口訣法巧畫單軸晶體的雙折射光線

祝 昆，劉 諺，翟 影，楊真艷

（六盤水師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院 貴州 六盤水 553000）

口訣可以讓初學(xué)者易學(xué)、易記、易懂，起到了事半功倍的效果，口訣法堪稱一種優(yōu)良的教學(xué)方法[1-4]。在光學(xué)課程中，利用惠更斯原理畫出單軸晶體的雙折射光線，由于涉及概念多、模型較抽象、輔助線多，造成初學(xué)者不易掌握而成為教學(xué)難點(diǎn)。而單軸晶體雙折射示意圖對(duì)于學(xué)生深入理解雙折射現(xiàn)象，提升物理抽象思維能力，進(jìn)一步學(xué)習(xí)晶體光學(xué)打下扎實(shí)基礎(chǔ)具有十分重要的作用。因此，我們根據(jù)惠更斯原理作圖的方法和步驟，總結(jié)出了一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)用的“NAETO”作圖口訣法。該方法不僅方便記憶，易操作，而且能讓初學(xué)者較快理解抽象概念，掌握正確的畫法，對(duì)于突破單軸晶體雙折射畫法難點(diǎn)具有十分重要的幫助，是一個(gè)值得在教學(xué)中推廣的方法。

1 惠更斯原理對(duì)單軸雙折射晶體中波面的描述

當(dāng)一束光通過(guò)單軸晶體會(huì)被分成兩束光叫作雙折射現(xiàn)象。其中一束光線遵循斯涅爾定律，我們稱它為尋常光，即o 光，另一束不遵循斯涅爾定律，我們稱為非常光，即e光；產(chǎn)生的原因是光在晶體內(nèi)部折射程度不同，呈現(xiàn)光學(xué)各向異性[5]。這種各向異性是由于光在晶體內(nèi)部受到內(nèi)部原子結(jié)構(gòu)的影響導(dǎo)致光在晶體內(nèi)部各方向上的傳播速度不一致，從而影響偏折程度（折射率）的不同。惠更斯原理用子波球形包絡(luò)面描述了光在空間的傳播特性，在晶體內(nèi)部用旋轉(zhuǎn)橢球包絡(luò)面解釋了雙折射現(xiàn)象。

1.1 單軸晶體中o 光和e 光的波面

單軸晶體分為正晶體和負(fù)晶體兩類。負(fù)晶體（如冰洲石）e 光的光速Ve大于o 光的光速，即Ve>Vo，o 光的球形波面被e 光的波面旋轉(zhuǎn)橢球面所包圍。如圖1a 表示了單軸晶體內(nèi)部A 點(diǎn)發(fā)出的子波，圓形曲線表示o 光的包絡(luò)面，橢圓曲線表示e 光的包絡(luò)面。黑圓點(diǎn)表示o 光的振動(dòng)方向垂直于主截面，短平行線段表示e 光的振動(dòng)方向平行于主截面；可以看出e 光的主平面與主截面平行，o 光的主平面與主截面垂直；光軸通過(guò)兩個(gè)包絡(luò)面的切點(diǎn)方向，因此沿光軸方向傳播的光速不發(fā)生雙折射現(xiàn)象。圖1b-e 分別為光軸斜交、平行、垂直于過(guò)A 點(diǎn)的界面ZZ’的圖像。其中，c、d 圖分別為光軸平行界面的兩種情況，c 圖為xoy 平面的截圖，界面法線與光軸垂直；d圖為沿z軸方向的截圖，界面法線與光軸平行。

圖1 負(fù)晶體波面圖

正晶體（如冰洲石）o 光的光速Vo大于e 光的光速Ve，即Vo>Ve，e 光的波面旋轉(zhuǎn)橢球面被o 光的球形波面所包圍。如圖2 所示。

圖2 正晶體波面圖

1.2 單軸晶體的惠更斯原理作圖法

在教材中，教師根據(jù)單軸晶體中o光、e光的波面特征，利用惠更斯作圖法確定o 光、e 光的傳播方向。以一束光斜射到光軸與界面斜交單軸負(fù)晶體為例說(shuō)明惠更斯原理作圖步驟[5-7]。如圖3。

