核心素養(yǎng)下高考中三角函數(shù)考查研究

中山市華僑中學(xué)(528400) 李 楊 吳鈺怡

一、三角函數(shù)的考查要求、地位和作用

三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)模塊之一,是考查學(xué)生綜合素養(yǎng)的重要載體,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂) 》對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí),有如下指引和要求:“可以幫助學(xué)生在用銳角三角函數(shù)刻畫直角三角形中邊角關(guān)系的基礎(chǔ)上,借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念,體會(huì)引入弧度制的必要性;用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性和最大(小)值等性質(zhì);探索和研究三角函數(shù)之間的一些恒等關(guān)系;利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,解決實(shí)際問題.”三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容和重要內(nèi)容之一,歷來在高考數(shù)學(xué)中具有重要的地位和作用.三角函數(shù)不僅是連接幾何與代數(shù)的一座橋梁,還是溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條通道.

高考數(shù)學(xué)對(duì)三角函數(shù)的考查,在考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的基礎(chǔ)上,注重化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法的滲透,注重整體思想的運(yùn)用,注重與其他知識(shí)的綜合.三角函數(shù)知識(shí)具有豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用價(jià)值,在其它學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用,例如地理學(xué)、力學(xué)、電磁學(xué)等.因此,掌握三角函數(shù)的基本知識(shí)、性質(zhì)和應(yīng)用對(duì)于參加高考的學(xué)生來說是非常重要的.

二、2023 年高考全國卷中三角函數(shù)試題的統(tǒng)計(jì)分析

在當(dāng)今的教育環(huán)境中,學(xué)生面臨的主要挑戰(zhàn)之一就是如何在數(shù)學(xué)學(xué)科中提高自己的理解能力與應(yīng)用能力.三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,是解決許多實(shí)際問題的關(guān)鍵工具.近年來,高考對(duì)三角函數(shù)的考查越來越重視.本文將從核心素養(yǎng)的角度出發(fā),深入探討高考中三角函數(shù)的考查重點(diǎn)與方式.筆者選取了2023 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷、2023 年高考新課標(biāo)ⅠⅠ卷、2023 年高考全國甲卷文理科和2023 年高考全國乙卷文理科進(jìn)行分析(后面簡稱為“新課標(biāo)Ⅰ卷、新課標(biāo)ⅠⅠ卷、全國甲卷文科、全國甲卷理科、全國乙卷文科和全國乙卷理科”),三角函數(shù)試題涉及到如下考點(diǎn).

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式、三角恒等變換: 如新課標(biāo)Ⅰ卷的第6 題、第8 題、17 題第(1)問,新課標(biāo)ⅠⅠ卷第7 題,全國甲卷理科第7 題,全國乙卷文科第14 題;

2.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì): 如新課標(biāo)Ⅰ卷的第15 題,新課標(biāo)ⅠⅠ卷第16 題,全國甲卷理科第21 題,全國乙卷理科第6題、第10 題、第12 題,全國乙卷文科第10 題、第11 題;

3.三角函數(shù)的圖像及其平移變換: 如全國甲卷理科第10 題,全國甲卷文科第12 題;

4.三角函數(shù)知識(shí)與函數(shù)、平面向量、數(shù)列、解析幾何、常用邏輯用語等知識(shí)的整合與交匯: 如新課標(biāo)Ⅰ卷的第6 題,全國甲卷理科第7 題、第21 題,全國乙卷理科第10 題、第12題,全國乙卷文科第11 題.

從以上統(tǒng)計(jì)可以發(fā)現(xiàn),三角函數(shù)考查具有以下特征: 一是全國卷中對(duì)三角函數(shù)的考查,分值有5 分、10 分、15 分、19分、22 分這五類,新課標(biāo)Ⅰ卷中出現(xiàn)了一大三小,難度控制在中等以內(nèi);二是對(duì)三角函數(shù)的考查突出基礎(chǔ),體現(xiàn)綜合,對(duì)恒等變形的要求和過去比有所下降,更多結(jié)合圖像,強(qiáng)調(diào)對(duì)公式的靈活運(yùn)用.個(gè)別題目如全國甲卷理科第21 題綜合性強(qiáng),難度較大.

三、高考中三角函數(shù)的考查研究

(一)利用數(shù)形結(jié)合考查

數(shù)形結(jié)合思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想,它通過將抽象的數(shù)學(xué)概念與直觀的圖形結(jié)合起來,幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)問題.在考查三角函數(shù)時(shí),通常會(huì)結(jié)合三角函數(shù)的圖像來進(jìn)行.一方面,在考查正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)時(shí),可以通過數(shù)形結(jié)合的方式,考查學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)、極值點(diǎn)、對(duì)稱性等性質(zhì)的理解,如下面的例1 和例2.另外,在解三角函數(shù)問題時(shí),數(shù)形結(jié)合思想也可以幫助學(xué)生找到解題思路.例如,在求解三角函數(shù)與其他函數(shù)交點(diǎn)相關(guān)問題時(shí),可以通過畫出三角函數(shù)的圖像,根據(jù)圖像找突破口,如下面的例3和例4.因此,在高考數(shù)學(xué)中,利用數(shù)形結(jié)合思想考查三角函數(shù)是非常重要的考點(diǎn)之一.學(xué)生需要掌握三角函數(shù)的圖像和性質(zhì),并能夠靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解決三角函數(shù)問題.

