以幾何直觀視角指導學生解決問題的實踐研究

作者簡介：潘愛華，浙江省杭州市臨平區育才實驗小學一級教師。

摘要：培養幾何直觀指的是教師引導學生運用圖表描述和分析問題，化抽象為形象，把握問題的本質，明晰思維的路徑。在教學中培養學生的幾何直觀，教師可以從以下三個方面入手：一是設計分層點，豐富策略促發展；二是強化訓練點，多元體悟圖意；三是注重巧妙轉化，發展數學思想。

關鍵詞：幾何直觀；直觀表征；數形結合；解決問題

幾何直觀是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）中提出的一個核心詞。學生借助幾何直觀，有助于建立形與數的聯系，分析問題，探索解決問題的思路。幾何直觀并不局限在幾何領域，而是在整個數學學習過程中都起到了重要的作用。幾何直觀的培養是一個從具體到抽象，由實物到表象的漫長過程，從直觀角度來看，可以分為三個維度：一是實物直觀，指的是實物層面的幾何直觀，學生借助數與物之間的關聯，進行具體、形象的思考，獲得對數的進一步理解。二是符號直觀，指的是在實物直觀的基礎上再進一步抽象形成的直觀。三是圖表直觀，指的是以明確運用圖表為載體的幾何直觀。比如，在遇到比較多的點連成線段時，學生往往容易遺漏，教師在教學時需要引導他們化繁為簡，找到規律來解決此類問題。基于此，筆者開展了以幾何直觀視角指導學生解決問題的實踐研究。

一、設計分層點，豐富策略促發展

（一）模仿解決，理解歸一，夯實基礎

【案例1】嘗試用畫圖的方式整理數學信息并解決問題。

李紅買3本錯題本花了15元，買7本這樣的錯題本需要多少錢？

考慮到學生剛剛學習歸一問題，教師此時可以先模仿例題設計相關的問題，引導學生借助畫圖分析問題，理解歸一問題的數量關系，獲得解決問題的經驗。

（二）延伸比較，求同存異，凸顯本質

【案例2】先解決問題，再比較異同。

1.一本書李華4天看了12頁，照這樣的速度，他10天可以看多少頁？

2.一本書李華4天看了12頁，照這樣的速度，90頁他需要看多少天？

這一層次的練習不僅需要解決問題，更重要的是引導學生通過比較發現異同，認識到：不變的是先求每天看的頁數，變的是第1題求10天看的頁數，應該用乘法解決；第二題求90頁看了幾天，應該用除法解決。這樣，教師可以幫助學生建立含有歸一數量關系問題的模型，從而幫助學生掌握正確的解決問題的方法。

（三）拓展提升，豐富策略，促進發展

【案例3】你能用不同的方法解決下面這些問題嗎？請試一試。

如圖1，如果陰影部分表示20，那么長方形表示多少？

如表1，王叔叔每天生產的零件個數相同，那么，他8天生產多少零件？

以數形結合的方式呈現含有歸一數量關系的問題對學生來說是有挑戰性的，他們先要讀懂圖意，再根據圖意分析、理解數量關系，最后用不同的方法解決問題，體現策略的多樣化。這樣分層化的練習，使不同層次學生的思維都得到發展。

二、強化訓練點，多元體悟圖意

運用畫圖策略解題時，需要教師采用多種方式精心組織學生訓練，引導學生置身于具體的學習素材中，通過多種形式體悟圖意，逐步養成“心中有圖、見題想圖”的思維習慣。

（一）結構化圖式

1.一題結構多圖

教師可以引導學生把一個問題用多個圖來表征，找出相同點，進行深入思考，在此過程中發現本質特征。教學中常用的示意圖有點子圖、積木圖小立方體圖、小棒圖、方格圖、計數器圖、算盤圖、靶子圖、人民幣圖，等等。

【案例4】 “千以內數的認識”教學片段

請你用不同的圖來表示235。

討論：對比這幾種方法，說一說它們之間的聯系。

以上5種圖，雖然種類不一樣，但是表示的數都是235。教師通過不同的圖讓學生體驗到235是由2個百、3個十和5個一組成的這一本質特征，清晰地了解了計數單位一、十、百……的優點；幫助學生將計數單位與具體的形狀聯系起來，使學生在頭腦中形成數的概念，也促進了數學活動經驗的提升，為后續學習大數積累經驗。

2.多題結構一圖

教師可以對數量關系相同的問題進行結構化，引導學生把同一類問題整合到一幅圖中加以思考，理解這類問題的數量關系，找到解決方法。

【案例5】“倍”教學片段

一本筆記本6元，4本筆記本多少元？一個小組8人，4個小組多少人？文具盒25元，書包的價格是文具盒的4倍。書包的價格是多少元？4個9是多少？請用圖表示以上問題。

學生畫出各種各樣含有4倍關系的圖，通過比較發現，這四個問題可以用同一幅圖來表示。“不論數據的大小和線段的長短，只要兩個量具有4倍關系”這一本質特征，為學生構建了倍數關系的直觀模型。

（二）分層化圖式

學生解決問題是一個主動的、復雜的認識過程，也是從具體到抽象的過程。為此，在畫圖過程中，教師要發揮主導作用，引導學生把信息分層圖示化，厘清數量關系，促進問題解決，生成高階思維。

【案例6】“乘法的初步認識”教學片段

用圖表示3 × 5，學生作品如下。

方法1：○○○ ○○○ ○○○ ○○○

○○○ 5個3

方法2：○○○○○ ○○○○○

○○○○○ 3個5

方法3：○○○○○

○○○○○? →? 橫著看表示 3個5

○○○○○? ↓? ?豎著看表示 5個3

方法4：? ? <E：＼2023田田＼1-23＼遼寧教育·教研版202401＼LJ24-1-8.psd>[3][3][5][b][a]

