工科研究生“矩陣論”課程教學策略研究分析

劉麗波

(吉林化工學院 理學院,吉林 吉林 132022)

研究生是科學研究的重要組成力量,是關乎未來國家事業發展、實現科技強國的中堅力量。習近平總書記在黨的十九大報告中明確提出了新時代我國社會主義教育事業的總方向和根本方針。把“立德樹人”作為教育的一項根本任務,努力培養擔當民族復興大任的時代新人,培養德、智、體、美、勞全面發展的社會主義建設者和接班人[1]。高校作為研究生人才培養的搖籃,一直承擔著培養具有社會主義責任感與價值觀的創新型、實用型專業技術人才的主要責任和使命。

一、“矩陣論”課程開設的目的

矩陣(Matrix)這一概念最早是由數學家Sylvester創立和引入的[2],作為數學的一個重要分支,經過兩個多世紀的發展,矩陣理論在數學學科以及其他科學技術領域,如數值分析、最優化理論、概率統計、運籌學、控制理論、力學、電學、電子信息科學與技術、管理科學與工程等領域都有十分重要的應用,矩陣被認為是最有用的數學工具之一,既適用于應用問題,又適合現代理論數學的抽象結構[3],理工科研究生一般都需要系統地學習“矩陣理論”。“矩陣論”是全面系統地介紹矩陣理論的一門課程,在國內研究生中大規模開設始于20世紀80年代,并逐漸成為我國高校理工科研究生必修的一門重要公共基礎課[4]。其內容包括線性空間與內積空間、線性映射與線性變換、矩陣的Jordan標準型、矩陣分解、矩陣函數、Hermite矩陣、范數、廣義逆矩陣等及其應用,它是本科線性代數課程的拓廣和延伸[5],是研究生部分專業課程的研究基礎,是我校電子信息工程專業研究生的一門重要的專業必修課,是關系到研究生培養質量的核心基礎課程。通過本課程的學習,使學生在已掌握本科階段線性代數知識的基礎上,進一步深化和提高矩陣理論的相關知識。要求學生從理論上掌握矩陣的相關理論,會證明一些簡單的命題和結論,從而培養邏輯思維和創新思維能力。要求掌握一些有關矩陣計算的方法并能應用于實際問題,如各種標準型、矩陣函數等,培養學生的實際應用能力,為今后在相關專業中實際應用打好基礎。

二、“矩陣論”課程教與學中存在的問題

(一) 教師教學方面存在的問題

研究生的教學與本科生的教學有一定的差異性,其以自學為主,但作為公共基礎課的矩陣論教學[4],隨著近年來研究生的不斷擴招,我校電子信息工程專業的研究生數量也逐年遞增,班級面授學生人數近百人,教學呈現出傳統教學的弊病,教學方法和手段不夠靈活,比如教學方法“本科化”,傳統單一,多媒體、互聯網+、智慧課堂等現代化的教學手段和平臺應用不夠,課堂基本上還是沿用“填鴨式”授課方式,教師講、學生聽,由于學時少、任務重,每節課知識內容的信息量非常大,課上留給學生主動思考探索和互相交流的機會較少,缺乏培養學生研究能力的實踐環節,不利于學生創新思維和創新能力的培養。同時主講矩陣論課程教師一般為數學專業教師,授課導向仍是數學教師思維——注重數學理論講解,講概念、講思路、講重點難點,舉例少,特別是與專業應用背景結合例子少,缺少專業特色,理論與實踐結合不強,致使學生興趣不高、應用能力不強。另外,在當前“大思政”格局下,現階段教育的重心已由單純的知識講授轉向能力培養,國家需要德才兼備的具有社會主義核心價值觀和責任感的高質量人才,傳授文化知識與育人應同向同行,而“矩陣論”作為研究生的公共基礎課,具有覆蓋面廣、影響力大的特點,開展課程思政具有獨到的優勢,然而目前教學中教師思政元素挖掘不夠,思政教育開展不充分。

