采用模糊補償滑模控制器的空間柔性機械臂振動抑制方法

尚東陽, 李小彭, 尹 猛, 李凡杰, 周賽男

(1. 東北大學 機械工程與自動化學院, 沈陽 110819; 2. 中國科學院深圳先進技術研究院, 廣東 深圳 518055)

隨著機器人技術的不斷發展,機械臂已經在航空航天領域獲得了廣泛的應用。空間機械臂的提出和應用可以協助宇航員更加便利地開展艙外檢修任務。隨著空間機械臂結構尺寸的增大,更多的空間機械臂可以實現飛行器的捕捉與釋放。關于空間機械臂的研究已經取得了豐碩的成果。太空機器臂技術出現于20世紀80年代,其中最具代表性的機器臂是SPAR Aerospace開發的SSRMS機械臂[1],該機械臂應用于國際空間站。除了SSRMS機械臂外,典型的空間機械臂還包括Robot Technology Experiment[2]、Engineering Test Satellite-VII[3]等。由于火箭發射成本和運載能力的限制,空間機械臂均具有輕質的特點。相比較于剛性機械臂,柔性機械臂具有輕質、大操作范圍的優勢。基于柔性機械臂的優勢,文獻[4-5]將柔性機械臂應用于空間站或者飛船提出了空間柔性機械臂的概念。空間柔性機械臂的長度可達十幾米以滿足較大的運動范圍和操作空間。空間柔性機械臂較大的操作空間且輕質化的結構材料意味著空間機械臂一般為細長結構,且必須采用密度、剛度較小的材料,這就會導致空間機械臂的桿件的彈性變形較為明顯。由此,空間柔性機械臂在運動過程中容易出現振動的現象。空間柔性機械臂的振動會影響操作精度甚至是空間站的飛行安全。因此,空間柔性機械臂的振動抑制研究對于空間機器人的發展具有重要的意義。

為了實現空間柔性機械臂的高精度控制,首先要建立精確的動力學模型。空間柔性機械臂動力學建模的難點在于非線性變形的描述。隨著研究的深入,柔性結構的多維變形逐漸得到許多學者的關注。文獻[6]使用有限元法建立了考慮三維變形的柔性梁動力學方程。文獻[7]建立了考慮二維變形的水下柔性機械臂的動力學方程。在柔性結構動力學建模過程中考慮的非線性因素越多,建模精度越高。文獻[8]認為柔性結構可以等效為柔性梁模型。一般認為,柔性梁模型可以用歐拉-伯努利梁模型[9]和鐵木辛柯梁模型[10]表示。兩種梁模型的主要區別在于是否考慮剪切變形。此外,空間柔性機械臂轉動中受到的外界干擾同樣會加劇振動。文獻[11]使用LuGre模型描述外界干擾。雖然考慮多種非線性因素可以提高空間柔性機械臂的建模精度。但是所建立的空間柔性機械臂數學模型與真實的模型之間仍存在著建模誤差。這是因為在動力學建模中不可能考慮所有的非線性因素。此外,例如外界干擾模型中的參數會隨著環境發生改變。由此,在空間柔性機械臂的建模中無法準確地用數學表達式表征外界干擾。如何在空間柔性機械臂控制律的設計中補償建模誤差成為動力學和控制領域研究的熱點話題。

隨著空間機械臂技術的不斷發展,對于機械臂操作精度的要求不斷提高。要想實現空間柔性機械臂的高精度控制,需要將動力學模型的建模誤差予以考慮。隨著抗干擾控制策略和自適應控制策略的成熟,許多學者使用這兩種控制策略提高空間機械臂的操作精度。文獻[12]使用擴張狀態觀測器提高空間機械臂的控制精度。文獻[13]提出了一種自適應控制策略來控制自由漂浮空間機械臂的末端執行器,從而減小了跟蹤誤差。經典控制理論無法消除非線性因素對空間柔性機械臂的影響。此外,滑模控制在機器人控制領域得到了廣泛的使用。文獻[14]采用實時滑模控制策略對空間機械臂進行控制。隨著控制理論的發展,以神經網絡和模糊規則為代表的智能控制方法可以在線辨識動力學模型的不確定成分。神經網絡和模糊規則的萬能逼近特性非常適合于辨識因建模誤差引起的不確定成分。文獻[15]提出了一種自適應神經網絡控制器來控制空間機械臂。文獻[16]提出了神經網絡在柔性機械臂中的應用,并通過試驗證明了神經網絡補償的有效性。因此,可以采用神經網絡或模糊規則來識別空間柔性機械臂動力學模型的建模誤差,并通過對建模誤差的補償來提高控制精度。

