為發展學生的理性思維而教

黃鋒

［摘? 要］ 在一輪復習課中，教師應精準把握知識，研透知識的來龍去脈；深刻領悟知識背后所蘊含的數學思想方法，并在思想方法的引領下悟透知識間的關系；同時要準確把握學生的思維水平，注重動態生成、靈活遷移，為發展學生的理性思維做到精準教學.

［關鍵詞］ 橢圓的標準方程；一輪復習課；理性思維

數學的理性思維是一種基于邏輯推理、證據推理的理性思維方式，它需要學生在學習過程中對所遇到的問題進行深入剖析、批判思考，從而給出自己的理解和看法. 在數學中，理性思維表現為對概念、定理、公式等的深入探究，對問題本質的嚴密推理、論證，對數學對象的精確刻畫和描述.

課堂是學生學習的主陣地，是獲得知識、發展思維、培育能力和提升素養的重要場所，培養學生的理性思維的主陣地理應在課堂［1］. 在課堂教學中，教師要巧妙地設置問題情境，帶領學生經歷發現問題、提出問題、分析問題以及解決問題的全過程；要引領學生綜合運用直觀感知、類比歸納、抽象概括、演繹推理等方式培養理性思維，形成數學觀念，培育理性精神.

高三一輪復習課不僅承載著回顧與整理知識的作用，同時還有聯通和升華的功能. 不是簡單地回顧與重構本節課（單元）的知識網絡，更應該是深入領悟知識，研透知識的本質，悟透知識間的關系，鍛煉學生的思維，培育學生的理性精神. 在“橢圓的標準方程”一輪復習課中，基于知識主線，引導學生從“數”和“形”兩個角度理解并掌握橢圓的第一定義，適度拓展第二或第三定義，并結合定義以及標準方程解決相關問題. 基于能力主線，引導學生深度理解橢圓的三個定義，從幾何的角度理解代數式與圖形之間的關系，從代數式的角度理解、掌握三個定義及焦半徑公式，同時在例題及變式應用環節中培養數學建模能力、轉化與化歸能力、發散思維能力以及靈活遷移能力.

教學過程

1. 自主回顧，知識再建構

問題1 請同學們求解下列三個小題，你能回顧橢圓的定義，并嘗試用結構圖表示由定義推導焦點在x軸上的橢圓的標準方程的過程嗎？

（1）（蘇教版選擇性必修第一冊教材P87第16題改編）設A（3，0），P是圓O：（x+3）2+y2=100上任意一點，線段AP的垂直平分線l與半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，則點Q的軌跡方程為_________.

設計說明 設計問題（1）和問題（2）的目的是引導學生回歸定義解題. 根據定義寫方程時既要注意區分焦點的位置，還要注意除雜. 對于問題（3），利用幾何意義、回歸定義判斷是最優的求解方法，同時本題還能引導學生回顧新授課時的難點——兩個根式的處理方法，引導學生梳理橢圓的標準方程的推導過程，為后續問題的解決做鋪墊.

2. 溫故操練，本質再探尋

問題2 請同學們求解下列小題，你能結合橢圓的標準方程的推導過程中的式子①，通過對比分析，探究出一般性的結論嗎？

設計說明 從學生能夠解決的問題出發，引導學生從特殊到一般進行對比分析，發現問題，探尋本質. 設計本題的目的是引導學生研究橢圓的標準方程的推導過程中的式子的幾何意義，加深學生對橢圓的第二定義的理解. 在移項變形處理的過程中，移項不同，平方整理后的式子對應的幾何意義也就不同. 本題展示的是右焦點對應右準線的橢圓的第二定義，同時順勢引導學生發現橢圓的右焦半徑公式并探究橢圓的左焦半徑公式以及左焦點對應左準線的橢圓的第二定義. 學生在原有思維水平的基礎上，在問題串的引導下再研究、再認識，理性思維能力得到了發展. （研究成果如圖1所示）？搖

3. 方法應用，思維再提升

問題3？搖你能從不同的角度進行思考，用多種方法解決下面的問題嗎？

追問1：求最大值的最優方案是什么？你是基于什么角度思考的？

追問2：如何求最小值呢？

問題4 在例題的基礎上引入兩個限制性條件，問題又該如何解決呢？

4. 變式訓練，方法再融通

問題5 對原題中的橢圓的標準方程做伸壓變換，同時對限制條件做強化處理，問題又該如何解決呢？

5. 活學活用，素養再提升

問題6 完成下面的探究題，嘗試結合今天所學的知識推廣出一般性結論，并自主設計問題，給同學解答.

設計說明 本題沿襲的解題思想仍然是由特殊到一般的思想，類比問題2的研究方法，活學活用，靈活遷移是關鍵，實質研究的是橢圓的第三定義. （研究流程如圖2所示）

小組合作交流，由一般到特殊，自主設計問題. （示例如下）

6. 總結升華，本質再悟透

問題7 經歷本節課完整的探究過程，你能最終完善本節課的知識結構圖嗎？（完善的知識結構圖如圖3所示）

教學反思

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“教師要整體把握教學內容，把握數學知識的本質，理解數學知識產生與發展過程中所蘊含的數學思想；探索通過什么樣的途徑能夠引發學生思考，讓學生在掌握知識技能的同時，感悟知識的本質，實現教育價值.”［2］一輪復習課如何做到為發展學生的理性思維而教，結合本節課教學，筆者反思如下：

1. 知識網絡的再建構，注重本質悟透

一輪復習是立足學生已有認知基礎，進行知識網絡再建構的教學. 在教學中，教師既要明確學生的認知水平，更要充分挖掘學生的潛在技能；既要精準把握知識的來龍去脈，更要將各個知識點進行串聯和整合，從而幫助學生將分散的知識點整合為有機整體，形成更加系統、完善的知識結構. 同時，一輪復習應該注重深入剖析知識本質，揭示數學知識間的關系，幫助學生深度理解問題.

2. 思想方法的再引領，滲透思辨意識

一輪復習要做到思想性駕馭，凸顯思想方法的引領. 教師要基于學生現有思維水平，通過思想方法的引領，有效突破思維的難點，引導學生進行真實的探究. 例如，本節課以數形結合思想作為暗線，引領整個課堂教學，三個定義的推導與探究都是反復圍繞由數到形、以形助數展開的；例題、變式題涉及常見的模型思想、降維思想、換元思想、轉化與化歸思想和函數與不等式思想. 在探究的過程中，要引領學生不斷思辨，悟透思想方法的本質，提升學生的思維水平.

3. 探究路徑的再拓展，培育科學精神

數學教育家波利亞指出：“如果不變化問題，我們幾乎不能有什么進展.”一輪復習在概念的再探究中，變換問題情境、設問方式；在例題的解決過程中，采用一題多問、一題多變等手段多路徑探究，都是有效的教學方式. 在一輪復習的探究過程中，還要關注課堂動態生成問題，保障學生在課堂中充分討論、在互動中不斷碰撞出智慧的火花，激發學生的理性思維，提升學生的科學精神.

參考文獻：

［1］ 曾榮. 基于理性思維培養的高中數學課堂教學［J］. 江蘇教育，2023（09）：7-10.

［2］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.