模型意識視域下小學數學課堂教學實踐與思考

【摘要】《義務教育數學課程標準（2022 年版）》提出核心素養具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同的表現，而“模型意識”是中小學階段新增的核心關鍵詞[1]，凸顯了其在基礎教育中的重要地位。文章嘗試以“鴿巢問題”一課為例，引導學生經歷完整的思考學習過程，通過感悟模型意識、建構模型意識、完善模型意識、應用模型意識，將知識間內在邏輯聯系結構化、可視化地呈現出來，為解答各種同類變型難題提供思路，進而培養學生的模型意識，發展應用意識，提升學科核心素養。

【關鍵詞】數學課堂教學? 鴿巢問題? 模型意識

【中圖分類號】G623.5 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2024）02-0136-03

數學模型是指通過對問題情境進行抽象、概括，運用形式化的語言或符號，直觀表達其中的數學規律，而模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟，是形成模型觀念的經驗基礎。培養模型意識是能夠利用模型解決類似問題的策略及意識，其本質上是對知識、方法的遷移應用。模型意識的培育是使學生深刻體會并了解到數學和客觀世界之間存在著密切聯系的根本途徑，數學學習只有進一步深入到“建?！币饬x上，才是一種真正實際意義上的學習。文章結合人教版六年級下冊“鴿巢問題”一課為例，思考如何組織引導學生的思維活動，建立鴿巢問題模型，應用模型意識，靈活解決各類同型變式題，進而培養學生的邏輯分析能力。

一、精讀情境，鋪墊孕伏，感悟模型意識

孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者?！迸d趣，是學習的強大動力。只有當學生對數學學習感興趣、產生迫切需要的時候，才會產生學習內驅力，積極主動地投入到學習活動中。[2]通過創設合適的特定的情境，能引起學生強烈的興趣，吸引學生的注意力，激發學生學習的積極性。教學的本質不是手把手教會學生知識，而在于喚醒學生的興趣，自主學習。為了讓學生對課堂知識感興趣，教師可以根據學生的年齡及心理特征，結合他們已有的認知經驗，設計各種各樣的、適宜的、有趣的導入情境，以情境導入使學生更早、更快、更愿意進入課堂，激發學習愿望，使他們能夠盡快有效地借助周圍熟悉的事物，進入最佳的學習數學、理解數學的狀態。

在本課教學過程中，教師設計了以下情境來導入新課：請三位學生和教師一起互動玩“老鷹捉小雞”游戲，游戲規則是：三位學生當“小雞”，老師當“老鷹”，只有兩把椅子，規定2秒的時間內，如果每只小雞都能坐在椅子上，這樣老鷹就捉不到他們，算學生們贏；如果沒有椅子坐，就要被老鷹捉到，算教師贏。先讓學生猜一猜誰會贏。創設這個情境，并沒有讓學生馬上得出結論，而是分三個層次引導學生來解讀情境，理解題意。

（一）了解信息，主觀猜測

讓學生閱讀信息，根據游戲規則，結合生活經驗，先猜一猜有可能哪一方會贏，然后說一說：“你是怎么想的？”大部分的學生都是憑借經驗理解，“不管怎么坐，總不可能有人站在那邊不坐等著輸！”所以，大部分學生的猜想都是學生會贏。

（二）游戲互動，認知沖突

通過和教師互動玩游戲，請出三位學生當“小雞”，老師當“老鷹”，給足小雞充足的2秒時間，讓他們先繞著椅子走一圈，然后坐下來，很自然地出現了有兩位動作比較快的“小雞”最先各自坐到了一把椅子上，眼看椅子坐滿了，最后一只“小雞”先是左右觀望，然后急中生智，直接跑上前與其中一只“小雞”擠著各坐一半的位置。這時，全班都笑了。