本文使用假設模態法和拉格朗日原理建立了考慮非線性變形和外界干擾的空間柔性機械臂動力學模型。采用模糊規則識別空間柔性機械臂動力學模型的建模誤差。將模糊規則辨識的結果補償到控制律中,以此提高驅動力矩的精度,進而保證空間柔性機械臂的轉動精度。本文的創新主要有兩個方面。第一個方面是在空間柔性機械臂的動力學建模過程中同時考慮縱向變形和橫向變形。相比較于文獻[17]所建立的柔性機械臂動力學模型,本文再考慮了柔性結構的縱向變形,這極大地增加了柔性機械臂動力學建模的難度。第二個方面是提出一種模糊規則辨識的控制策略以提高空間柔性機械臂的轉動精度,進而減弱機械臂的振動。在控制律的設計上,使用模糊規則辨識補償建模誤差以提高控制精度。通過提高轉動精度的方式間接地減弱空間柔性機械臂的振動幅值。

1 空間柔性機械臂動力學建模

空間柔性機械臂可以安裝于空間站,如圖1(a)所示。空間機械臂中末端執行器的質量和轉動慣量遠小于柔性旋轉結構,由此可以認為執行器和柔性結構成為一個整體。空間柔性機械臂可以等效為由電機驅動的柔性結構,其等效模型如圖1(b)所示。在空間柔性機械臂轉動時,空間站處于相對穩定的飛行狀態。在本文中忽略了空間站機動對于空間柔性機械臂的影響。為了便于建立動力學模型,本文將空間柔性機械臂等效為柔性梁模型。空間柔性機械臂的橫向變形表示為w(x,t);縱向變形表示為u(x,t)。空間柔性機械臂的物理參數表示如下:l表示長度;m表示質量;EI表示抗彎剛度。空間柔性機械臂在驅動力矩Ta和干擾Mf作用下的轉角θ與固定坐標系XOY和隨動坐標系xOy之間的角度相一致。空間柔性機械臂在轉動過程中會出現橫向變形。根據文獻[18]可得到橫向變形的表達式,如式(1)所示

(a) 空間柔性機械臂假想圖

(b) 空間柔性機械臂等效模型圖圖1 空間柔性機械臂示意圖Fig.1 Schematic diagram of space-flexible manipulator

(1)

式中:φi(x)為第i階模態函數;ηi(t)為第i階模態坐標;?i為第i階模態函數特征根值。

根據文獻[19]可得橫向變形和縱向變形之間的耦合關系,如式(2)所示。

(2)

根據式(2)可得式(3)

(3)

根據式(3)可得到縱向變形的表達式,如式(4)所示

(4)

在獲得柔性結構的縱向變形和橫向變形的表達式后可得到柔性結構上任意一點在固定坐標系的位置如式(5)所示

(5)

式中:x為柔性結構上任意一點的橫坐標;u(x,t)=u,w(x,t)=w。為了方便書寫,用“·”表示對時間t的偏導數。同理,用“′”表示對橫坐標x的偏導數。

根據式(5)可得到式(6)

(6)

根據式(6)可得到柔性結構的動能,如式(7)所示

(7)

同理,可得到柔性結構的勢能,如式(8)所示

(8)

根據拉格朗日動力學方程,可以得到式(9)

(9)

由于二階及高階模態對于柔性機械臂建模精度的影響十分有限。本文為了減少計算量,在建立動力學方程時僅考慮一階模態。將空間柔性機械臂的動能和勢能代入式(9)后可得到式(10)

(10a)

(10b)

式中,αi表示動力學模型的參數,其表達式如附錄A所示。

式(10)即表示考慮二維變形的空間柔性機械臂的動力學方程。

如果忽略縱向變形,則柔性結構上任意一點的位置如式(11)所示

(11)

根據式(11)可得到柔性結構的動能,如式(12)所示

(12)

將式(12)所示的動能和式(8)所示的勢能代入式(9)中可得到式(13)

(13)

式(13)即表示僅考慮一維變形的動力學方程。

如果去除動力學方程中的非線性項,則可以得到式(14)

(14)

式(14)即表示去除非線性項所得到的動力學方程。

動力學方程中的外界干擾可以用LuGre模型表示,其表達式如式(15)所示

(15)

(16)

其中:Mc表示庫倫摩擦力矩;Ms表示靜摩擦力矩;θs表示Stribeck速度。

2 動力學建模精度分析

為了研究非線性項對于空間柔性機械臂建模精度的影響,選擇Damaren提出的單桿演算法作為柔性結構轉角和時間的變化函數[20],其表達式如式(17)所示

(17)

