整體把握教學內容，促進學生“數與運算”深度學習

冉國明　魏建祺　劉瑩

［摘 要］基于《義務教育數學課程標準（2022年版）》中的“整體把握”理念，以北京版教材一年級下冊“數學百花園”的百數表為研究對象，從研究背景、教材分析、個人思考、教學實踐和反思收獲五個方面對“100以內數與運算”教學基于“計數單位表達一致性”的課例實踐展開探討，得出“整體把握教材、整體設計教學有助于學生建立知識結構，促進深度學習”和“抽象內容應以直觀、顯性的方式呈現，特別是幾何直觀方式，有助于學生深度理解”的結論。

［關鍵詞］整體把握；數與運算；百數表；深度學習

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）05-0028-06

一、研究背景

“數學百花園”是北京版小學數學教材一年級下冊第七單元的內容，其主要內容是“百數表”。然而，在實際教學過程中，教師普遍對于這部分內容感到困惑。一方面，雖然一年級下冊教材的第一單元“認識一百以內的數”已經有類似的內容，但部分教師對兩者之間的關系不夠清晰。另一方面，教師在如何有效利用“數學百花園”中編排的圖示展開教學方面存在許多疑問。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）的課程實施教學建議指出：“為實現核心素養導向的教學目標，不僅要整體把握教學內容之間的關聯，還要把握教學內容主線與相應核心素養發展之間的關聯。”這一“整體把握”的理念為教育工作者指明了新的研究方向。因此，筆者基于“整體把握”的理念，探索促進學生在“數學百花園”中實現深度學習的路徑。

二、教材分析

（一）北京版教材對“百數表”這一內容的編排

“百數表”這一內容第一次是出現在北京版教材一年級下冊的第一單元“認識一百以內的數”的第三節“數的順序與比較大小”部分（如圖1-1所示），第二次是出現在第七單元“數學百花園”（如圖1-2所示）。

對比兩次編排的內容，可以發現第一次側重于認識百數表，并發現百數表中數的排列順序和規律，第二次則偏重應用規律解決一些問題。

（二）橫向對比不同版本教材對“百數表”這一內容的編排

為了更深入地理解和把握教材內容，筆者對其他版本教材中關于百數表的部分進行了梳理。筆者查閱了人教版、北師大版、蘇教版和浙教版四個版本的教材（如圖2-1、2-2、2-3、2-4所示），發現這四個版本的教材對于百數表的編排都只有一次，并且內容上相似度較高，重點都是讓學生認識百數表，發現數的排列順序和規律，并在此基礎上進行簡單的應用。例如，人教版教材將百數表編排在“數的順序和比較大小”的內容中。此外，這四個版本的教材在該部分內容都設計了引導學生發現規律的開放性問題，如“你發現了什么？”等，并設計了根據百數表填數的練習。

三、思考

思考1：北京版教材第七單元數學百花園的編排僅僅是為了讓學生運用規律解決問題，深化學生對100以內數的認識嗎？這一內容再次出現在最后一個單元，有什么意義和價值？

一年級下冊教材中的數與代數部分主要包括兩個內容，即認識100以內的數和100以內數的加法和減法（一）（二）。這兩部分的篇幅占據了教材內容的一半以上。從這個角度來看，將百數表再次安排在第七單元“數學百花園”中，可以理解為對本冊教材中“數與運算”內容的一個統整。這樣的安排一方面可以加深學生對100以內數的認識，另一方面也可以深化學生對100以內加減法的理解，最終促進學生核心素養的進一步發展。

思考2：如何通過有效的教學設計達成以上兩個目標？

《課程標準》指出：“對小學階段‘數與運算主題，在理解整數、小數、分數意義的同時，理解整數、小數、分數基于計數單位表達的一致性。”何謂“計數單位表達？”筆者認為有三個方面：單位思想的建立、單位個數的運作和計數單位的轉化。

