生能夠充分了解設置課程的作用及其意義，從而達到對課程內容的精準掌握。

關鍵詞：復變函數與積分變換；通信工程；信號與系統；實踐教學

Abstract：The?course?of?complex?variable?function?and?integral?transformation?plays?an?important?role?in?electronic?and?information?engineering?majors.Because?of?its?strong?applicability，the?course?is?more?abstract?and?complex?than?advanced?mathematics，and?most?of?the?teachers?are?fulltime?teachers?in?the?Department?of?Mathematics，who?are?unable?to?fully?link?the?course?content?with?the?electronic?and?information?majors?for?focused?explanation，resulting?in?poor?teaching?effect，Communication?engineering?students?can't?do?a?good?job?;in?connecting?the?core?courses?of?signal?and?system.The?author?adopts?the?teaching?method?of?combining?practice?and?theory，integrating?the?;contents?of?circuit?analysis?in?the?early?stage，signal?and?system?in?the?later?stage，to?improve?students'?learning?interest；Through?the?explanation?of?examples，students?can?fully?understand?the?role?and?significance?of?the?curriculum，so?as?to?accurately?grasp?the?content?of?the?curriculum.

Keywords：Complex?function?and?integral?transformation；Communication?engineering；Signal?and?system；Practical?teaching

一、復變函數與積分變換課程內容

復變函數與積分變換課程主要分為兩個重點內容，復變函數部分主要講授復變函數論，包括復數與復變函數、解析函數、復變函數的積分、級數、留數、保留映射，其理論產生于18世紀，在19世紀得到全面發展，歐拉、拉普拉斯、柯西、黎曼等眾多數學家為復變函數論的開拓及豐富做出了巨大的貢獻［1］。積分變換是在實變函數與微積分基礎之上發展而來的，主要講授傅里葉變換、拉普拉斯變換等內容，主要應用在電子信息類工科專業中［2］。復變函數與積分變換作為工科專業中一門基礎必修課程，在通信工程、自動控制、電子信息等專業有著非常重要的作用，相比于高等數學有明顯的難度提升，在學習過程中如果一再對概念講解，脫離現實技術應用難免導致課程效果較差，不能夠引起學生興趣，造成被動學習、填鴨式教學［3］。建議教學過程中要講究側重點，結合實踐應用，提高學生學習興趣，增加多種教學方式，讓學生能夠充分了解課程作用及其意義，更好地掌握課程內容［4］。

二、復變函數在通信工程專業中應用

作為高等院校眾多專業的基礎必修課程，首先，通過復變函數與積分變換的學習，能夠培養學生抽象思維能力、邏輯思維能力、空間想象能力和科學計算能力；培養學生利用復變函數、積分變換的方法來有效地、系統地解決一些工程實際問題；逐步培養學生能夠建立復雜數學模型的能力，并為后續的專業基礎課程、專業核心課程的學習，以及將來從事教學、科研及其他實際工作打下堅實的理論知識基礎。其次，復變函數中傅里葉變換、拉普拉斯變換等內容作為信號與系統課程中的核心內容，直接關系著通信工程專業學生后續專業課程的學習效果，通過引入信號與系統中相關內容，更好地體悟復變函數與積分變換的工具作用，學習過程中要重點弄明白傅里葉變換的來龍去脈，能夠更好地對信號的變換、信號之間運算、信號表述有更為全面系統的認識。傅里葉變換、拉普拉斯變換在信號處理、圖像處理等領域發揮巨大的作用，如何巧妙地講授積分變換內容也是專任教師需要思考的主要問題［510］。

三、通信工程專業中復變函數教學實踐

（一）激發學生興趣

通過實例教學激發學生學習復變函數的興趣，通過前期的學習掌握復變函數基本運算、基本概念、基本定義。后期重點講授傅里葉變換的來龍去脈，提出時頻域概念、周期與非周期概念，從熟悉的時域擴展到頻域，從周期過度非周期，通過直觀理解可以知道時域是以時間軸為參考、頻域是以頻率為參考。下圖1表示音頻信號時域—頻域轉換圖，圖1（a）表示隨時間變換的一段音頻，經過傅里葉變換能夠看到圖1（b）是信號在頻域上的變換，通過在不同的域得到不同的觀察結果，直觀形象地說明問題，不斷引導學生、激發學生探索興趣。

（二）重難點講授

圖2是通過基本信號疊加形成方波的過程，能夠充分展示信號之間的構成與表示。通過動態演示不同諧波疊加形成方波過程，明白任何波形可由正弦波n次疊加形成。講解傅里葉變換類似于對數運算能將積商運算轉換成加減運算一樣，講解積分變換是一種數學變換，它能將卷積運算變成乘積運算，能將微積分運算轉換為代數運算，使問題進一步簡化。