（三）觀察發現，說理揭謎

教師直接請一位學生來說說：“你為什么笑了？”這位學生回答道：“我們贏了呀！”教師接著問：“那你有什么發現？”學生根據剛才的游戲互動過程解讀分析，得出從最不利的情況考慮，最后這一只“小雞”不可能站著不動等著輸，那么就一定會出現至少有兩只“小雞”得坐在同一把椅子上，“小雞”才能夠贏。在游戲互動的過程中，通過模擬實踐，與學生的直觀經驗“3位同學，椅子2把怎么夠”相沖突。在“猜測—實踐—思考”的過程中逐步理解了“總有”“至少”的含義，借助游戲，立足教學的起點，喚起學生的求知欲，讓課堂教學變得更加有效。采用“讀”游戲引入，引發學生的認知沖突，激發學生的好奇心、求知欲和探究欲。通過游戲，讓學生親身經歷什么是“最不利”。從“最不利”的角度來思考問題，體會到無論最后一位學生往哪坐，總有一把椅子得坐兩人，從而理解了“總有”的意思，為后面利用“假設法”進行證明作鋪墊。

二、動手實踐，化抽為直，建構模型意識

著名心理學家皮亞杰曾經這樣指出：“思維從動作開始，切斷了動作與思維之間的聯系，思維就得不到發展。”由此可見，動手探究不僅為學生提供生動形象的教學情境和感性素材，還能培養學生的自主探究、動手操作能力，學會用實踐探究的方法去解決實際問題，化抽象為直觀。讓學生在活動中體驗，在體驗中發現，在發現中實踐，在實踐中創新。任何知識與技能，要讓學生認同、理解和掌握，都需要通過學生自身的內化來實現。

在本節課中，通過設計小組分工合作：

（1）擺一擺：把4支鉛筆放進3個筆筒里，有哪幾種情況？

（2）記一記：用畫圖、分解數或填表格來正確記錄各種情況。

（3）比一比：橫向對比每一種擺法，你能得出肯定的結論是什么？縱向對比各種擺法，你發現了什么？

（4）把發現的結論記錄下來，小組內交流。

匯報反饋方法：

匯報反饋發現：

橫向對比發現：生1：3個筆筒里一定有一個筆筒里的筆是最多的，有的是4支，有的是3支，有的是2支。生2：一定有一個筆筒里的筆是最少的，是0支筆。（最少的都是0支，研究沒有意義。）縱向對比發現：最多的筆筒里最少可以放2支筆。

請用一句話概括你的結論：3個筆筒里一定有一個筆筒里的筆是最多的，最多的這個筆筒里最少可以放2支筆。

以上列舉的幾種方法其實都是用枚舉法，只是枚舉的形式不一樣而已。其中方法四用數字表示更簡單、直觀，便于比較，讓人看了一目了然。對于這幾種方法，學生匯報完成之后，教師通過追問：“它們的異同點與優缺點是什么？”接著課件演示呈現直觀的操作與記錄方法，根據學生的匯報著重圈出筆最多的筆筒，讓學生嘗試正確表述結論。再接著質疑：“誰能說說最多的這個筆筒里筆最少的情況，該怎么分？”學生根據數形結合，在說的過程中構建最不利情況分法的模型，即假設平均分法，發展學生的邏輯思維。通過學生的動手實踐，親歷分的過程，通過觀察對比，感知結論的生成過程，積累對“鴿巢原理”的活動經驗。這既可有效突破學習的難點，又可直觀地建立“鴿”和“巢”之間關系的表象，為“假設法”的引入和理解打下基礎。

三、抽絲剝繭，歸納概況，完善模型

《新課標》中明確指出：“要讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并對其進行感悟和應用的過程。數學課程的內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理和交流?！盵3]這一理念說明了學生的探究經歷和對數學發現的體驗是數學學習的重要途徑。學起于思，思源于疑。在教學中，教師要提供素材啟發學生多思考，鼓勵學生質疑問難，提出自己的獨立見解，在逐步分析概括中，靈活構建數學模型，完善數學模型。

