例析直線與圓位置關系的創新應用

羅興文

［摘 要］數學解題，貴在創新。在數學中，有許多問題都可以通過構造直線與圓的位置關系這個“模型”來解決。文章結合幾則典例，從五個方面逐一進行分析探討，旨在讓學生領會直線與圓的位置關系這個“模型”的應用價值。

［關鍵詞］直線；圓；位置關系；創新

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）29-0026-03

數學解題，貴在創新。創新源于對知識的融會貫通。面對代數題，可以聯想幾何法；面對幾何題，可以嘗試解析法。通過構建熟悉的數學模型，破解看似陌生的數學問題。在學習了解析幾何中的直線與圓的位置關系后，我們發現在數學中有許多問題都可以通過構造直線與圓的位置關系這個“模型”來解決。下面讓我們一起來探究！

一、函數值域或最值問題

對于某些函數的解析式，結合它的幾何意義，往往可以構造直線與圓的位置關系這一“模型”，并通過數形結合加以求解。

點評：本例考查直線與圓的位置關系和點到直線的距離公式的靈活應用，考查數形結合思想。

二、方程有解問題

方程與曲線密不可分，當一個方程看成兩條曲線時，它們的交點的橫坐標就是方程的根。因此，對于某些方程問題，我們可以將其轉化為直線與圓的位置關系問題，并利用解析幾何的方法加以解決。

∵方程組有解，∴方程組可看作直線[a+b=2-c]與[a2+b2=2-c2]有交點，

點評：本例的兩小個題都體現了直線與圓的位置關系的創新應用和數形結合思想的重要性。

三、不等式求參問題

與方程問題相類似，對于求含參數的不等式的解的問題，我們也可根據不等式的形式將問題轉化為熟悉的函數圖象的位置關系問題，并結合動態討論求出參數滿足的要求。

解析：（1）由題意可得[4-x2≥0]，得[-2≤x≤2]，

表示上半圓[C]上任意一點到直線[l]的距離小于或等于[3]，且直線[l：kx-y-3=0]過定點（0，-3），如圖3所示，設圓心（原點[O]）到直線[l]的距離為[d]，由于上半圓[C]上的點到直線[l]的最大距

四、三角函數最值或范圍問題

［例4］（1）已知[cos（α+β）=cosα+cosβ]，則[cosα]的最大值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ；

解析：（1）[cos（α+β）=cosα+cosβ?cosαcosβ-sinαsinβ-cosα-cosβ=0]，變形得[cosβ（cosα-1）-sinαsinβ-cosα=0]，設[P（cosβ，sinβ）]，直線[l：（cosα-1）x-ysinα-cosα=0]，

五、條件等式下的最值或范圍問題

雙元等式條件下的最值或范圍問題，是考試?？碱}型。在已知的等式與目標函數中，通常一個為一次型，一個為二次型，或經過換元后符合這個特征，這時我們不妨嘗試應用直線與圓的位置關系這一“模型”加以解決。

［例5］（1）已知實數a、b滿足[a2+b2+1=2a+2b]，則（[3a+4b-1]）2的最小值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ?；

要使直線與圓有公共點，[x∈4，20]。綜上，[x∈4，20?0]，故[x]的最大值為20。

數學能力的培養離不開數學知識的創新應用。通過以上幾類問題的探究，我們不僅領略了直線與圓的位置關系解題模型的“風采”，還感受到了數學的邏輯之美、和諧之美與創新之美。面對錯綜復雜的數學問題，我們只有廣開思路，激發靈感，善于構造，才能讓創新思維飛得更高更遠！