這4個方法都能表示3 × 5，但方法3能把乘法的兩種意義在同一幅圖中表達出來；方法4借助長方形圖表示，將數與形完美結合，為后續學習長方形面積做好了鋪墊，思維層次更高。

（三）系統化圖式

在問題解決中，針對例題，教師可以設計一些開放題，讓學生通過歸類、整理，用系統化的圖示表征出來，以便于使知識變得系統化。

【案例7】“集合”教學片段

三年級（1）班如果有4人喜歡跳遠，6人喜歡跑步，那么喜歡跳遠和跑步的同學一共可能有多少人？先畫圖，再列式計算。學生通過畫圖整理發現有5種可能。

[○○○○][○○○○○○]

4 + 6 = 10（人）

[○○○][○○○○○] [○]

4 + 6 - 1 = 9（人）

[○○][○○○○] [○○]

4 + 6 - 2 = 8（人）

[○][○○○] [○○○]

4 + 6 - 3 = 7（人）

[○○] [○○○○]

4 + 6 - 4 = 6（人）

在畫集合圖的過程中，學生進一步理解了中間重疊部分是兩部分共有的，其他部分是獨有的。此題通過逆向思維，讓學生根據所給的數據，推測出各種可能，在一道題中解決了并集、交集等多種情況，理解了包含、不包含之間的關系，幫助學生對集合的認識提高了一個層次，提升了學生的系統化思維。

三、注重巧妙轉化，發展數學思想

幾何直觀有助于將抽象的數學對象直觀化、可視化，有助于培養學生的數學直觀領悟能力。在教學中，教師需要注重數與形的巧妙轉化，尋找構建數學問題的直觀模型，發展學生的數學思想。

（一）圖象與概念對應，發展推理思想

推理是數學的一種基本思想，也是數學直觀的精髓。幾何直觀的教學，不僅只是用圖表直觀表征數學知識，更重要的是尋找圖象與概念之間的對應關系，鼓勵學生主動嘗試分析、想象、推理、驗證，進而洞察數學對象的本質特征，獲得數學結論。

【案例8】“商不變的性質”教學片段

1.以情境激發興趣

創設情境：老師把4個草莓平均分給2個小朋友，每個小朋友分幾個？老師把40個草莓平均分給20個小朋友，每個小朋友分幾個？老師把400個草莓平均分給200個小朋友，每個小朋友分幾個？

教師先請學生列式計算，再觀察發現了什么。學生發現，被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數，商不變。

2.在坐標圖上找算式

文具店有一種彩帶的銷售情況如下頁圖2所示。

圖上的每個點表示什么意思？請你找到商不變的算式寫下來，至少寫三個。比較三組算式，發現商不變的規律。連接圖中的點，你發現了什么？

在教學中，教師在分草莓之后，先引導學生初步認識商不變的性質。接著，教師借助直觀圖，引導 學生進一步認識商不變的性質。然后，教師引導學生觀察坐標圖中的點，尋找商不變的算式，從而構建了商與點的對應關系。最后，學生將表示商的點連接起來，發現了商不變性質的圖象。學生在建立圖象與概念的對應關系時，經歷了觀察、比較與推理，發展了推理的基本數學思想。

（二）巧妙運用，深化模型思想

在數學教學中，當學生遇到學習困難時，教師需要引導學生往前探一探，轉化成以前學過的知識，讓他們由淺入深，在自主探究、合作交流中發現數學規律，初步形成模型觀念，提高解決問題的能力。

【案例9】 “乘法分配律”教學片段

“乘法分配律”一直是教學中的難點，筆者在執教時，引領學生往前探一探，回憶以前學過的長方形周長的計算方法，引導學生用小棒擺一擺，說一說。學生根據長方形周長的計算方法，小棒的擺放情況如圖3。

學生感悟到擺小棒的方法，即“分配”的過程。

1.找一找，之前遇到的乘法分配律

教師引導學生先回顧一年級學習的減法口算，二年級學習的乘法口訣，三年級學習的乘法口算，四年級學習的行程問題，觀察并發現乘法分配律。

2.算一算，你發現了什么

C級題：學校花壇的左邊擺了3行月季花，每行有6盆，右邊擺了3行菊花，每行有4盆，一共擺放了多少盆花？

先畫圖再計算。

○○○○○○ ○○○○

○○○○○○ ○○○○

○○○○○○ ○○○○

B級題：一塊長方形菜地，長25米，寬8米，現在新開墾后菜地的寬延長2米，長不變，開墾后的新菜地面積有多大？

[8 m][2 m][25 m]

A級題：李大爺家有一塊菜地，這塊菜地的面積有多少平方米？

[9 m][19 m][21 m][9 m]

在教學中，教師引導學生借助小棒圖、點子圖、珠子圖、長方形周長與面積圖，發現兩種方法的計算結果相等，幫助學生直觀地建立起乘法分配的數學模型（a + b） × c = a × c + b × c。當學生以后遇到沒學過的題目時，就會想到用乘法分配律去思考。

總之，用幾何直觀的理念指導數學教學，不僅能讓學生獲得畫圖解題的方法，更重要的是幫助學生提高用幾何圖形形象地描述和分析問題的能力。教師要讓學生在畫圖的過程中有效經歷自主解決問題的過程，同時直觀理解數學，發展思維能力。

參考文獻：

［1］符衛紅.畫圖：問題解決的金鑰匙［J］.小學教學研究，2010（44）.

［2］孔凡哲，史寧中.關于幾何直觀的含義與表現形式［J］.課程·教材·教法，2012（7）.

（責任編輯：楊強）