(二) 學生學習方面存在的問題

從學生角度出發,一方面學生對課程認知不足,重視程度不夠,學習態度及方法欠缺,導致學習興趣不高。另一方面,由于課程本身內容抽象難懂,需要學生有良好的數學基礎和堅忍的學習毅力,而部分同學數學基礎薄弱、自我約束能力不高、自我要求較低,故學習上出現“見硬就回”,不能踏實深入學習的現象,應用能力不強。

三、“矩陣論”教學策略研究分析

針對我校“矩陣論”課程目前教與學中存在的問題,下面結合當前的教育方向、培養要求、教學特點等方面對課程教學策略進行研究分析。

(一) 上好第一堂課

任課教師要重視第一堂課。好的開始等于成功的一半。一門新課程,無論對于哪個階段的學生,無疑是好奇和充滿期待的,對于第一堂課,學生更是學習決心和信心滿滿的一堂課,所以教師要抓住學生這一特點,第一堂課盡可能多角度、全方位地向學生介紹這門課程起源、發展、應用以及在培養方案中的地位、大綱、授課計劃以及它與本科課程的銜接、與后續研究生課程的關系等等,讓學生充分了解并認識到該課程的重要性,引起學生的學習興趣、激發學生的學習動力。其中,教師要重點將“矩陣論”課程與“線性代數”課程知識進行具體對比,最好以課件的形式向學生展示,由于“矩陣論”是本科“線性代數”課程的延伸,矩陣論的部分內容將線性代數中的實數域推廣到了復數域,通過對比介紹讓學生具體感知二者的區別與聯系,比如線性方程組的求解問題,給定一個m個方程n個變量的線性方程組

(1)

記A表示系數矩陣,B表示常數向量,X表示未知向量,則線性方程組(1)可表示為AX=B,其中

根據線性代數知識我們知道方程組(1)解的形式:當m=n,且系數矩陣A可逆時,線性方程組(1)的解可表示為X=A-1B,但是如果m=n,且系數矩陣A不可逆時,或者當m≠n時,線性方程組的解又如何表示呢?特別地,在討論矛盾方程AX=B時,如何定義線性方程組的解[6],這就超出了線性代數的研究范圍,進而引出矩陣論中的廣義逆矩陣知識來解決。再比如在線性代數中實數范圍內并非所有的方陣都可以對角化,但矩陣論中任何復數域上的方陣卻都和一個Jordan標準型相似,由于學生對線性代數知識比較熟悉,通過對比,學生就能對“矩陣論”課程的內容有個總體的了解和把握,為今后進一步學習打下基礎。

(二) 精研教學內容

研究生階段矩陣論的學習應該是培養思維方式和應用能力,運用矩陣視角來觀察問題、分析問題、解決問題,從而達到掌握矩陣論方法,提高解決實際問題的能力[4]。因此,任課教師要具有培養學生創新思維和應用能力的意識,在知識講授中注意把握好以下四個方面。

1.把握好矩陣理論方面的講解

根據培養方案要求,我校電子信息工程專業“矩陣論”課程為48學時,由于矩陣論課程知識點繁多,在學時有限的情況下,教師要結合專業需求對教材內容進行適當取舍,教師講課力求通俗易懂,主次分明,結合不同知識點的特點,合理安排講解方法。對于一些與線性代數較為相似的知識點和學生易于接受的內容,教師可以引導學生參與推導證明以培養學生的數學思維方式和邏輯思維能力,比如線性空間中基的坐標、兩組基之間的過渡矩陣、線性變換的特征值和特征向量的求解、線性不變子空間的證明、矩陣酉相似對角矩陣的充要條件等;對一些需要大量數學技巧,教學難度較大的內容,教師可以只講清思路及應用方法,不做具體的推導,比如約當標準型理論、最小多項式理論、維數公式的證明等內容[6];對于一些前后關聯密切的知識內容,教師要引導學生進行歸納總結,比如以畫思維導圖的形式系統地描述前后知識點之間的關系,使繁雜的知識內容在學生腦中呈現直觀化、條理化和清晰化,從而整體把握章節內容,這里以南京航空航天大學戴華編著的《矩陣論》第三章矩陣與Jordan標準型為例,這一章的核心內容是任何復數域上的n階矩陣都和一個Jordan標準型相似,要求學生掌握將矩陣化成Jordan標準型的方法,其中介紹了許多與此相關的概念諸如矩陣的Smith標準型、不變因子、行列式因子、初等因子、Jordan塊等,由于概念多且相關、相似,學生容易產生混淆,而求出這些概念所對應的量是實現將矩陣化成Jordan標準型的必經過程,此時可以思維導圖的形式給出求矩陣A的相似Jordan標準型的兩條思路,如圖1和圖2所示。

