一道課本習題的推廣
——兼談Fibonacci 倒數(shù)列

北京師范大學貴陽附屬中學(550081) 李鴻昌

貴州師范大學數(shù)學科學學院(550025) 靳朋

深度探究課本習題對一線教師來說是非常必要的,不僅僅是探究習題的解法,更應該探究其背景、變式與推廣.這樣研究課本習題,可以加深教師對課本的理解,同時也可以促進教師的專業(yè)發(fā)展.

1 課本習題

2019年人教A 版《數(shù)學必修第二冊》第90 頁第10 題如下:

如圖1,已知平面內并列的三個全等的正方形,利用復數(shù)證明∠1+∠2+∠3=

圖1

2 解法探究

證法1利用復數(shù).

證法2利用三角函數(shù).

證法3幾何法.

如圖2 所示,在圖1 上再拼上三個同樣的正方形,這時,ΔBFH′為等腰直角三角形,∠A′H′H為直角,而它恰好可以由題中的三個角拼成,因而三角之和恰為,即∠1+∠2+∠3=

圖2

圖3

3 Fibonacci 倒數(shù)列

3.1 Fibonacci 倒數(shù)列及其遞推公式

3.2 Cassini 恒等式

設fn為Fibonacci 數(shù),則fn+1fn-1-=(-1)n,n≥2.

證明數(shù)學歸納法.當n=2 時,直接驗證,顯然成立.假設Cassini 恒等式對n(n≥2)成立,則

故Cassini 恒等式對n+1 也成立.從而命題得證.

3.3 Fibonacci 倒數(shù)列的一個遞推公式

Fibonacci 倒數(shù)列{xn}滿足下面的遞推公式

4 習題推廣

利用Fibonacci 倒數(shù)列的遞推公式,即式(1),可將習題進行推廣.在式(1)中以2n替代n,得

在式(1)中以2n-1 替代n,得

5 再探究Fibonacci 倒數(shù)列

5.1 關于Fibonacci 倒數(shù)列的一個恒等式

5.2 恒等式的推論

注意到式(7)諸xn均為有理數(shù),于是可得以下推論.

推論1Fibonacci 倒數(shù)列的任意相鄰三項之平方和必為有理數(shù)的平方,即

證明由式(7)可直接得到.

推論2Fibonacci 數(shù)列任意相鄰三項兩兩之積的平方和為平方數(shù).

證明由

于是由式(8)和式(9)得