“點線式”教學：讓數學學習思路更明晰

數學教學要根植于教材內容，立足于學生已有的學習基礎及活動經驗，找準教學的邏輯起點，理清教學思路（思路決定出路），優化教學設計，有效實施教學.眾所周知，知識是能力的基礎，能力是知識的升華，思想方法是其靈魂，問題解決是知識的運用，是獲得能力的途徑.教學過程中，應注重學生對數學本質的認識與理解，注重思想方法的滲透與提煉，以此提高學生認識數學、理解數學、應用數學與體悟數學的能力.本文中以“二次函數圖象和性質”教學為依托，通過教材整合，試圖探索出以“點”為根（以核心知識點為出發點和落腳點向縱橫延伸）、以“線”串“珠”（以線貫穿，形成聯系）的課堂教學新思路，并讓學生從中領悟“明晰學習思路”的重要作用與價值.下面以“二次函數圖象與系數a，b，c的關系”教學為例，談談點線式教學法的探索與思考.

1 “點線式教學法”的內涵解讀

這里的“點”是數學教學中的知識點，也是引出問題的切入點，展開問題的源點，通過點的變化與延伸，讓學生自主發現問題，提出問題，在活動中將知識點串成線，構造成線狀、線性的問題鏈.其中知識點的發展和變化為教學中的明線，數學思想方法的提煉為暗線，這里的“線”就是知識線、方法線、思想線.按照這樣的線索，將分散的、孤立的知識，通過“點”的延伸變化，重新整合，讓學生對知識的認識豐實、有序、成型.這里的“線”指的是知識體系、數學方法系列、數學思想系統及能力發展架構.

“點線式教學法”倡導“知識系統化，系統能力化”“知識問題化，問題線性化”.教師圍繞知識點設計問題，學生圍繞知識點回答問題、解決問題；教師沿線性螺旋上升式展開教學，學生沿螺旋上升式建構知識體系，形成數學能力.

“點線式教學法”基本模式如圖1所示：

二次函數y=ax2+bx+c中的系數a，b，c的符號影響著拋物線的形狀與位置，本課例圍繞此知識點展開，通過整合教材（教材中沒有現成內容），理清思路，雙向探究，經歷由數到形、再由形到數的學習過程，以“點”為根，不斷生長“知識樹”，并從中自然提煉出“數形結合思想”，讓學生再次體會此思想方法的應用魅力.

2 “點線式教學法”的教學原則

（1）主動學習原則

學習應該是積極主動的，不能只是被動式的，不經過自己的腦子思考就很難學到新東西，就是說學東西的最好途徑是親自去發現它.“點線延伸，知識重構”課堂教學就是有序地提供了情境，讓學生提出問題，并自行解決問題，方法讓學生總結，結論讓學生提煉，讓學生主動學習，教師只起助推的作用.

（2）最佳動機原則

“點線式教學法”能提供一個令學生感興趣的情境，可以是一個圖形，也可以是一個問題.在教學中，“點線式教學法”課堂教學就是盡力促使學生形成最佳學習動機，使學生保持旺盛的學習勁頭，積極自覺地投入到數學學習活動中去.

（3）循序漸進原則

波利亞將學習過程分為三個階段：（1）探索階段；（2）形式化階段；（3）同化階段.“點線面教學法”課堂教學就是通過創設情境，促使學生自主提出問題，主動探索，通過一個個問題的解決，形成解題方法；引導學生經歷對比、類比、化歸等過程，轉化為自身的體驗及收獲.

（4）系統聯系性原則

數學知識并非雜亂無章地堆積在一起，而是按一定的結構、層次相互聯系、相互制約.數學“情境—問題”教學的基本模式強調四個環節密切聯系，它們相互依存、相互制約，構成了“情境—問題（橫向、縱向與綜合）—解決—應用—情境—提問—解決—應用……”這樣一個有機相聯，首尾貫通，不斷延伸、開放、動態的教學系統.在課堂教學中既可以從某個環節切入，也可以在適當的環節結束，從而發揮其系統功能，獲得整體的綜合效果.

3 “點線式”教學實踐與分析

“點線式教學法”課堂教學設計是在深入解讀課本、尊重學生差異、了解學生學習特點及年齡特征等基礎上，精心設計數學學習問題和教學過程.因“點”循導，沿“線”展開；每節課串聯就是一條線，學一法、會一類、悟一片，理解問題、思考問題、提出問題；再通過學生感悟及教師點撥，促進知識的生成和數學思想方法的提煉，注重發揮學生主體作用，促進學生知識整體的形成，養成良好的學習品質和學習習慣，在師生互動中自覺或不自覺形成學習策略，促進自信.

3.1 教學活動設計

環節1：知識回顧——由“數”想“形”

設置如下兩個問題：（1）二次函數的定義是什么？（2）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸與頂點坐標公式是什么？以此讓學生回憶學習過的知識，由數產生聯想，在頭腦中形成拋物線圖形，從而實現“眼中有數，心中有形”的“點線模式”.

環節2：任務展示——“點”“線”著手

（1）“點”的知識：①由a，b，c及Δ的符號，確定拋物線在坐標系中的大致位置；②由拋物線在坐標系中的位置，確定a，b，c等字母或有關式子的符號.

