HPM視域下數學史滲透措施的研究

［ 摘 要 ］文章以“正切三角函數”的教學為例，具體從“創設情境，揭露主題”“活動探究，建構新知”“適當引導，完善概念”“鞏固概念，應用實踐”“歸納總結，拓展提升”等方面談談如何將數學史有效地滲透到課堂教學中，實現育人的目的.

［ 關鍵詞 ］HPM；數學史；正切三角函數

HPM理念致力于將數學史與數學教育緊密結合，旨在通過數學史的融入來提升數學教育的質量，并促進學生數學核心素養的發展.銳角三角函數作為初中數學教學的關鍵內容，每個三角函數概念背后都蘊含著豐富的歷史淵源和形成過程中的曲折.本文以“正切三角函數”的教學為例，詳細探討如何在教學的各個環節中貫徹HPM理念，以更深入地融入數學文化，并促進學生人格品質的培養.

教學分析

結合教學內容特點與學生實際情況，將銳角三角函數的教學安排成三課時，本節課著重引導學生學習“正切三角函數”的概念.正切最早出現在天文學家的“影長”中.17世紀，數學家認為正切就是圓的切線長度，到19世紀20年代，三角學中出現了“線段比”這一說法.在教學設計時，可將正切的歷史演變融入課堂中，起到激趣啟思的作用.教學過程

1.創設情境，揭露主題為了讓學生理解數學與日常生活的緊密聯系，本節課通過介紹日晷來激發學生的學習興趣，并揭示教學主題.

師：現在幾點了？

學生通過觀察手表和教室掛鐘知道了時間.筆者隨后詢問他們，在沒有鐘表的時代，人們是如何判斷時間的.學生提出了一個利用影子和太陽位置的方法.筆者利用他們對此話題的興趣，引入數學史知識，以增強數學文化教育，并為接下來的內容教學打下基礎.

師：最早人們就是用“立桿測影”的方法來判斷時間的，之后古人又發明了日晷 （見圖1），也就是根據太陽投射到底盤上的刻度來確定當時的時間，晷影長度隨著太陽方向的變化而改變.

師：如圖 2 所示，此為日晷運行簡圖，觀察日晷的日常運行，分別說說光線 AB 、投影 AC 、晷針 BC中的常量與變量.

生 1：常量為：晷針 BC 的長度、晷針BC與底盤的角度（垂直成90°）；變量為：光線AB的長度、投影AC的長度、光線與晷針和底盤的夾角.

師：根據直角三角形的性質與以上分析，說說變量之間具有怎樣的關系.

生 2： ∠C=∠A+∠B=90° ， AB 2 =AC 2 +BC 2 .

師：很好.結合函數概念，光線AB 的長度、晷針 BC 的長度與夾角A，B 之間能否構成函數關系？

學生經探索發現直角三角形的邊與角之間存在穩定的函數關系，筆者于是趁機揭露本節課的研究主題 — —銳角三角函數之正切.

設計意圖 通過提出關于時間的問題，引導學生了解古代的計時工具 — —日晷.介紹日晷的工作原理并展示其簡化圖示，幫助學生探索變量和常量，為引出銳角三角函數做準備.

2.活動探究，建構新知

師：古人利用立桿測影的方法來計算太陽回歸年，即地球繞太陽公轉一周的天數.請觀看相關視頻了解測算方法（用多媒體播放測算太陽回歸年的方法）.現在我將圖3所示的原理圖簡化為平面圖（見圖4），圖中的 BA 表示入射光線， BC 表示桿件的鉛直高度，影長 AC 處于水平面上.請大家從圖4中尋找出變量.

然而，對正切概念的教學尚未結束.筆者帶領學生再次剖析概念中的關鍵點，以深化學生對概念的理解：①角的范圍.因為正切的背景為直角三角形，所以 ∠A 必然為銳角.②角的符號 . ∠A 的正切，可以用tanA 來表示，但類似于∠1，∠ ABC的正切，應當用 tan∠1 ， tan∠ABC來完整表達.③正切的意義.正切實則為一個大于0且無單位的比值.④正切的大小 . 正切 tanA 的大小只與∠A （銳角）的度數有關，與直角三角形的邊長沒有關系.

設計意圖 通過逐條分析概念的關鍵點，不僅可以加牢學生的知識基礎，還能鍛煉學生的數學思維，提升學生的理解能力.

4.鞏固概念，應用實踐

例 2 《周髀算經》 記載了借助日光照射日晷的投影來確定冬至與夏至的方法，具體為：“某地冬至正午時刻的日晷影長是三尺五寸，夏至正午時刻的日晷影長是六寸.因而，日晷損益，寸差千里.”將這段描述改編為如下問題：“晷針長為3，已知冬至日晷影長為 6 2 ，夏至日晷影長為 5，分別求冬至、夏至仰角 α 和 β 的正切值.”

設計意圖 概念形成旨在實際應用.例1簡單，學生套用公式即可解答，發揮熱身效果.例2是改編自《周髀算經》的問題，旨在激發學生的學習興趣，同時提高思維靈活性和應用意識.

5.歸納總結，拓展提升

要求學生回顧本節課學了哪些知識，并說說它的來源與歷史演變過程，談談在本節課的收獲與感悟等；要求學生在課后查閱與日晷相關的更多信息，以拓展知識視野.

設計意圖 引導學生歸納總結課堂內容，回顧正切概念的形成過程，以加強知識基礎和數學文化理解；通過了解正切在生活、天文、歷史中的應用，為實際問題解決打下基礎.此外，搜集關于日晷的信息有助于拓展學生的視野，并豐富他們的數學文化知識.

綜上所述，在 HPM 理念指導下，初中數學教學必須依托于數學史和數學思想方法的支撐 . 實踐證明，采用HPM視角的教學方法，是深入滲透德育教育、激發思維活力、培育愛國情懷以及培養嚴謹研究態度的重要策略，同時也是提升學生數學核心素養的有效途徑.