本文通過變形精度衡量動力學建模精度。采用角度相關法計算柔性結構的變形。所謂的角度相關法指的是:首先忽略結構的柔性因素,將柔性結構認為是剛性結構。然后根據剛性負載和轉角加速度計算所需的驅動力。最后將所計算的驅動力矩輸入空間柔性機械臂動力學模型,得到柔性結構的變形,其計算流程圖如圖2所示。

圖2 基于角度相關法的柔性結構變形計算流程Fig.2 Calculation flows of the flexible structure deformation based on angle correlation method

為了說明不同物理參數對于空間柔性機械臂變形的影響規律,本文分析不同柔性結構長度和抗彎剛度對于變形的影響。根據式(10)、式(13)和式(14)可得到考慮二維變形、考慮一維變形、忽略耦合非線性項情況下柔性結構的末端變形,如圖3所示。

(a) 柔性結構變形分布圖

(b) 考慮一維因素的偏差

(c) 忽略非線性項的偏差圖3 柔性結構的變形Fig.3 Deformation of flexible structure

根據圖3可知,在柔性結構長度較小且抗彎剛度較大的情況下,耦合非線性項等對于變形量影響不大。但在柔性結構長度較長且抗彎剛度較小的情況下,耦合非線性項對于變形量有很大的影響。一般認為考慮非線性因素越多,建模精度越高。因此,考慮二維變形的動力學模型具有較高的建模精度。根據圖3可知,去除非線性項的動力學模型獲得的變形分布與考慮二維變形的動力學模型所得到變形分布規律更為接近。由此可以說明,去除非線性項的動力學模型具有較高的建模精度。

3 模糊補償滑模控制策略

雖然去除非線性項的動力學模型便于計算且具有較高的建模精度,但是仍和真實的模型之間存在較大的建模誤差。本文通過模糊規則辨識、補償這種建模誤差,進而提高空間柔性機械臂的控制精度。

將式(14)所示的空間柔性機械臂的動力學方程寫成矩陣的形式,如式(18)所示

(18)

3.1 模糊規則的萬能逼近特性

(19)

式中:li=1,2,…,pi,i=1,2,…,n。模糊系統的輸出如式(20)所示

(20)

(21)

使用高斯函數作為隸屬度函數,如圖4所示。

圖4 高斯隸屬度函數Fig.4 Gaussian membership function

本文使用模糊規則辨識不確定成分。根據式(21)辨識后的不確定成分可以寫成式(22)所示的形式。

(22)

經過模糊規則辨識后的不確定成分和真實的不確定成分之間仍存在辨識誤差,如式(23)所示。

(23)

3.2 控制律和自適應律的設計

定義滑模函數的表達式如式(24)所示

(24)

根據式(24)可以得到式(25)

(25)

根據式(18)和式(25)可得到式(26)

(26)

定義李雅普諾夫函數,如式(27)所示

(27)

根據式(27)可得到式(28)

(28)

根據式(26)和式(28)可得到式(29)

(29)

空間柔性機械臂的控制律設計成如式(30)所示的形式

(30)

式中,KD和W表示控制律參數矩陣。

將式(30)代入式(29)后可得到式(31)

(31)

根據式(27)可得到式(32)

(32)

根據式(32)可得到式(33)

(33)

由此,根據式(33),式(31)可以寫成式(34)所示的形式

(34)

模糊規則的自適應律設計成如式(35)所示的形式

(35)

式中,α為系數。

將式(35)代入式(34)可得到式(36)

(36)

將式(36)寫成式(37)所示的形式

(37)

(38)

對式(38)取極限可以得到式(39)

(39)

根據式(39)可知,V是有界,從而z和φ有界。因此,可以說明本文提出的控制律是能夠保證空間柔性機械臂穩定的。使用模糊補償滑模控制策略的空間柔性機械臂的控制回路,如圖5所示。

(a) 模糊規則辨識不確定成分流程圖

(b) 詳細的控制回路圖5 基于模糊補償滑模控制策略的空間柔性機械臂控制回路Fig.5 Control loop of space-flexible manipulator based on fuzzy compensation sliding mode control strategy

4 仿真分析與樣機試驗

為了說明模糊補償滑模控制策略對于空間柔性機械臂轉動控制和振動抑制的有效性,本文開展了仿真和樣機控制試驗。首先搭建了模擬空間柔性機械臂的地面控制試驗平臺,如圖6所示。

圖6 模擬空間柔性機械臂的地面控制試驗平臺Fig.6 Ground control test platform simulating space-flexible manipulator