圖3 光線斜入射到光軸斜交界面的負(fù)晶體圖

①畫出平行的入射光束，令兩邊緣光線與界面的交點(diǎn)分別為A、B’。

②由先到界面的A 點(diǎn)作另一邊緣入射線的垂線AB，它便是入射線的波面。求出B 到B’的時(shí)間為真空中的光速。

③以A為中心、vt為半徑（v為介質(zhì)中的波速)在折射介質(zhì)內(nèi)作半圓，這就是入射線到達(dá)B’點(diǎn)時(shí)由A 點(diǎn)發(fā)出的次波面；將光軸平移過(guò)A 點(diǎn)交圓形波面于兩點(diǎn)，以A 達(dá)到這兩點(diǎn)的距離為短軸長(zhǎng)度，適當(dāng)選擇大于短軸的長(zhǎng)軸作出橢圓波面。

④通過(guò)B’點(diǎn)作上述半圓和橢圓波面的切線。

⑤從A 分別連接到切點(diǎn)A’o 和A’e 的方向便是o 光和e 光的折射線方向，然后在出射光線上用小黑點(diǎn)和小短線分別標(biāo)識(shí)o 光和e 光的振動(dòng)方向。

綜上所述，惠更斯原理作圖法確定單軸晶體折射光線的過(guò)程主要有：確定法線—平移光軸—畫出包絡(luò)面—作出切線—畫出出（折）射光線等五個(gè)步驟。這五個(gè)步驟中涉及光軸、主截面、主平面、光軸、包絡(luò)面、圓形波面、橢圓波面、負(fù)（正）晶體、光速、o光、e光等光學(xué)概念，其中圓形波面的半徑、橢圓波面的長(zhǎng)短軸半徑的確定以及包絡(luò)面的畫法是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，而不同教材的描述不一致，導(dǎo)致單軸晶體雙折射的出射光線作圖成為不易掌握的教學(xué)難點(diǎn)[8]。

2 口訣作圖法

利用口訣法在學(xué)習(xí)過(guò)程中易記憶、程序化和可操作的特點(diǎn)，對(duì)單軸晶體雙折射作圖進(jìn)行總結(jié)歸納，按照作圖操作步驟取準(zhǔn)線（Normal)，光軸（Axis)，包絡(luò)面（Envelop)，切線（Tangent)，出射光線（Outgoing light)等大寫的英文首寫字母形成“NAETO”口訣，突破了學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

2.1 “NAETO”口訣作圖

仍然以一束光斜射到光軸與界面斜交單軸負(fù)晶體為例對(duì)“NAETO”口訣說(shuō)明如下。

①準(zhǔn)線（Normal)：這里準(zhǔn)線是指參考線。包括過(guò)入射點(diǎn)A 垂直于界面的法線和垂直于平行光束另外一條邊緣光線的垂線，也即是平行光束波面。如圖3 中按照作圖步驟標(biāo)識(shí)為“①”的虛線。首先過(guò)入射點(diǎn)A 畫出垂直于界面ZZ’的法線用來(lái)衡量入射角和折射角，然后作出入射平行光束的波面即畫出過(guò)A 點(diǎn)垂直于平行光束另外一條邊緣光線的垂線交于B 點(diǎn)。從B 到入射點(diǎn)B’的長(zhǎng)度決定了介質(zhì)中圓形波面的半徑，一般應(yīng)大于圓形波面的半徑。

②光軸（Axis)：光軸指負(fù)（正）晶體的光軸。沿光軸方向傳播的光線不發(fā)生雙折射，如圖3 中標(biāo)識(shí)為“②”的虛線。畫圖時(shí)將光軸平移到入射點(diǎn)A。光軸確定了o 光波面（圓波面）和e 光波面（橢圓波面）相切的位置和o 光的振動(dòng)方向，為畫出波面和o 光的振動(dòng)方向提供依據(jù)。