圖1 求矩陣A的相似Jordan標準型思路1圖2 求矩陣A的相似Jordan標準型思路2

求矩陣A的相似Jordan標準型的方法以思維導圖形式給出,既把本章重要知識點串聯起來,同時將兩種求解方法進行對比,使得求解過程清晰明了,利于學生掌握。

2.教學內容注重理論與工程應用相結合,滲透創新意識

學生對“矩陣論”課程學習積極性不高,除知識本身抽象難懂之外,學生缺少對所學知識應用的了解也是主要原因。因此,授課教師要注意挖掘知識點的工程背景和精選工程應用案例,使學生盡可能多地了解所學知識與專業之間的關系,比如在介紹矩陣具體應用的時候,可以介紹矩陣在多智能體系統上的應用、也可以以螞蟻金服為例,介紹矩陣在處理復雜信息中的應用;在講授“Jordan標準型”時,可以以線性系統為背景,介紹如何利用系統的Jordan標準型判斷系統的可測性和可控性;講“矩陣多項式”時,以無人機集群系統的空中自組網技術為背景,介紹如何利用隨機有向圖模型采用矩陣多項式來表示一致性控制過程;在介紹“矩陣函數”時,以線性系統為背景,研究控制理論中穩定性、可控性、可觀性等各種不變系統中的特性;講授“矩陣分解”時,以計算機圖像處理為背景,介紹矩陣分解的作用,可以降低問題矩陣的維數,對海量數據進行壓縮,能把大規模復雜問題轉換為小規模簡單問題等等,通過實例的講授,不僅有效地展示了教學理論及成果和實際問題的聯系,更增加了課堂氛圍的生動性,讓同學更好地了解本門課程的實用性[7],鼓勵學生應用創新,激發學生的學習興趣。

3.課堂教學注意開展思政教育

對于研究生教育,課堂教學還應有效開展課程思政,一方面加強思想教育,引領學生形成正確的價值觀與傳授文化知識,二者有機結合、同向同行培養德才兼備的高質量人才已成大勢所趨,另一方面,課堂上思政元素的滲入也是引發學生聽課興趣的有效環節。教師授課過程中要有意識開展思政教學,但要注意“課程思政”不是忽視課程內容孤立的教學環節,而是要充分運用教師智慧設計課程內容滲透思政教育、思政教育助力內容講解的二者緊密融合的整體[8]。要充分挖掘矩陣論課程中“線性變換”“相抵”“范數”“矩陣分解”等概念背后隱藏的辯證哲學道理,要結合課程內容、案例背景、科學名家、時事熱點等潛移默化地開展思政教育,潤物無聲,鼓勵學生夯實專業知識、積極投身基礎研究、不畏挑戰、與時俱進、學好所學、用實所學、創新所學,擔當報國使命。

4.教師積極觀摩和借鑒其他高校先進的教學思路,不斷革新自身教學內容和方法

如廈門大學電子科學與技術學院“矩陣論”課程團隊,以矩陣論在電子科學和集成電路行業的應用為出發點,引導學生認識如何將矩陣論應用于課題研究的分析和設計,通過觀看《沙子變成CPU的旅程》專題課件,帶領同學們了解光刻技術、芯片制造和封裝等等,從而激發學生的專業使命感。我們可以將更多類似的優秀教學方法和案例融入課堂教學,拓寬我校學生的專業視野的同時使其認識到學有所用[9]。

