“一言堂”變為“一起議”:集體備課方式的進階思考*
——以“比較二次函數值的大小問題”為例

? 江蘇省南通市海門區東洲國際學校 張浩杰 章禮滿

集體備課作為學校最基本的教研模式與載體,是實現高質量備課的路徑之一．傳統集體備課的主要形式:主備或老教師的“一言堂”,言完即收場.一是缺乏教材解讀過程中的異質交流;二是缺少適切班情、學情的不同教學方案的個性研磨等．如何改變現狀? 可從以下三點入手:一是讓不同層次的教師抱團,把個體備課變為差異性共同體備課,讓教師之間的交流成為一種必然;二是把主備說課變為差異性共同體之間的對話,形成互辯互證、互學互鑒的氛圍; 三是讓教學設計先求同,再求異,后進行同課異構的課堂實踐．如此,“一言堂”變為“一起議”,讓集體備課重新煥發生命力．下面以本校初三數學組研討“比較二次函數值的大小問題”為例,與大家交流分享．

1 前期準備

1.1 研討方向

縱觀南通市近幾年中考涉及的二次函數的考題,發現2016年、2018年、2020年南通卷倒數2題或倒數3題,都設置了二次函數值的大小比較問題.對比三年的同類問題,顯性的是問題的形式在變,隱性的是問題處理的策略不變,但問題解決的過程中,對學生思維品質的要求在逐年提升.

1.2 中考改編題

例1(2016年南通卷第26題改編)平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=x2+2x+m2+2m+2(m為常數),設(a,y1)和(a+2,y2)是該拋物線上兩點,請比較y2-y1與0的大小,并說明理由.

(1)若n<-5,試比較y1與y2的大小;

(2)若B,C兩點在直線x=1的兩側,且y1>y2,求n的取值范圍.

1.3 小組構建與自備要求

將本組教師分為3組(略).各組組員針對以上三題完成如下任務:(1)分析試題結構;(2)根據試題結構自編1～2道同類題;(3)剖析解決此類問題的一般思路;(4)根據此主題完成一份教學設計.

2 研討過程

主持人:各位教師,今天的集體備課主要按照以下流程展開.(1)說試題結構;(2)說自主編題;(3)說試題通法;(4)說課例設計.在以上每一個環節中,各組可以進行相互補充與質疑.

A組:試題的一般結構特征如圖1所示.條件的呈現為點的橫坐標是具體值或參數以及二次函數的解析式系數確定或含參數.問題的提出方向為比較兩點的縱坐標的大小關系或已知兩點縱坐標的大小關系求參數的取值范圍.

圖1

B組:縱觀以上設計的試題,我們組覺得試題結構圖可以更具體一點,歸納如圖2所示.

圖2

C組:我們組認為,以上結構圖應該加一點,若二次函數二次項系數或一次項系數與點的橫坐標都含參,一般為同一參數.

主持人:各組的交流,厘清了此類試題的一般結構特征,請各組說一說自編的同類問題.

各組自編題匯總如下:

(3)已知點A(m,y1),B(m+1,y2)在拋物線y=x2-2x+2上,比較y1,y2的大小關系.

(4)已知點A(m,y1),B(2m+1,y2)在拋物線y=x2-2x+2上,比較y1,y2的大小關系.

(5)已知點A(m,y1),B(2m+1,y2)在拋物線y=x2-2(m-1)x+2上,比較y1,y2的大小關系.

(6)已知點A(m,y1),B(2m+1,y2)在拋物線y=mx2-2mx+2上,比較y1,y2的大小關系.

主持人:請各組交換自編題,分別做一下.做完之后,進一步完善解題策略,并以上述3道南通中考改編題或6道自編題中的一題為例進行說明.

A組:題1解法.

方法1:由題意,得y1=a2+2a+m2+2m+2,y2=(a+2)2+2(a+2)+m2+2m+2.

所以y2-y1=4a+8.

因此,當a=-2,y1=y2;當a>-2,y1y2.

方法2:當(a,y1),(a+2,y2)兩點關于對稱軸對稱時,a=-2,y1=y2;當a>-2,y1y2.

歸納:二次函數值大小比較方法.

(1)數的角度——作差比較.

(2)形的角度——畫簡圖,考慮點的特殊位置(函數值相等時),再分析點的運動變化特征.

C組:我們發現“距離法”對于比較函數值大小更直接.如自編題第1題,因為拋物線開口向下,對稱軸為直線x=1,點離對稱軸越遠函數值越小,所以y1>y2.由此,比較函數值的大小,即比較點到對稱軸的距離,結合函數圖象的開口方向能快速確定函數值的大小關系.

A組:C組的“距離法”,我們組在研討的時候也提到過,但針對點含參或二次函數對稱軸含參問題,學生在分類判斷點相對于對稱軸的位置時可能分辨不清,所以沒有提出來.

C組:這個問題我們也想到了,可從形的角度破解.以題1為例,此題拋物線的對稱軸為直線x=-1,A(a,y1),B(a+2,y2)兩點到對稱軸的距離分別表示為dA=|a+1|,dB=|a+3|,下面比較dA與dB的大小.可以借助于函數圖象直觀比較,如圖3,畫出dA=|a+1|,dB=|a+3|的圖象.由圖可知,當a>-2時,dAdB,則y1>y2.

圖3

A組:數形結合,“距離法”的確很方便.

主持人:如果我們站在學生的立場,以上解法中,哪種策略學生更容易接受?

B組:作差比較法,只需要代入求值,作差與0比較一下大小即可,符合學生的思維習慣.但有時代數式作差對學生運算能力的要求比較高.

C組:我們組認為作差比較法與“距離法”,學生都能接受,因為這兩種方法避免了分類討論,直接、直觀,易上手,出錯率低.