③包絡(luò)面（Envelop)：包絡(luò)面是指主截面上o光的圓形波面和e 光的橢圓波面。如圖3 中標(biāo)識(shí)“③”。畫圖時(shí)首先要判斷是正晶體還是負(fù)晶體，根據(jù)判斷結(jié)果正確畫出包絡(luò)面；其次要注意兩點(diǎn)：一是圓形包絡(luò)面半徑小于BB’的長(zhǎng)度。表示o 光在介質(zhì)中的傳播速度小于空氣中傳播的速度；橢圓波面的主折射率決定的e 光傳播速度也要小于BB’的長(zhǎng)度。二是圓形波面和橢圓波面的切點(diǎn)在光軸上。畫圖時(shí)可延長(zhǎng)光軸畫出完整的圓形和橢圓形波面，兩個(gè)波面相切于與光軸的交點(diǎn)，擦除界面外的部分——虛線部分，界面內(nèi)的波面實(shí)線部分即為o 光和e 光的包絡(luò)面。

④切線（Tangent)：切線是指的相切于圓形包絡(luò)面和橢圓包絡(luò)面的直線。如圖3 中標(biāo)識(shí)“④”的虛線。畫圖時(shí)過(guò)另一條邊緣入射光線與界面的交點(diǎn)B’分別作相切于圓形包絡(luò)面和橢圓包絡(luò)面。其中，包絡(luò)面上的切點(diǎn)決定了出射光的方向。

⑤出射光線（Outgoing light)：出射光線是指表示o 光和e 光的傳播方向帶箭頭的直線。如圖3 中標(biāo)識(shí)“⑤”的帶箭頭直線。直線上的“●”和“—”表示o 光和e 光的偏振方向，通常o 光偏振方向垂直于光軸，e 光的偏振方向平行于光軸。畫圖時(shí)連接入射點(diǎn)A 和包絡(luò)面的切點(diǎn)分別得到o光和e 光的出射光線，在畫上箭頭用“●”和“—”標(biāo)識(shí)o 光和e 光的偏振方向，完成作圖。

綜上所述，按照口訣的順序“N―A―E―T―O”能夠高效、正確、巧妙地基于惠更斯原理畫出單軸晶體雙折射的出射光線。該方法便于學(xué)習(xí)記憶操作，促進(jìn)知識(shí)點(diǎn)的掌握。

2.2 “口訣”作圖實(shí)例

一般單軸晶體雙折射作圖按照晶體來(lái)分可分為正晶體和負(fù)晶體作圖；按照光束的入射方式來(lái)分可分為正入射和斜入射作圖；按照光軸與界面的位置關(guān)系來(lái)分可分為光軸與界面相交、垂直和平行作圖等幾種情況。下面以正晶體作圖為例說(shuō)明“NAETO”口訣作圖步驟。

例1：一束光斜射入光軸與界面斜交的單軸正晶體，請(qǐng)畫出入射光經(jīng)過(guò)晶體后的出射光線。

如圖4 所示，根據(jù)“NAETO”口訣作圖步驟，過(guò)A 點(diǎn)先畫出兩條準(zhǔn)線(N)—法線和垂直于平行光束另外一條邊緣光線的垂線，圖中標(biāo)識(shí)“①”；將光軸平移到點(diǎn)A(A)，如圖標(biāo)識(shí)“②”；根據(jù)正晶體包絡(luò)面特性畫出包絡(luò)面(E)，注意兩包絡(luò)面相切于與光軸的交點(diǎn)，完成后擦除虛線部分，如圖標(biāo)識(shí)“③”；過(guò)B’點(diǎn)作分別畫包絡(luò)面的切線（T），如圖標(biāo)識(shí)“④”，連接A 點(diǎn)與切點(diǎn)，標(biāo)識(shí)o 光和e 光的偏振方向—o 光與光軸垂直，e 光平行于光軸，如圖標(biāo)識(shí)“⑤”，完成作圖。