要深化學生對100以內數的認識及100以內加減法的理解，就要緊緊圍繞引導學生感悟“計數單位表達一致性”這個核心。因此，可以將本課分兩個課時展開。

第一課時以教材“數學百花園”中給出的圖為教學內容（如圖3所示），引導學生在推理、建構、重構、變形中，進一步深入理解“單位”“位值”“坐標”“無限”等數學理念。

第二課時以百數表（如圖4所示）為素材，基于百數表中數的特征設計教學。

如果只看百數表中的某一行，它就像一把以“1”為單位刻度的尺子，每個數與每個格子一一對應。從左往右看，數以“1”為單位不斷累加；從右往左看，數以“1”為單位不斷遞減。而如果只看百數表中的某一列，它又像一把以“10”為單位的尺子，從上往下看，數以“10”為單位不斷累加；從下往上看，數以“10”為單位不斷遞減。正是因為百數表融合了這兩種計數單位的累加和遞減，而且涇渭分明，所以學生在百數表中可以進一步體悟100以內加減法。

基于此，筆者設計了“百數表中下跳棋”這一課。通過數學游戲和綜合實踐的形式，豐富、發展和深化學生對整數加減法的理解，幫助他們感悟計數單位累加、遞減和轉化的過程，為其構建結構化的加減法知識體系奠定基礎。整個教學過程中，對于“計數單位表達一致性”的感悟和理解貫穿始終。

四、教學實踐

【第一課時】“數學百花園”

環節一：創設情境，喚醒經驗

創設100名學生進行團體操表演的情境并引發學生思考“如何才能讓這么多人記住自己的位置”，以此引出百數表，并讓學生回顧百數表中數的排列規律。

環節二：在推理中感受單位、坐標等思想

先出示只有一行和一列的百數表（如圖5所示），讓學生思考“麗麗背后的號碼是35，明明背后的號碼是53，他們在方陣中應該站哪”并說說理由，讓學生在推理過程中感受位值和坐標的數學思想；然后通過問題“號碼中都有數字3和5，為什么站的位置卻不一樣？”使學生理解“35是由3個十和5個一構成的，所以在第四行第五個格，而53是由5個十3個一構成的，所以在第六行第3個格”。這里是滲透計數單位和對應思想。

環節三：在推理中感受“區間”思想

通過問題“接下來，同學們表演了彩旗陣（如圖6所示）。紅紅的號碼是47號，華華的號碼是65號，你知道它們分別屬于哪個顏色方陣嗎？”引導學生在推理中感受“區間”思想。

環節四：經歷百數表重構過程

先出示只有第一行數字的百數表，讓學生想象其他行中的數字，并讓說出是如何想到這些數字的；接著呈現完整的百數表，幫助學生在腦中建構百數表的圖像；接著給出探究問題“把數字1～100放進方格里，還可以怎么放？請先想一想這樣放有什么規律，再創作屬于自己的百數表”，激發學生的獨立探究思考能力。通過思考和嘗試，學生不僅能夠重新構建百數表，還能在這個過程中突破原有的模型限制，展現出無限的創造力（如圖7所示）。

環節五：經歷百數表變形過程

通過問題“要表演一字長蛇陣，100名同學排成一行是什么樣？”讓學生試著動手將百數表變成數尺，從而初次體會“大數”的數學思想。

在上述的教學過程中，以百數表為直觀模型，引導學生經歷推理、重構和變形的數學思維活動，進一步深化學生對100以內數的認識，使學生對單位思想和位值思想有更深刻的認知。

【第二課時】“百數表中下跳棋”

環節一：喚醒經驗，明確規則

通過百數表引導學生回顧百數表中數的特征：在同一行中，相鄰的兩個數從左至右，增加1，反之，則減小1；在同一列中，相鄰兩個數從上往下，增加10，反之，則減小10。

出示下跳棋的規則：（1）在同一行或同一列中下跳棋，一次可以跳一格或幾格；（2）每次下完棋都要用一個數學算式表示跳棋所走的過程。

環節二：感悟計數單位個數的累加和遞減

首先，為了使學生快速理解規則，教師先走第一步棋（如圖8所示），并引導學生用一個數學算式表示下棋的過程。學生給出算式“12+1=13”，教師及時追問“為什么用這個算式表示剛才走的棋？”使學生明確12代表跳棋初始位置的數字，向右移動一格，增加1個單位“1”，即以“1”為單位進行累加，13則表示當前跳棋所處位置的數字。通過這一過程，學生初步體會到算式與下跳棋過程的一一對應。

接著，讓學生到黑板前繼續下跳棋（如圖9所示），其他學生依據經驗，寫出算式“13+5=18”，并解釋道：“13代表跳棋初始位置的數字，向右移動5個格子，因而增加了5個計數單位，最終所在位置的數字為18。”此過程體現了學生運用一一對應方法感悟計數單位個數累加的過程。