例2(2023 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷15) 已知函數(shù)f(x)=cosωx-1(ω ＞0)在區(qū)間[0,2π]有且僅有3 個(gè)零點(diǎn),則ω的取值范圍是____.

本題考查對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)和圖像的理解,考查對(duì)正弦函數(shù)的周期性、對(duì)稱性和單調(diào)性的掌握,考查三角函數(shù)性質(zhì)的幾何表示與代數(shù)表示間的相互關(guān)系,考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力.方法和過程與例1 類似,思維導(dǎo)圖如下,這里不再詳細(xì)解答.|AB|=→ω →f(x)圖像過點(diǎn)→φ →f(x)解析式→f(π).

例4(2023 年高考全國甲卷10) 已知f(x) 為函數(shù)y=cos(2x+)向左平移個(gè)單位所得函數(shù),則y=f(x)與y=x-的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為().

A.1 B.2 C.3 D.4

解析試題設(shè)問新穎,具有一定的綜合性,將三角函數(shù)的圖像與直線的方程結(jié)合起來,考查學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)形結(jié)合的能力、運(yùn)算與轉(zhuǎn)換的能力,以及考生解決創(chuàng)新性問題的能力.在平面直角坐標(biāo)系中畫出y=f(x)的圖像,以及直線由圖像可知,y=f(x)與直線y=共有3 個(gè)交點(diǎn).故選C.

(二)利用三角公式考查

高考對(duì)三角公式的考查主要包括三角函數(shù)的定義、基本性質(zhì)、誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的圖像等.這些知識(shí)是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ),全國高考出題立足于考生最熟悉的知識(shí)、題干簡單明了,設(shè)計(jì)巧妙,解題思路清晰,解題方法多樣,計(jì)算量適中,貼近中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際.試題注重基礎(chǔ),強(qiáng)調(diào)知識(shí)的靈活運(yùn)用.主要考查在三角恒等變形中,考生識(shí)別、選擇、應(yīng)用三角公式解決問題的能力;考查考生的運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力等關(guān)鍵能力.

例6(2023 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷17) 已知在ΔABC中,A+B=3C,2 sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA;

本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì),考查三角恒等變換的基本公式,考查考生運(yùn)算求解能力.利用半角公式計(jì)算直接可求出結(jié)果,這里不再陳述.

例8(2023 年高考全國乙卷文14)若θ ∈(0,),tanθ=,則sinθ-cosθ=____.

本題考查考生對(duì)三角變換公式掌握程度;考查考生識(shí)別、選擇、應(yīng)用三角公式解決問題的能力;綜合考查考生靈活應(yīng)用所學(xué)三角公式進(jìn)行運(yùn)算的能力.

(三)利用真實(shí)情景考查

高考不僅對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行考查,更注重學(xué)生的應(yīng)用能力.這包括利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題,如測量距離、高度、角度等實(shí)際問題.這種類型的題目通常會(huì)要求學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行建模、計(jì)算和判斷.考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決學(xué)習(xí)和生活中實(shí)際問題的能力,體現(xiàn)出三角函數(shù)的工具性作用.

(四)對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查

利用三角函數(shù)解決一些開放性的問題,如尋找規(guī)律、發(fā)現(xiàn)問題、給出方案等.這些問題可以考查學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力,同時(shí)也鍛煉了學(xué)生的觀察、歸納和總結(jié)能力.三角函數(shù)兼具幾何與代數(shù)的特點(diǎn),其變式是多種多樣的.可以通過多種方式考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),這些考查方式不僅要求學(xué)生掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí),還需要學(xué)生具備探究、建模、計(jì)算、邏輯推理和開放思維等多種能力.

例9(2023 年高考全國乙卷理12)已知⊙O的半徑為1,直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A,直線PB與⊙O交于B,C兩點(diǎn),D為BC的中點(diǎn),若|PO|=則的最大值為().

解析本題解法多樣,不同的選擇體現(xiàn)了考生不同的思維水平.考生可以通過解析幾何的方法把直線與圓的方程聯(lián)立,根據(jù)韋達(dá)定理得出點(diǎn)D坐標(biāo),進(jìn)而利用函數(shù)思想得到最大值;或可以通過平面幾何的方法確定點(diǎn)D的軌跡為圓的一部分,再通過數(shù)形結(jié)合的方法得出最大值.當(dāng)然,考生還可以用兩個(gè)向量的夾角作為自變量,通過向量投影得到答案.也可設(shè)角,結(jié)合幾何圖像,利用數(shù)量積的定義轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解決最值問題.總之,試題對(duì)考生的思維有一定要求,需要考生思維的創(chuàng)新性,強(qiáng)調(diào)多想少算,數(shù)形結(jié)合.該題具有很好地選拔功能.