(三) 更新教學方式

1.利用好多媒體授課平臺,做好課件

良好的授課效果應該是現代教育信息技術與傳統教學有機融合,要利用好多媒體教學平臺,比如一些概念、定理及相關結論可以顯示在課件上,但教師要注意學生的反應速度和媒體傳送速度之間的時間差,幻燈片不可播放過快,導致學生聽不懂、跟不上,重要推導步驟還應該在黑板上同步講解,便于學生及時回顧理解。

2.適當開展翻轉課堂,讓學生成為課堂教學的主體

教學中選取部分內容以學生個體為主體或者分組進行課堂講解、展示和討論,使學生變被動接受數學知識為主動探索學習,比如,線性變換的特征值和特征向量,擬開展翻轉課堂,可以提前布置任務給學生,學生從查閱資料、反復推敲到演練的過程中會對線性變換與矩陣的特征值和特征向量從定義到求法到應用產生深刻的理解與認識,從而“溫故而知新”。這種學生主動參與式和學生合作式學習方式更能激發學生學習的積極性,活躍課堂氛圍。

3.搭建“矩陣論”線上教學平臺

超星學習通教學平臺已連續多年在我校本科課程教學中廣泛使用,效果得到全體師生的普遍認可,它是對傳統課堂教學手段的有效補充。故“矩陣論”課程也搭建了學習通教學平臺,通過學習通平臺可以實現章節預習、線上考勤、課堂測驗、問卷調查、主題討論、分組討論、布置作業等環節,從而增強師生互動、提高課堂效率。不同版本的電子教材、教學大綱、授課計劃、教學課件、練習題等上傳至學習通教學資料里供學生課后學習查閱之用,教師選取若干典型內容,錄制課堂教學視頻,上傳到學習通教學資料里,作為線上教學資源提供給學習者或作為交流推廣之用[10]。

4.教學中增設實驗教學環節

“矩陣論”教學中適當嵌入數學軟件,矩陣論課程中雖然有大量理論,但部分內容如矩陣特征值、矩陣分解、矩陣范數等涉及大量的矩陣計算,而人工計算只能算低階矩陣,所以,將 MATLAB、Mathematica等數學軟件融入教學中,增設實驗部分的教學是很有必要的[10],此環節可以讓學生親自動手解決問題,提高學生的應用能力和創新能力。

(四) 完善評價方式

考核對一門課程的建設具有指導性作用,它直接反映了一門課程的教學效果和培養重點[4]。傳統的“本科式”的課程考核方式為“平時成績+期末成績”。而“矩陣論”課程的考核目標是學生掌握一些有關矩陣計算的方法并能應用于實際問題,故“矩陣論”課程的考核方式在“平時成績+期末成績”的基礎上,增加了“應用成績”。平時成績一部分是學生學習通里各項線上活動的積分,另一部分重點是對學生參與翻轉課堂、小組討論等線下活動的積分。期末成績則是學生期末試卷的成績,重點考核內容是書上知識點理論。應用成績是課程中后期或者是結課后,教師設計若干應用問題題目,根據問題難易程度,學生獨立完成或者可以將學生3～5人一組進行分組共同完成,經過試行,該評價方式考核結果更全面、更客觀,更能充分調動學生的學習積極性,效果良好。

四、結束語

“矩陣論”作為高校理工科研究生的一門重要公共基礎課,是研究生培養質量的核心基礎課程,承擔著傳授知識與立德樹人并重的任務。隨著研究生教育改革的不斷深入,如何將“矩陣論”課程的教學與專業更有效結合,如何培養研究生將矩陣理論方法應用于學科專業研究,如何培養具有社會主義核心價值觀的高質量專業人才,是高等院校每一位矩陣論任課教師需要認真思考的問題,只有當豐富的教學內容遇上靈活的教學方法,課堂氛圍熱了起來,同學們的思路活了起來,課程思政實了起來,課程教學目標才能得以實現。