片斷一：概括規律，初步建模。

在這節課中，以學生熟知的4支筆、3個筆筒作為操作素材，讓學生在自主探索中理解“鴿巢原理”，構筑直觀空間，學生經歷了一個初步的推理驗證過程，培養了邏輯思維能力。那么，在枚舉法的基礎上，學生經過說理，從大量的感性認識中逐步抽象出數學概念，能夠熟練掌握如何盡快找到最不利情況，也就是假設法。此時，教師可引導學生思考：在假設法的情況下，用算式又該怎么表示？誰能邊說邊用算式表達呢？重點說清楚商和余數分別表示什么？之后延伸問題：如果是5支筆放進4個筆筒呢？6支筆放進5個筆筒呢？7支筆放進6個筆筒？……那么100支筆放進99個筆筒呢？你發現了什么？初步構建鴿巢問題模型。

片斷二：變化情境，完善模型。

如果把5只鴿子放進3個籠子里，總有一個籠子里至少有2只鴿子，為什么呢？如果有6只鴿子呢？你發現了什么？通過直觀的操作及課件演示，引導學生理解按最不利的情況，余下兩只鴿子也要平均分。

把7本書放進3個抽屜，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放3本書？為什么？如果是10本書呢？11本呢？你發現了什么？能用一個算式概括這么多種情況嗎？通過關鍵處的追問質疑，引發學生的思考，由于有操作的經驗，學生很快就發現余數還要再次平均分，也就是至少數等于商加1，而不是商加余數，有效突破本節課的難點，讓學生親歷逐步構建完善鴿巢問題的模型。

四、慧達應用，舉一反三，遷移模型

遷移、應用、表達等都是學生學習過程中的重要環節，也是學生理解知識、形成技能、發展素養的必經之路?！傍澇矄栴}”變式靈活多樣，在具體的問題情境中，教師要引導學生學會將問題和模型建立聯系，區分什么是“鴿”，什么是“巢”。這個過程實質是學生經歷將具體問題“數學化”的過程，是從復雜的現實情境中應用最本質的數學模型的過程。這樣的過程，可有效地培養學生的邏輯思維能力，尤其增強學生的模型意識，學會運用已獲得的模型去分析解答的能力。

例如設計如下練習：

1.13位老師，他們中至少有2個人屬相相同，為什么？

設計此題的本意是讓學生學會分析時突出與“鴿巢問題”的聯系，找出“巢”是什么？“鴿”是什么？當“巢”隱藏時，需要進行聯想、尋找。這樣的練習，培養學生對知識的遷移和建模的能力。

2.書社準備給六年級一班的40位同學分書，要求每位同學都要分到書，至少有1位同學分得兩本書，那么應該準備幾本書？

通過分析，學生發現40位同學可以看成“巢”，書本可以看成“鴿”，那么物體不知道的情況下該怎么辦？逆向推理，假設每個同學先分得1本書，再選擇其中1位同學再分一本書，這樣就滿足至少有1位同學分得兩本書，也就是40×1+1=41。

精心設計練習，層層遞推。從簡單應用到逆向推理，既鞏固所學知識技能，又實現對學生思維的延伸，讓學生學會熟練應用模型進行分析，培養模型意識。整節課讓學生始終處于精讀、激思、深悟、慧達之中，深化滲透模型意識的教學，明暗雙線有效融合，增強學習數學的信心，提升數學素養。

顯然，數學模型意識是數學的重要基礎，也是數學教學的重要內容。在課堂教學中，通過運用模型進行思考，增強發現問題、分析問題的能力，在模型構建和應用模型解決問題的過程中，讓學生獲得全面的發展，發展數學學科核心素養。因此，加強模型意識滲透和培養的教學是非常重要且有意義的。

參考文獻：

[1]尹志偉.善用模型思想，巧解數學問題[J].江蘇教育（中學教學版），2013（5）：56-58.

[2]韓鈺.對學習興趣的研究與思考[J].哈爾濱職業技術學院學報，2014（6）：72-73.

[3]麥秀英.樹立新理念 構建新模式[J].山西教育（教育教學版），2005（6）：26-26.

作者簡介：

陳碧欽（1989年10月—），女，福建省泉州市人，本科學歷，一級教師，從事小學數學教學研究。