復(fù)變函數(shù)與積分變換在通信工程專業(yè)中的教學(xué)實(shí)踐

張?jiān)瓐@ 古再力努爾·依明 苗瑾超

摘?要：復(fù)變函數(shù)與積分變換課程在電子信息類工科專業(yè)中占據(jù)舉足輕重的作用，由于課程應(yīng)用性強(qiáng)，相比高等數(shù)學(xué)較為抽象、復(fù)雜，大多數(shù)授課教師是數(shù)學(xué)系專任教師，不能盡可能地將課程內(nèi)容充分聯(lián)系電子信息類專業(yè)進(jìn)行有側(cè)重的講解，導(dǎo)致授課效果不是很理想，對通信工程專業(yè)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)信號與系統(tǒng)等專業(yè)核心課程不能做好銜接工作。筆者采用實(shí)踐與理論相結(jié)合的教學(xué)方式，融合前期電路分析、后期信號與系統(tǒng)部分內(nèi)容，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；通過實(shí)例講解，學(xué)生能夠充分了解設(shè)置課程的作用及其意義，從而達(dá)到對課程內(nèi)容的精準(zhǔn)掌握。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)與積分變換；通信工程；信號與系統(tǒng)；實(shí)踐教學(xué)

Abstract：The?course?of?complex?variable?function?and?integral?transformation?plays?an?important?role?in?electronic?and?information?engineering?majors.Because?of?its?strong?applicability，the?course?is?more?abstract?and?complex?than?advanced?mathematics，and?most?of?the?teachers?are?fulltime?teachers?in?the?Department?of?Mathematics，who?are?unable?to?fully?link?the?course?content?with?the?electronic?and?information?majors?for?focused?explanation，resulting?in?poor?teaching?effect，Communication?engineering?students?can't?do?a?good?job?;in?connecting?the?core?courses?of?signal?and?system.The?author?adopts?the?teaching?method?of?combining?practice?and?theory，integrating?the?;contents?of?circuit?analysis?in?the?early?stage，signal?and?system?in?the?later?stage，to?improve?students'?learning?interest；Through?the?explanation?of?examples，students?can?fully?understand?the?role?and?significance?of?the?curriculum，so?as?to?accurately?grasp?the?content?of?the?curriculum.

Keywords：Complex?function?and?integral?transformation；Communication?engineering；Signal?and?system；Practical?teaching

一、復(fù)變函數(shù)與積分變換課程內(nèi)容

復(fù)變函數(shù)與積分變換課程主要分為兩個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，復(fù)變函數(shù)部分主要講授復(fù)變函數(shù)論，包括復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)、保留映射，其理論產(chǎn)生于18世紀(jì)，在19世紀(jì)得到全面發(fā)展，歐拉、拉普拉斯、柯西、黎曼等眾多數(shù)學(xué)家為復(fù)變函數(shù)論的開拓及豐富做出了巨大的貢獻(xiàn)［1］。積分變換是在實(shí)變函數(shù)與微積分基礎(chǔ)之上發(fā)展而來的，主要講授傅里葉變換、拉普拉斯變換等內(nèi)容，主要應(yīng)用在電子信息類工科專業(yè)中［2］。復(fù)變函數(shù)與積分變換作為工科專業(yè)中一門基礎(chǔ)必修課程，在通信工程、自動控制、電子信息等專業(yè)有著非常重要的作用，相比于高等數(shù)學(xué)有明顯的難度提升，在學(xué)習(xí)過程中如果一再對概念講解，脫離現(xiàn)實(shí)技術(shù)應(yīng)用難免導(dǎo)致課程效果較差，不能夠引起學(xué)生興趣，造成被動學(xué)習(xí)、填鴨式教學(xué)［3］。建議教學(xué)過程中要講究側(cè)重點(diǎn)，結(jié)合實(shí)踐應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增加多種教學(xué)方式，讓學(xué)生能夠充分了解課程作用及其意義，更好地掌握課程內(nèi)容［4］。