圖4 光線斜入射到光軸斜交界面的正晶體圖

例2：一束光斜射進(jìn)入光軸與界面平行并垂直主截面的單軸正晶體，請(qǐng)畫出光經(jīng)過(guò)晶體后的出射光線。

如圖5 所示，根據(jù)“NAETO”口訣作圖步驟，過(guò)A 點(diǎn)先畫出兩條準(zhǔn)線(N)—法線和垂直于平行光束另外一條邊緣光線的垂線，圖中標(biāo)識(shí)“①”；光軸垂直于主截面，如圖標(biāo)識(shí)“②”；這里包絡(luò)面（E）為同心圓，外層為o 光包絡(luò)面，如圖標(biāo)識(shí)“③”；過(guò)B’點(diǎn)作分別畫包絡(luò)面的切線（T），如圖標(biāo)識(shí)“④”；連接A 點(diǎn)與切點(diǎn)，標(biāo)識(shí)o 光和e 光的偏振方向—o 光與光軸垂直（用“—”標(biāo)識(shí)），e光平行于光軸（用“●”標(biāo)識(shí)），如圖標(biāo)識(shí)“⑤”，擦除界面外上端虛線部分表示的包絡(luò)面，完成作圖。

圖5 光線斜入射到光軸垂直于主截面的正晶體圖

例3：一束光正入射進(jìn)入光軸與界面斜交的單軸正晶體，請(qǐng)畫出光經(jīng)過(guò)晶體后的出射光線。

如圖6 所示，在正入射的情況下，兩條光線同時(shí)到達(dá)界面上的A、B 兩點(diǎn)，根據(jù)“NAETO”口訣法作圖步驟，過(guò)A、B 兩點(diǎn)先畫出兩條準(zhǔn)線（N）—過(guò)A 點(diǎn)和B 點(diǎn)的法線，圖中標(biāo)識(shí)“①”；將光軸平移到點(diǎn)A（B），如圖標(biāo)識(shí)“②”；根據(jù)正晶體包絡(luò)面特性分別畫出A、B 兩點(diǎn)發(fā)出次波的包絡(luò)面（E），o 光和e 光包絡(luò)面相切于與光軸的交點(diǎn)，完成后擦除虛線部分，如圖標(biāo)識(shí)“③”；作A 點(diǎn)和B 點(diǎn)發(fā)出包絡(luò)面的共同切線（T），如圖標(biāo)識(shí)“④”；連接A 點(diǎn)與切點(diǎn)和B 點(diǎn)與切點(diǎn)，標(biāo)識(shí)o 光和e 光的偏振方向—o 光與光軸垂直，e 光平行于光軸，如圖標(biāo)識(shí)“⑤”，完成作圖。從圖中可以看出，兩折射光線的傳播方向并沒(méi)有發(fā)生改變，但在正晶體中Vo>Ve，兩者傳播速度并不相同，所以在此情形下，依然發(fā)生了雙折射現(xiàn)象。

圖6 光線正入射到光軸平行界面的正晶體圖

例4：一束光正入射進(jìn)入光軸與界面垂直的單軸正晶體，請(qǐng)畫出光經(jīng)過(guò)晶體后的出射光線。

如圖7 所示，根據(jù)“NAETO”口訣法步驟畫出折射光線o 光和e 光。從圖中可以看出，折射光線的傳播方向并沒(méi)有發(fā)生改變，仍然與界面垂直，即傳播方向沿光軸方向，且o 光和e 光的波面重合，這說(shuō)明o 光和e 光的傳播速度相同Vo=Ve，也就是說(shuō)，并沒(méi)有發(fā)生雙折射現(xiàn)象，符合光軸的定義：沿光軸方向傳播的光線，不發(fā)生雙折射。

圖7 光線正入射到光軸垂直于界面的正晶體圖

3 結(jié)語(yǔ)

采用“NAETO”口訣法解決了單色自然光入射到單軸晶體后發(fā)生雙折射現(xiàn)象產(chǎn)生的o 光和e 光作圖問(wèn)題，并列舉了具有普遍性的幾個(gè)實(shí)例，其他情況同樣可以用此方法巧妙畫出o 光和e 光的傳播方向。該方法不但方便快速畫出單軸晶體雙折射的示意圖，還可以推廣到雙軸晶體作圖，有助于初學(xué)者較快掌握單軸晶體雙折射示意圖正確的畫法，教師可以在教學(xué)中推廣使用。