不要忽略數(shù)學(xué)教科書中的“一帶而過”

劉耀斌 戚洪祥

(鹽城師范學(xué)院 江蘇省鹽城市教育科學(xué)研究院 224002)

數(shù)學(xué)教科書是根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫的、供教學(xué)使用的正式課本,是教師教授和學(xué)生學(xué)習(xí)的基本依據(jù).但在教科書編寫過程中,或是為了給教師留有教學(xué)空間和給學(xué)生留有學(xué)習(xí)空間,或因受學(xué)生當(dāng)前認(rèn)知水平所限而又不得不提及,或因受篇幅限制而又很容易查閱其他資料等各種原因,會出現(xiàn)對有些知識內(nèi)容的“一帶而過”現(xiàn)象.那么,教師和學(xué)生應(yīng)該如何對待教科書中的“一帶而過”呢?筆者以為,教師在鉆研教科書時不可忽略教科書中的“一帶而過”,同樣要讀懂它的來龍去脈,根據(jù)實(shí)際情況,或要求學(xué)生查閱資料自己鉆研,或有選擇地講給學(xué)生聽,或向?qū)W生說清楚原委,應(yīng)盡量發(fā)揮它的教學(xué)價值.本文將從學(xué)生對教科書中“一帶而過”的接受程度,分為三種類型并闡述其教學(xué)處理方法.

1 教師不講,學(xué)生自己能夠弄懂的“一帶而過”

教科書編寫有時受篇幅所限,不能把知識的歷史背景等全部編入書中,往往是一筆帶過;另一方面,這也是給師生留下思考空間.遇到這樣的情況,教師千萬不能像教科書一樣也是“一帶而過”,應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生,把相關(guān)的知識背景揭示出來,這樣不僅解答了學(xué)生的疑問,也拓寬了學(xué)生的知識視野.

例1教科書[1]77在將正整數(shù)指數(shù)冪推廣到有理數(shù)指數(shù)冪以后,沒有進(jìn)一步深入研究有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì),只是以“有了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后,指數(shù)冪的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到有理數(shù)指數(shù).對于有理數(shù)指數(shù)冪,原整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)保持不變,即asat=as+t①,(as)t=ast②,(ab)t=atbt③,其中s,t∈Q,a>0,b>0”一帶而過．

這里,教科書沒有給出為什么性質(zhì)保持不變的推理過程.這可以留給學(xué)生完成,教師可以作業(yè)形式布置給學(xué)生做,學(xué)生如果有困難就給予必要的輔導(dǎo).以驗(yàn)證性質(zhì)①為例,學(xué)生可以進(jìn)行以下推理[2].

圖1

圖3

由于任意角α的終邊在第二象限,于是得到

教科書在編寫時為了促進(jìn)學(xué)生主動探究,也會為學(xué)生留有思考的空間,讓學(xué)生通過自我猜想、探究、操作、發(fā)現(xiàn)等活動感悟獲得知識的過程,達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、創(chuàng)造能力等目的.對此,教科書中的有些知識點(diǎn),常常看似一帶而過,實(shí)際是給學(xué)生留有思考余地.

2 教師講解,學(xué)生能夠聽懂的“一帶而過”

教科書在編寫教學(xué)內(nèi)容時,會遇到一些必須要介紹的繞不過去的知識點(diǎn),但就這一知識點(diǎn)的來龍去脈來說,又不在課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的范圍內(nèi),對于這樣的知識點(diǎn)往往就“一帶而過”.但教師若真的對此“一帶而過”,就難免會在學(xué)生心里留下遺憾.

例3教科書[1]82在“對數(shù)的概念”內(nèi)容中有這樣一段文字:“在科學(xué)技術(shù)中,常常使用以e為底的對數(shù),這樣的對數(shù)稱為自然對數(shù),e=2.718 28…是一個無理數(shù).正數(shù)N的自然對數(shù)logeN一般簡記為lnN.”

教科書沒有介紹e的來歷,也沒有說明為什么把以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),只是一帶而過.從編寫意圖來看,由于e涉及極限問題,這個概念學(xué)生只要知道就可以了.所以在實(shí)際教學(xué)中,不少教師往往一帶而過,如果有學(xué)生追問,他們則回答“以后學(xué)高等數(shù)學(xué)就知道了,暫時可不必追問”.那么,這個問題究竟可不可以跟學(xué)生解釋清楚呢?筆者認(rèn)為,可用如下方式跟學(xué)生解釋,不給學(xué)生留下遺憾.