(五)與其他知識(shí)有機(jī)整合

高考數(shù)學(xué)中,三角函數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合考查是非常常見的.三角函數(shù)與不等式、常用邏輯用語、解析幾何、數(shù)列、函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)都有可能結(jié)合考查.例如,三角函數(shù)與不等式的結(jié)合考查可能涉及到利用三角函數(shù)的性質(zhì)解不等式;解析幾何中,三角函數(shù)可以用于求解一些角度、長度等問題;數(shù)列中,可以通過三角函數(shù)變換來求解一些遞推關(guān)系式;函數(shù)中,可以通過三角函數(shù)來求解一些最值等問題.在備考時(shí),需要全面掌握三角函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用,同時(shí)也要注意與其他知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系和結(jié)合.

1 三角函數(shù)與圓

例10 (2023 年高考新課標(biāo)Ⅰ卷6) 過點(diǎn)(0,-2) 與圓x2+y2-4x-1=0 相切的兩條直線的夾角為α,則sinα=().

本題考查直線與圓的位置關(guān)系、兩點(diǎn)間距離公式、兩條直線夾角的概念和計(jì)算,以及三角函數(shù)的基本關(guān)系.考生可以利用兩條切線與圓的位置關(guān)系并結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式、二倍角公式得到答案.

2 三角函數(shù)與常用邏輯用語

例11(2023 年高考全國甲卷理7)“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的().

A.充分條件但不是必要條件

B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件

D.既不是充分條件也不是必要條件

本題考查了三角函數(shù)中的基本公式sin2x+cos2x=1,以及考生的邏輯推理能力.

3 三角函數(shù)與數(shù)列、集合

例12(2023 年高考全國乙卷理10)已知等差數(shù)列{an}的公差為,集合S={cosan|n ∈N*},若S={a,b},則ab=().

A.-1 B.-C.0 D.

解析本題是集合、數(shù)列、三角函數(shù)的綜合題,對(duì)集合的概念、三角函數(shù)的周期性進(jìn)行了深入的考查.本題可以通過三角函數(shù)的周期性求解,也可以用數(shù)形結(jié)合的方法求解.同時(shí)也考查了考生的分析問題能力與推理能力.

4 三角函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)

例13(2023 年高考全國甲卷理21) 已知f(x)=

(1)若a=8,討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)＜sin 2x恒成立,求a的取值范圍.

本題以三角函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)為背景,構(gòu)造了所要研究的函數(shù).通過對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究,試題全面考查了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,這也是中學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).試題的第(1)問面向全體考生,體現(xiàn)試題的基礎(chǔ)性,利用導(dǎo)數(shù)就能得到函數(shù)的單調(diào)性,考查考生通過導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的能力、計(jì)算與轉(zhuǎn)換的能力,體現(xiàn)函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想在中學(xué)教學(xué)的應(yīng)用.試題的第(2)問體現(xiàn)了試題的選拔性,通過構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而利用單調(diào)性得到所要論證的不等式,考查了劃歸與轉(zhuǎn)化的能力、分類討論的能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,具有較好的選拔功能.

四、結(jié)論與建議

通過對(duì)核心素養(yǎng)下高考中三角函數(shù)考查情況的研究,我們可以得出以下結(jié)論: 三角函數(shù)在高考數(shù)學(xué)中占據(jù)重要地位,與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)緊密相連;高考中對(duì)三角函數(shù)的考查重點(diǎn)主要集中在基礎(chǔ)知識(shí)、解題技巧以及知識(shí)遷移能力等方面;題型設(shè)計(jì)靈活多樣,既可以直接考查基礎(chǔ)知識(shí),也可以通過綜合題的形式來考察學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用能力和解題技巧.針對(duì)以上結(jié)論,我們提出以下建議: 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng),提高學(xué)生在解題過程中的抽象思維、邏輯推理和建模能力;加強(qiáng)對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固和提升,通過多樣化的練習(xí)和題型設(shè)計(jì)來提高學(xué)生的解題技巧和知識(shí)遷移能力;鼓勵(lì)學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)運(yùn)用所學(xué)知識(shí),培養(yǎng)其解決實(shí)際問題的能力和創(chuàng)新思維.

五、展望

隨著教育的不斷發(fā)展,我們期待未來的高考對(duì)三角函數(shù)的考查會(huì)更加科學(xué)、更加全面.我們希望通過這樣的考查方式,能夠更好地評(píng)估學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和核心素養(yǎng),從而為他們的未來發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).同時(shí),我們也希望教師和學(xué)生能更加重視對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)和理解,不僅是為了應(yīng)對(duì)高考,更是為了提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問題的能力.

總的來說,核心素養(yǎng)下高考中三角函數(shù)的考查研究是一項(xiàng)重要的工作.它不僅關(guān)系到學(xué)生的未來發(fā)展,也關(guān)系到我們?nèi)绾卫斫夂透倪M(jìn)教育工作.因此,我們應(yīng)該對(duì)此給予足夠的重視,以期為我們的教育改革做出貢獻(xiàn).