計數(shù)原理單元測試卷（B卷）

■河南省長葛市第一高級中學(xué) 張旭要

一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。)

1.將4個6和2個8隨機(jī)排成一行,則2個8不相鄰的情況有( )。

A.480種 B.240種

C.15種 D.10種

2.在某城市中,A,B兩地有如圖1 所示的方格形道路網(wǎng),甲隨機(jī)沿道路網(wǎng)選擇一條最短路徑,從A地出發(fā)去往B地,途經(jīng)C地,則不同的路線有( )。

圖1

A.90 種 B.105 種

C.260種 D.315 種

3.甲、乙、丙、丁4 個學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動,現(xiàn)有A,B,C,D,E這5個研學(xué)基地供選擇,每個學(xué)校只選擇一個基地,則4個學(xué)校中至少有3個學(xué)校所選研學(xué)基地不相同的選擇種數(shù)為( )。

A.420 B.460 C.480 D.520

4.甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照,要求甲必須站在中間兩個位置之一,且乙、丙2人相鄰,則不同的排隊方法共有( )。

A.24種 B.48種

C.72種 D.96種

5.某學(xué)校為增進(jìn)學(xué)生體質(zhì),擬舉辦長跑比賽,該學(xué)校高一年級共有20 個班級,現(xiàn)將22個參賽名額分配給這20 個班級,每班至少1 個參賽名額,則不同的分配方法有( )。

A.210種 B.200種

C.150種 D.100種

6.將甲、乙等5 位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)3 所大學(xué)就讀,則每所大學(xué)至少保送1 人的不同保送方案有( )。

A.240種 B.180種

C.150種 D.540種

7.(3x-2)(x-1)6的展開式中x3的系數(shù)為( )。

A.85 B.5 C.-5 D.-85

8.某學(xué)校準(zhǔn)備開設(shè)4門勞動課程:“蔬菜種植”“綠植修剪”“糕點制作”“電動自行車修理”。開課之前,要安排4男2女共6名教師參加這4 門勞動課程的技術(shù)培訓(xùn),要求每一項培訓(xùn)都要有教師參加,每位教師只能參加其中一門培訓(xùn),其中“蔬菜種植”必須安排2位教師,“電動自行車修理”不安排女教師,“糕點制作”不安排男教師,則不同的安排方法有( )。

A.132種 B.112種

C.96種 D.84種

二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得5 分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。)

9.2023年國外某智庫發(fā)布尖端技術(shù)研究國家競爭力排名,在極超音速和水下無人機(jī)等23個領(lǐng)域中,有19個領(lǐng)域中國處于領(lǐng)先地位。某科技博主從這19個領(lǐng)域中選取了A,B,C,D,E,F這6個領(lǐng)域,準(zhǔn)備在2024年10月1—6日對公眾進(jìn)行介紹,每天隨機(jī)介紹其中一個領(lǐng)域,且每個領(lǐng)域只在其中一天介紹,則( )。

A.A,B在后3 天介紹的方法種數(shù)為144

B.C,D相隔一天介紹的方法種數(shù)為96

C.E不在第一天,F不在最后一天介紹的方法種數(shù)為504

D.A在B,C之前介紹的概率為

10.若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a0+a1+a2+…+an-1+an=126,則下列結(jié)論正確的是( )。

A.n=6

B.a1+a2+a3+…+an-1=119

C.(1+2x)n的展開式中二項式系數(shù)的和為729

D.a1+2a2+3a3+…+nan=321

A.所有項的二項式系數(shù)之和為32

B.所有項的系數(shù)之和為0

C.常數(shù)項為-20

D.系數(shù)最大的項為第3項

12.若一個三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都大,則稱這個數(shù)為“凸數(shù)”。如231、354等都是“凸數(shù)”。若用1,2,3,4,5這5個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),則( )。

A.組成的三位數(shù)的個數(shù)為30

B.在組成的三位數(shù)中,奇數(shù)的個數(shù)為36

C.在組成的三位數(shù)中,“凸數(shù)”的個數(shù)為24

D.在組成的三位數(shù)中,“凸數(shù)”的個數(shù)為20

三、填空題(本大題共4 小題,每小題5分,共20分。)

13.現(xiàn)有5 名同學(xué)從北京、上海、深圳三個路線中選擇一個路線進(jìn)行研學(xué)活動,每個路線至少1人,至多2人,其中甲同學(xué)不選深圳路線,則不同的路線選擇方法共有____種。(用數(shù)字作答)

15.某校高二(1)班要舉辦一場晚會,有2個 歌 唱、2 個 舞 蹈、1 個 小 品、1 個 相 聲 共6個節(jié)目,要求2個歌唱不相鄰演出,且2個舞蹈不相鄰演出,則這6 個節(jié)目共有_____種不同的演出順序。

16.(x2+y+3)6中x4y的系數(shù)為____。(用數(shù)字作答)

四、解答題(本大題共6 小題,共70 分,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項;(2)求展開式中系數(shù)最大的項。

19.(本小題12 分)為弘揚我國古代的“六藝”文化,某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗課程。

(1)若體驗課連續(xù)開設(shè)六周,每周一門,求其中“射”不排在第一周,“數(shù)”不排在最后一周,求所有可能的排法種數(shù);

(2)甲、乙、丙、丁、戊五名教師在教這六門課程,每名教師至少任教一門課程,求其中甲不任教“數(shù)”的課程安排方案種數(shù)。

20.(本小題12分)按下列要求分配6本不同的書,求各有多少種不同的分配方法。

(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;

(2)甲、乙、丙三人中,一人得1 本,一人得2本,一人得3本;

(3)平均分成三份,每份2本;

(4)平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;

(5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;

(6)甲、乙、丙三人中,一人得4 本,另外兩人每人得一本。

21.(本小 題12 分)設(shè)(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*。已知=2a2a4。

(1)求n的值;

(2)若(1+ 3)n=a+b3,其中a,b∈N*,求a2-3b2的值。

22.(本小題12分)現(xiàn)有0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字。

(1)可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)?

(2)在組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中,按從小到大排21 350是第幾個數(shù)字?