二、復(fù)變函數(shù)在通信工程專業(yè)中應(yīng)用

作為高等院校眾多專業(yè)的基礎(chǔ)必修課程，首先，通過復(fù)變函數(shù)與積分變換的學(xué)習(xí)，能夠培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、邏輯思維能力、空間想象能力和科學(xué)計(jì)算能力；培養(yǎng)學(xué)生利用復(fù)變函數(shù)、積分變換的方法來有效地、系統(tǒng)地解決一些工程實(shí)際問題；逐步培養(yǎng)學(xué)生能夠建立復(fù)雜數(shù)學(xué)模型的能力，并為后續(xù)的專業(yè)基礎(chǔ)課程、專業(yè)核心課程的學(xué)習(xí)，以及將來從事教學(xué)、科研及其他實(shí)際工作打下堅(jiān)實(shí)的理論知識基礎(chǔ)。其次，復(fù)變函數(shù)中傅里葉變換、拉普拉斯變換等內(nèi)容作為信號與系統(tǒng)課程中的核心內(nèi)容，直接關(guān)系著通信工程專業(yè)學(xué)生后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)效果，通過引入信號與系統(tǒng)中相關(guān)內(nèi)容，更好地體悟復(fù)變函數(shù)與積分變換的工具作用，學(xué)習(xí)過程中要重點(diǎn)弄明白傅里葉變換的來龍去脈，能夠更好地對信號的變換、信號之間運(yùn)算、信號表述有更為全面系統(tǒng)的認(rèn)識。傅里葉變換、拉普拉斯變換在信號處理、圖像處理等領(lǐng)域發(fā)揮巨大的作用，如何巧妙地講授積分變換內(nèi)容也是專任教師需要思考的主要問題［510］。

三、通信工程專業(yè)中復(fù)變函數(shù)教學(xué)實(shí)踐

（一）激發(fā)學(xué)生興趣

通過實(shí)例教學(xué)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的興趣，通過前期的學(xué)習(xí)掌握復(fù)變函數(shù)基本運(yùn)算、基本概念、基本定義。后期重點(diǎn)講授傅里葉變換的來龍去脈，提出時(shí)頻域概念、周期與非周期概念，從熟悉的時(shí)域擴(kuò)展到頻域，從周期過度非周期，通過直觀理解可以知道時(shí)域是以時(shí)間軸為參考、頻域是以頻率為參考。下圖1表示音頻信號時(shí)域—頻域轉(zhuǎn)換圖，圖1（a）表示隨時(shí)間變換的一段音頻，經(jīng)過傅里葉變換能夠看到圖1（b）是信號在頻域上的變換，通過在不同的域得到不同的觀察結(jié)果，直觀形象地說明問題，不斷引導(dǎo)學(xué)生、激發(fā)學(xué)生探索興趣。

（二）重難點(diǎn)講授

圖2是通過基本信號疊加形成方波的過程，能夠充分展示信號之間的構(gòu)成與表示。通過動態(tài)演示不同諧波疊加形成方波過程，明白任何波形可由正弦波n次疊加形成。講解傅里葉變換類似于對數(shù)運(yùn)算能將積商運(yùn)算轉(zhuǎn)換成加減運(yùn)算一樣，講解積分變換是一種數(shù)學(xué)變換，它能將卷積運(yùn)算變成乘積運(yùn)算，能將微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為代數(shù)運(yùn)算，使問題進(jìn)一步簡化。

（三）銜接信號與系統(tǒng)后續(xù)課程

講解圖像處理中的基本操作，通過對傅里葉變換的了解，增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，利用傅里葉變換做一些圖像處理實(shí)踐練習(xí)，進(jìn)而體會其實(shí)際意義。通過圖像去噪、邊緣提取、濾波、OFDM調(diào)制與解調(diào)等例子的學(xué)習(xí)，完成對相關(guān)知識的理解及熟練應(yīng)用。圖3是通過對椒鹽噪聲圖像進(jìn)行傅里葉變換后，去掉高頻噪聲部分，再進(jìn)行傅里葉反變換后恢復(fù)的椒鹽噪聲圖像結(jié)果。

圖3中（a）（b）（c）分別表示對高頻成分進(jìn)行濾除，保留圖像中心600×600、300×300、30×30圖像塊之后恢復(fù)的結(jié)果，從結(jié)果中可以得到（b）圖相比（a）圖噪點(diǎn)減少了許多，（c）圖相比（b）圖因?yàn)闉V除過多，將一部分低頻也進(jìn)行了濾除，導(dǎo)致圖片失真。通過實(shí)例使同學(xué)們能更好地理解重點(diǎn)知識的具體應(yīng)用，更好地進(jìn)行后續(xù)課程的學(xué)習(xí)。