（2）“線”的聯系：①“數”與“形”之間的聯系；②二次函數圖象與其他函數圖象間的聯系.

環節3：探索歸納——“數”“形”轉換

師生共同探究拋物線的位置與系數a，b，c及Δ的關系（如圖2）.先由圖象得出系數符號；再由符號得出圖象大致位置；然后總結歸納：

（1）a的符號決定拋物線的開口方向；（2）a，b決定拋物線對稱軸的位置；（3）c決定拋物線與y軸交點（0，c）的位置；（4）b2-4ac的符號決定拋物線與x軸交點的個數.

環節4：學以致用

（1）由“形”看“數”

拋物線y=ax2+bx+c如圖3所示，試確定各圖對應的a，b，c及Δ的符號.

（2）由“數”得“形”

若agt;0，bgt;0，cgt;0，請你畫出y=ax2+bx+c的大致圖象，并寫出圖象與坐標軸的交點個數.（圖象如圖4.）

（3）“數”“形”相依

如圖5，在同一平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+（a+c）x+c與一次函數y=ax+c的大致圖象可能是（）.

環節5：小結與歸納

從知識、方法、思想以及學習思路方面加以歸納（略）.

3.2 教學活動設計探析

本課教學活動設計遵循如下“點線式”思路：（1）“數形關系”的感知與提出——引起學生關注，養成勤于觀察、思考和提出問題的習慣；（2）“點”的知識與“線”的聯系的提煉；（3）“數形關系”的探究——通過由“數”到“形”，再從“形”得“數”兩個緯度，進行探究活動，培養學生探究精神及從多角度、多方向分析問題、發現問題、解決問題的能力；（4）“數形”思想的歸納提煉——培養學生歸納能力，從中進一步體會知識的生成、規律的發現、數學思想的形成等歷程，感悟學習的樂趣；（5）“數形結合”問題再現——呈現知識的內化過程，鞏固強化訓練，形成數學方法；（6）“數形結合思想”的應用與提升——凸顯數學本質，突出數學思想；（7）“數形結合”方法延伸與回味——體現知識升華，展示數學魅力，體現數學發展.

4 “點線式教學法”的教學思考

“好課堂”是始于有形、終于無形.我們依托課堂情境，從學生的實際生活出發，構建出豐富多彩的“點線式”課堂教學，突出學生主體，注重學生的體驗和參與度，引導學生自主探究學習，真正地喚醒學生的靈魂.那么如何體現這一點呢？“點線式”的教學以“五提”加以體現，“五提”即提供情境、提出問題、提取方法、提煉思想、提升能力.

（1）提供情境.教師基于教學內容、數學思想方法、學情等設計數學場景.這個數學場景是以“點”為根、“線式”生長的，充滿生機、富于變化的；由點少到點多，由單一到綜合，由簡單到復雜，由一般到特殊，由集中到發散等.

（2）提出問題.師生設計適合情境的數學問題.有思考才能有問題，有思考就會提出問題，學生不善于提問，其實是缺乏思考，所以教師需要創設“點線式問題”，關注問題間的聯系.要經常鼓勵學生發現問題、提出問題，并敢于表達自己的想法，激發學生解決問題的熱情，同時讓學生感受到主動提問的必要性和重要性.

（3）提取方法.在知識歸納、知識應用、一題多解、多題一解的學習中，會發現不同的問題所涉及的方法相同或相似.從知識的重構與問題的拓展中提取、總結出這些“線性”問題的通解通法，有利于學生思維的自然生長，同時實現了探究一個知識，掌握一種辦法，解決一類問題，即解一題，學一法，通一類，悟一片.

（4）提煉思想.數學思想是數學教學的核心，是數學學習的價值所在.學生要理解學習過程中涉及到的數學思想，領會發現問題、思考問題進而解決問題的基本途徑.問題由淺入深，注意數學知識的縱橫聯系，深入淺出，在分析問題和解決問題的過程中抽象出數學模型并加以歸納概括，提煉數學思想，揭示數學本真.

（5）提升能力.領會了數學思想，就可以識別數學模型.對數學模型的識別不可能“一眼望穿”，要沿著“識別—建構—再識別—再建構”的路徑發展下去，提高學生數學能力.教師通過讓學生自主探究、合作學習，有計劃、有針對性地培養學生問題意識和思考習慣，促進學生各方面能力的提升.

“點線式教學法”下的課堂教學主要是針對某一教學內容、某一概念、某一問題或某一專題的細致講解與分析.對學生來說，對某一知識點內容的掌握，猶如一顆顆珍珠般的“點”狀的學習與理解.因此，選擇一個適當的切入點，引發學生的思考，學會從不同的角度、不同的板塊來分析，從而使一個個“點”狀知識串成串、連成線，由線的積累形成面，再由面的積累形成體，從而重新建構成一個完整的知識體系，讓學生的數學學習思路更明晰.在一節課中通過經歷提出問題、分析問題、解決問題，學生看到的不再是一個個孤立的點，而是由這些點串成的問題串，形成知識線條，并從中提煉出數學方法、思想，形成一個豐富多彩、充滿活力的知識系統.