然后，要求學生寫一個算式表示跳棋所走的過程，如“18?4=14”，讓另一個學生到講臺前根據算式下跳棋（如圖10所示），并說說自己的想法。學生能夠明確18代表初始時跳棋所在格子的數字，減4，即以“1”為單位遞減4次，就要向左走4個格，14是現在跳棋所在格中的數。這一過程能使學生經歷把抽象算式具體化為以“1”為單位遞減運作的過程。

最后教師進行總結：在百數表的行中下跳棋，向右走幾格可以用“原來格數加幾等于現在格數”表示；向左則反之，可以用“原來格數減幾等于現在格數”表示。

環節三：列中感悟計數單位個數累加和遞減

給出延展性問題：再玩下去你想怎么走棋？學生下跳棋（如圖11所示）后寫出的算式是“14+20=34”。此時，教師及時追問“明明只走了2個格，為什么要加20？”使學生領悟到在列中走棋是以“10”為單位進行累加的。

接著就讓學生在列中下跳棋，使學生感受以“10”為單位遞減的過程。教師最后總結列中下跳棋的規律：在百數表列中下跳棋，向上走幾格可以用“初始時跳棋所在格子的數字加幾十等于現在格數”表示；反之向下走幾格，可以用“初始時跳棋所在格子的數字減幾十等于現在格數”表示。

環節四：游戲互動，深化理解

讓學生和同桌玩這個跳棋游戲，輪流進行。一個人下跳棋，另一個人用算式來表示下棋的過程。這樣，學生能再次經歷不同計數單位累加和遞減的過程。

環節五：深入拓展，發展思維

當教師提問“你還想在百數表中怎樣下跳棋”時，一位學生給出如圖12-1所示的棋子路線。對此，部分學生用“4+2+30=36”的算式表達，體現了跳棋先以“1”為單位在行中累加，再以“10”為單位在列中累加的過程，而計算結果36就是跳棋現在所在的位置。還有學生提出了新的算式“4+32=36”，將行與列中累加的過程融合在一起，以32的個位和十位上的數字分別對應行與列中計數單位個數的運作過程。至此，學生體驗到了不同計數單位個數的運作過程。另一位學生給出如圖12-2所示的棋子路線，寫出的算式是“36+11+11+11=69”。表面上看，這似乎與之前的不同計數單位累加方式存在差異。但學生分析后發現，可將其看成是先在行中以“1”為單位累加3次，再以“10”為單位累加3次。因此，可以用“36+33=69”這個算式表示。

五、收獲與反思

（一）整體把握教材，促進深度學習

《課程標準》指出：“教學內容是落實教學目標、發展學生核心素養的載體。在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。”筆者圍繞一年級下冊教材中“認識一百以內的數”的內容展開教學，緊緊抓住其核心——計數單位表達的一致性，將“數學百花園”的內容設計成兩課時，引導學生深刻認識計數單位，初步建立單位思想。在這個過程中，學生深刻感受100以內加減法其本質是計數單位個數的累加與遞減，這有利于學生形成與抽象思維有關的核心素養，為學生后續學習“數與運算”內容、感悟“一致性”打下了堅實的基礎。

（二）借助幾何直觀，促進深度理解

“數與運算”內容的核心是“計數單位表達”，無論是計數單位還是計數單位個數的累加，都是抽象的概念。如果只是單純地讓學生從數和算式上理解，這不利于學生建立數與運算概念，實現深度理解。百數表是一個直觀模型，教師可以通過引導學生借助百數表中數排列的顯性規律進行推理，使學生經歷百數表重構和變形的過程，從而有利于學生進一步感悟計數單位，并建立“單位”的數學思想。學生通過在百數表中下跳棋，就能直觀感受下跳棋過程與不同計數單位運作的一一對應關系，進而深入理解加減法運算的本質。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 趙莉，吳正憲，史寧中.小學數學教學數的認識與運算一致性的研究與實踐：以“數與運算”總復習為例[J].課程·教材·教法，2022，42（8）：122-129.

[2] 李雪梅，吳美樞，劉宏.數學核心素養培養的路徑研究：以北師大版一年級下冊“百數表”活動設計為例[J].教育科學論壇，2022（22）：55-58.