一道高考題的探究與推廣

蓋傳敏 宋永清

安徽省碭山中學 (235300)

高考試題往往具有豐富的內涵和外延,數學教師要善于思考、發掘、研究高考試題,這對提高數學思維水平和解題能力都十分有益.筆者通過對2023年新高考卷(Ⅱ)解析幾何試題研究發現,特殊中頗具有一般性,通過深入思考,得到幾個一般性的結論.

1 試題呈現

(1)求C的方程;

(2)記C得左、右頂點分別為A1,A2,過點(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與NA2交于點P,證明:點P在定直線上.

2 試題解析

-1,所以點P在定直線x=-1上.

本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系,計算適中,總體難度不大.在求解完此題之后,引發了筆者的如下思考:

(1)定直線x=-1與點(-4,0)之間有何關系?

(2)命題的逆命題是否成立?

(3)圓錐曲線是否具有統一的類似性質?

3 試題推廣

注：性質2、3、4可類比性質1證明.