主持人:各位老師,我們知道,對于學生而言,老師講與自己悟的結果是截然相反的.悟的載體是問題鏈,因此教學中,如何設置適切的問題鏈,讓學生思維拾級而上,讓問題解決的路徑自然生成,讓學生在思路的對比、體悟中,提升分析、解決問題的能力,顯得尤為重要.如果圍繞此話題上一節小專題課,你會設置哪些問題讓學生經歷體會、領悟、運用這一潛移默化過程,并使學生的解題思路豁然開朗?

A組:談談引入問題的思考.

問題1已知點A(1,y1),B(2,y2)在拋物線y=-x2-2x+1上,比較y1與y2的大小.(你有哪些方法?)

設計意圖：從最簡單的問題入手,從數或形的角度引導學生利用作法差或“距離法”比較大小.

B組:我們組認為A組設計的容易誘發學生定勢思維,因為點A,B在對稱軸同側,所以自然會想到利用增減性解決問題,不利于學生從不同角度思考解決路徑,因此我們組認為點A,B最好分布在對稱軸兩側.

問題1已知點A(-3,y1),B(2,y2)在拋物線y=-x2-2x+1上,比較y1與y2的大小.(你有哪些方法?)

C組:考慮到前面兩組的思考,我們不妨在拋物線上增加一個點.如,已知A(-3,y1),B(-2,y2),C(2,y3)是拋物線y=-x2-2x+1上的點,比較y1,y2,y3的大小關系.(你有哪些方法?)這樣的話,若學生想不到“距離法”,我們就有追問的空間,如,請比較y1,y3的大小,你是如何比較的?

主持人:剛才各組從不同視角的交流拓展了我們選擇的路徑,哪種問題設計更適合本班的學情,唯有在課堂實踐中才可以看出.哪后續問題如何設置?

B組:后續問題可以圍繞“點的橫坐標含參+二次函數確定”與“點的橫坐標含參+二次函數系數含參”展開.至于其他類型不可能全部在課堂上解決,授之以魚不如授之以漁,可以讓學生課后進一步思考.

問題2已知A(m,y1),B(m+1,y2)是拋物線y=-x2-2x+1上的點,比較y1,y2的大小.

變式1 已知A(m,y1),B(2m+1,y2)是拋物線y=-x2-2x+1上的點,比較y1,y2的大小.

變式2 已知點A(m,y1),B(2m+1,y2)在拋物線y=-x2-2(m-1)x+1上,比較y1,y2的大小.

變式3 已知點A(m,y1),B(2m+1,y2)在拋物線y=mx2-2mx+2上,比較y1,y2的大小.

A組:對于問題2的設計我們組認同,但后面的變式不需要,可以讓學生根據要求,自主編題,談設計思路,進一步體悟問題的觸類旁通.

C組:認同A組觀點,編題可以進一步引導學生認清試題結構,以及變的是什么、不變的又是什么,同時經歷問題解決的方法對比,進而提煉通法.

3 課例形成(簡案)

問題1方案一:已知點A(1,y1),B(2,y2)在拋物線y=-x2-2x+1上,比較y1與y2的大小.(你有哪些方法?)

方案二:已知點A(-3,y1),B(2,y2)在拋物線y=-x2-2x+1上,比較y1與y2的大小.(你有哪些方法?)

方案三:已知A(-3,y1),B(-2,y2),C(2,y3)是拋物線y=-x2-2x+1上的點,比較y1,y2,y3的大小關系.(你有哪些方法?)

問題2方案一:已知A(m,y1),B(m+1,y2)是拋物線y=-x2-2x+1上的點,比較y1,y2的大小.

變式1已知A(m,y1),B(2m+1,y2)是拋物線y=-x2-2x+1上的點,比較y1,y2的大小.

變式2已知點A(m,y1),B(2m+1,y2)在拋物線y=-x2-2(m-1)x+1上,比較y1,y2的大小.

變式3已知點A(m,y1),B(2m+1,y2)在拋物線y=mx2-2mx+2上,比較y1,y2的大小.

方案二:(1)已知A(m,y1),B(m+1,y2)是拋物線y=-x2-2x+1上的點,比較y1,y2的大小

(2)類比問題2自主設計問題,并談談自己的設計意圖.

主持人:通過剛才的交流,我們形成了幾種不同的教學設計方案,大家可以根據班情選擇定案,真正滿足本班學生的需要.

4 實踐反思

4.1 “一起議”,讓集體備課有效、有料

眾多教師“一起議”,在平等、合作、分享的氛圍中,更易產生“一石激起千層浪”的效果．如前面對“距離法”的研討,經歷了提出疑問、思考討論、達成共識的過程.老師們收獲的是思維的寬度與深度,享受的是思路上的恍然大悟.這樣的集體備課有效也有料．

4.2 “一起議”,讓集體備課“以學為本”

集體備課,就是要老師們一起“議”:學什么、如何學、學到什么程度、怎么評等基本問題．集體備課的思維指向應從求同走向求異,以學的尊重、學的進程、學的歷程為中心,讓教師根據自己班級學情選擇適切的教學方案,滿足不同學生的需求,讓學生收獲學的經驗,真正落實“以學為本”理念．

4.3 “一起議”,讓集體備課轉型升級

“一起議”,讓集體備課過程多彩、設計多元、成果多樣．縱觀集體備課的整個流程,把備課、上課、評課的研究形成閉環,促進了集體備課的轉型．這種轉型可以消除主備、老教師的“一言堂”現象,呈現教師之間教學經驗、創新思維、現代教育技術的互補．這種轉型也可以升級為更高的平臺與跳板,實現學校的課堂教學高效、教師成長速效、校本研修實效的三重提升．