講解拉普拉斯變換在解微分方程中的應(yīng)用，回顧之前高等數(shù)學(xué)及電路分析求解微分方程的步驟，一般在時(shí)域中求解微分方程首先需要通過特征方程來求解特征根，進(jìn)而得到齊次解，之后根據(jù)齊次解判斷特解類型，帶入方程得到相應(yīng)特解，最后齊次解加特解構(gòu)成微分方程的全解，將已知參數(shù)帶入得到最終結(jié)果。在拉普拉斯變換章節(jié)中，我們通過對方程兩端進(jìn)行拉普拉斯正變換，根據(jù)拉普拉斯變換性質(zhì)，得到像函數(shù)在S域的代數(shù)方程，從而求解出未知函數(shù)X（s）的像函數(shù)，最后通過逆變換得到方程的解，具體操作流程如圖4。通過講解使用拉普拉斯變換性質(zhì)求解微分方程的過程，比較前期使用經(jīng)典時(shí)域方法求解微分方程的流程，更加深入地體會到拉普拉斯變換的優(yōu)勢以及便捷之處。

四、如何學(xué)好復(fù)變函數(shù)與積分變換

前期首先認(rèn)真學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)、電路分析、大學(xué)物理等必修課程，高等數(shù)學(xué)作為高等院校大部分專業(yè)的基礎(chǔ)必修課程，在后續(xù)學(xué)習(xí)中有著非常重要的作用，極限思維、抽象思維、邏輯推理、數(shù)形結(jié)合等從各方面影響后續(xù)復(fù)變函數(shù)與積分變換的學(xué)習(xí)；電路分析的學(xué)習(xí)為后續(xù)復(fù)變函數(shù)與積分變換提供了實(shí)際例子，更好地理解域的轉(zhuǎn)化對求解電路參數(shù)提供了更好的方法。

理解復(fù)變函數(shù)前期基本概念、定理，掌握復(fù)變函數(shù)運(yùn)算及幾何表示，通過類比高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)方面的內(nèi)容掌握解析函數(shù)概念及其主要內(nèi)容，通過類比高等數(shù)學(xué)積分、級數(shù)等方面內(nèi)容掌握復(fù)變函數(shù)積分、級數(shù)等內(nèi)容。

針對后半部分積分與變換的內(nèi)容，首先聯(lián)系高等數(shù)學(xué)的傅里葉變換章節(jié)進(jìn)行初步學(xué)習(xí)，掌握傅里葉變換的基本內(nèi)容，通過信號與系統(tǒng)中的實(shí)例講解δ函數(shù)、階躍函數(shù)概念、帕薩瓦爾定理、卷積等內(nèi)容，聯(lián)系電路分析中相關(guān)知識從工程方面進(jìn)行理解。從積分變換使用范圍上講解傅里葉變換到拉普拉斯變換的過渡原因，講解使用拉普拉斯變換解決RLC動態(tài)微分方程的方法，理解其核心思想。

通過前后學(xué)期知識點(diǎn)的串聯(lián)交織，能夠更好地使學(xué)生回顧前期知識，掌握后續(xù)內(nèi)容的方向，知識之間的聯(lián)系更加緊密，不會有很強(qiáng)的跳躍性，導(dǎo)致學(xué)生難以接受，喪失學(xué)習(xí)興趣。通過實(shí)踐教學(xué)，使學(xué)生學(xué)習(xí)興趣更加濃厚，能夠利用所學(xué)知識解決相關(guān)問題，提升自身技能，增加獲得感、成就感，有利于后續(xù)課程的順利展開。

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基金項(xiàng)目：2022年度新疆理工學(xué)院校級教育教學(xué)研究和改革項(xiàng)目——通信工程專業(yè)學(xué)生工程創(chuàng)新實(shí)踐能力培養(yǎng)模式的研究

作者簡介：張?jiān)瓐@（1996—?），男，漢族，陜西蒲城人，碩士，助教，研究方向：通信信號處理、計(jì)算機(jī)視覺；古再力努爾·依明（1996—?），女，維吾爾族，新疆庫車人，碩士，助教，研究方向：自然語言處理。

*通訊作者：苗瑾超（1987—?），女，漢族，陜西西安人，碩士，副教授，從事通信工程專業(yè)教學(xué)研究。