（三）銜接信號與系統后續課程

講解圖像處理中的基本操作，通過對傅里葉變換的了解，增加學生學習興趣，利用傅里葉變換做一些圖像處理實踐練習，進而體會其實際意義。通過圖像去噪、邊緣提取、濾波、OFDM調制與解調等例子的學習，完成對相關知識的理解及熟練應用。圖3是通過對椒鹽噪聲圖像進行傅里葉變換后，去掉高頻噪聲部分，再進行傅里葉反變換后恢復的椒鹽噪聲圖像結果。

圖3中（a）（b）（c）分別表示對高頻成分進行濾除，保留圖像中心600×600、300×300、30×30圖像塊之后恢復的結果，從結果中可以得到（b）圖相比（a）圖噪點減少了許多，（c）圖相比（b）圖因為濾除過多，將一部分低頻也進行了濾除，導致圖片失真。通過實例使同學們能更好地理解重點知識的具體應用，更好地進行后續課程的學習。

講解拉普拉斯變換在解微分方程中的應用，回顧之前高等數學及電路分析求解微分方程的步驟，一般在時域中求解微分方程首先需要通過特征方程來求解特征根，進而得到齊次解，之后根據齊次解判斷特解類型，帶入方程得到相應特解，最后齊次解加特解構成微分方程的全解，將已知參數帶入得到最終結果。在拉普拉斯變換章節中，我們通過對方程兩端進行拉普拉斯正變換，根據拉普拉斯變換性質，得到像函數在S域的代數方程，從而求解出未知函數X（s）的像函數，最后通過逆變換得到方程的解，具體操作流程如圖4。通過講解使用拉普拉斯變換性質求解微分方程的過程，比較前期使用經典時域方法求解微分方程的流程，更加深入地體會到拉普拉斯變換的優勢以及便捷之處。

四、如何學好復變函數與積分變換

前期首先認真學習高等數學、電路分析、大學物理等必修課程，高等數學作為高等院校大部分專業的基礎必修課程，在后續學習中有著非常重要的作用，極限思維、抽象思維、邏輯推理、數形結合等從各方面影響后續復變函數與積分變換的學習；電路分析的學習為后續復變函數與積分變換提供了實際例子，更好地理解域的轉化對求解電路參數提供了更好的方法。

理解復變函數前期基本概念、定理，掌握復變函數運算及幾何表示，通過類比高等數學導數方面的內容掌握解析函數概念及其主要內容，通過類比高等數學積分、級數等方面內容掌握復變函數積分、級數等內容。

針對后半部分積分與變換的內容，首先聯系高等數學的傅里葉變換章節進行初步學習，掌握傅里葉變換的基本內容，通過信號與系統中的實例講解δ函數、階躍函數概念、帕薩瓦爾定理、卷積等內容，聯系電路分析中相關知識從工程方面進行理解。從積分變換使用范圍上講解傅里葉變換到拉普拉斯變換的過渡原因，講解使用拉普拉斯變換解決RLC動態微分方程的方法，理解其核心思想。

通過前后學期知識點的串聯交織，能夠更好地使學生回顧前期知識，掌握后續內容的方向，知識之間的聯系更加緊密，不會有很強的跳躍性，導致學生難以接受，喪失學習興趣。通過實踐教學，使學生學習興趣更加濃厚，能夠利用所學知識解決相關問題，提升自身技能，增加獲得感、成就感，有利于后續課程的順利展開。

參考文獻：

［1］包革軍，邢宇明，蓋英云.復變函數與積分變換（第三版）［M］.北京：科學出版社，2013.

［2］張雯瑩，黃賀艷，周延.復變函數與積分變換教學改革探索［J］.科技風，2023（02）：6971.

［3］龐洪博.復變函數課程思政的探索與實踐［J］.遼寧工業大學學報（社會科學版），2022，24（06）：132134.

［4］劉方紅，劉曉妍，鞠圣會.復變函數與積分變換課程的研究導向型教學設計［J］.電子技術，2022，51（11）：356357.

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［7］崔曉梅，茹靜.新工科背景下《復變函數與積分變換》課程教學改革探索［J］.吉林化工學院學報，2022，39（02）：912.

［8］王鵬，楊曉藝.具有集成電路特色的數學基礎課程改革——以“復變函數”為例［J］.工業和信息化教育，2021（12）：5457.

［9］吳延紅.復變函數與積分變換課程教學與學習情況調研分析及對策研究［J］.黑龍江科學，2021，12（17）：102103.

［10］鄭連偉.復變函數教學實踐的案例分析［J］.電子技術，2021，50（01）：8283.

基金項目：2022年度新疆理工學院校級教育教學研究和改革項目——通信工程專業學生工程創新實踐能力培養模式的研究

作者簡介：張原園（1996—?），男，漢族，陜西蒲城人，碩士，助教，研究方向：通信信號處理、計算機視覺；古再力努爾·依明（1996—?），女，維吾爾族，新疆庫車人，碩士，助教，研究方向：自然語言處理。

*通訊作者：苗瑾超（1987—?），女，漢族，陜西西安人，碩士，副教授，從事通信工程專業教學研究。