為什么稱以e為底的對數(shù)為自然對數(shù)呢?下面以一個屬于理想狀態(tài)的本利問題談起[3]:

設(shè)本金為1,而年利率亦為1,那么一年后本利總和為:1+1=2.

從剛剛的計算可以看出,存款的期限愈短,一年后獲得的本利總和愈大.那么,如果能夠做到將存款期縮短到最短,即存入后馬上取出再存,并記為這樣的操作可以瞬時實(shí)現(xiàn),一年后所得的本利的總和可以達(dá)到什么程度呢?一個人能不能因此而變成富翁呢?

上述假設(shè)在現(xiàn)實(shí)的金融世界中是不可能實(shí)現(xiàn)的,因?yàn)榻^沒有一個銀行能采用這樣支付利息的方式.但這種現(xiàn)象恰存在于大自然之中,動、植物的生長是一個連續(xù)的過程,新生的部分立即和本體一起生長,是不斷把“利息”隨時加入到“本金”中去“再生息”的過程,大自然的復(fù)利正好契合上述要求.所以,e是自然規(guī)律的數(shù)量刻畫,而取以e為底的對數(shù)有很多妙用,符合數(shù)學(xué)思維簡潔、方便、實(shí)用及美觀的要求.這些正是稱以e為底的對數(shù)為自然對數(shù)的緣由.

例4教科書[4]在“復(fù)數(shù)的幾何意義”的內(nèi)容中這樣描述:“我們把建立了直角坐標(biāo)系來表示的平面叫作復(fù)平面.復(fù)數(shù)的這種幾何表示也稱為阿甘得圖(Argand diagram).”這里,教科書沒有介紹復(fù)數(shù)的這種幾何表示為什么稱為阿甘得圖.筆者以為,教師千萬不能忽略這里的“一帶而過”,可以引導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)史,使他們了解數(shù)學(xué)家阿甘得在復(fù)數(shù)發(fā)展中的貢獻(xiàn).

上述兩則案例在教科書中雖然被一帶而過,但思維活躍的學(xué)生一定會期待前因后果,教師可以在興趣課程或拓展課程里以科普方式講解,學(xué)生一定很感興趣.值得一說的是,高考固然重要,而把本該使學(xué)生能夠知曉的知識空間讓位給題海,本質(zhì)是數(shù)學(xué)教育價值的一種喪失.

3 無需講解,但教師必須要理解的“一帶而過”

教科書中的有些知識點(diǎn),雖然不一定要求學(xué)生在當(dāng)前學(xué)段學(xué)習(xí),但為了有助于掌握必學(xué)內(nèi)容,常常會以閱讀材料的形式向?qū)W生介紹操作性的結(jié)論,但限于其認(rèn)知水平,不能介紹操作的原因,這些也是“一帶而過”.

例6教科書[1]78在將指數(shù)式ax中的指數(shù)從分?jǐn)?shù)(有理數(shù))推廣到無理數(shù)后指出:“一般地,當(dāng)a>0且x是無理數(shù)時,ax也是一個確定的實(shí)數(shù).有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對無理數(shù)指數(shù)冪同樣適用.”這里的運(yùn)算性質(zhì)是指:asat=as+t①,(as)t=ast②,(ab)t=atbt③,其中s,t∈Q,a>0,b>0.這里將指數(shù)式ax中的指數(shù)從分?jǐn)?shù)(有理數(shù))推廣到無理數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)的適用性也是“一帶而過”.由于涉及到極限理論和指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性,不宜向中學(xué)生講解,只要告知結(jié)果就可以了,但教師在備課時必須了解它的緣由,在理解上切不可“一帶而過”.

an={1,1.4,1.41,1.414,1.414 2,…}.

4 結(jié)語

要想教給學(xué)生“一碗水”,教師就應(yīng)該有“一桶水”,教師只有和學(xué)生形成了這種知識量的差別,才能具有傳道授業(yè)解惑的本領(lǐng).事實(shí)上,教師知道的不一定要全部講給學(xué)生聽,但教師只有知識淵博了,才能登高望遠(yuǎn),才能從整體上、從高觀點(diǎn)視角把握數(shù)學(xué)教科書的內(nèi)容,教學(xué)中才能深入淺出,才能有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法或歷史文化.所以,對于中學(xué)教科書中有些中學(xué)生學(xué)習(xí)能力范圍之外的“一帶而過”,教師研讀教科書時切不可一帶而過.