試驗平臺由伺服電機、套索傳動機構、柔性梁、NI控制器、磁編碼器和加速度傳感器等組成。其中,伺服電機的型號為ASME-MRB。NI控制器由NI- Crio -9053模塊、NI-9401模塊和NI-9264模塊組成。控制力矩通過伺服電機傳遞到套索傳動機構,進而驅動柔性梁轉動。柔性梁的轉角信號由編碼器采集后傳輸到NI-9401模塊,然后進入控制程序。控制程序根據實時旋轉角度信號計算控制轉矩。NI-9264產生脈沖信號,實時調節伺服電機轉矩。柔性梁的加速度信號由DH311E型號的加速度傳感器測得。其中,樣機控制試驗平臺的控制原理如圖7所示。

圖7 樣機控制試驗平臺的控制原理圖Fig.7 Control schematic diagram of prototype control test platform

在仿真分析和樣機控制試驗中選擇兩組不同長度的柔性梁進行試驗,以此模擬不同長度的空間柔性機械臂。仿真分析和樣機控制試驗中試驗平臺的參數如表1所示。

表1 樣機控制試驗平臺參數Tab.1 Prototype control test platform parameters

4.1 數值仿真分析

本文通過數值仿真分析說明所提出的模糊補償控制策略的有效性。根據表1中的參數開展仿真分析試驗。在仿真試驗中空間柔性機械臂的期望轉速設置為單位正弦信號。分別以滑模控制策略(SMC)和模糊補償的滑模控制策略(FC+SMC)開展仿真試驗。由此,可以得到兩種不同柔性結構長度下的仿真結果,如圖8～10所示。其中,圖8表示轉角的仿真試驗結果;圖9表示轉速的仿真試驗結果;圖10表示柔性變形的仿真結果。

(a) 長度1工況下的轉角曲線

(b) 長度1工況下的轉角誤差曲線

(c) 長度2工況下的轉角曲線

(d) 長度2工況下的轉角誤差曲線圖8 轉角仿真試驗結果Fig.8 Simulink results of rotation angle

(a) 長度1工況下的轉速曲線

(b) 長度1工況下的轉速誤差曲線

(c) 長度2工況下的轉速曲線

(d) 長度2工況下的轉速誤差曲線圖9 轉速仿真試驗結果Fig.9 Simulink results of rotation speed

(a) 長度1工況下的變形曲線

(b) 長度2工況下的變形曲線圖10 變形仿真試驗結果Fig.10 Simulink results of deformation

根據圖8可知,兩種控制策略都可以使空間柔性機械臂實現穩定的角度跟蹤。并且隨著柔性結構長度的增大,轉角跟蹤誤差逐漸增大。但是,與滑模控制策略相比,模糊補償的滑模控制策略具有更小的轉角跟蹤誤差。相似的,根據圖9可知,雖然兩種控制策略都能實現穩定的轉速跟蹤,但是模糊補償的滑模控制策略具有較小的轉速跟蹤誤差。在柔性結構長度較短的工況下,模糊補償滑模控制策略的優勢更加明顯。這是因為當柔性結構長度較小時,受控對象的轉動慣量較小,外界干擾對于轉速的影響較大。而模糊補償的控制策略能夠消除外界干擾的影響。由此,在柔性結構長度較小的情況下,模糊補償控制策略的優勢更加明顯。根據圖10可知,在兩種不同長度的工況下,模糊補償滑模控制策略能夠減弱變形的幅值。在長度1的工況下,模糊補償滑模控制策略能夠減弱變形曲線的波動。由此可知間接的說明,使用模糊補償滑模控制可以減弱柔性結構的振動。

根據數值仿真試驗所獲得的結果可知,與滑模控制策略相比,模糊補償滑模控制策略可以大幅度地提高空間柔性機械臂的控制精度。空間柔性機械臂的振動抑制效果可以從變形的幅值和波動的減弱間接地體現出來。此外,模糊補償滑模控制策略通過減弱轉速的波動間接的抑制空間柔性機械臂的振動。

4.2 樣機控制試驗

根據表1中的參數設置物理樣機控制試驗平臺中柔性梁。分別使用模糊補償滑模控制策略和滑模控制策略開展控制試驗。與仿真試驗相同,柔性梁的期望轉速設置為正弦信號。利用安裝于柔性梁末端的加速度傳感器收集轉動過程中的加速度信號。由于柔性梁的振動幅值難以測量,本文使用加速度信號間接地表征振動強弱。物理樣機的試驗結果,如圖11和圖12所示。

(a) 轉角輸入輸出曲線

(b) 轉角跟蹤誤差曲線

(c) 加速度曲線

(d) 加速度分率分布圖11 長度1工況下試驗結果Fig.11 Test results under the condition of length 1

(a) 轉角輸入輸出曲線

(b) 轉角跟蹤誤差曲線

(c) 加速度曲線

(d) 加速度分率分布圖12 長度2工況下試驗結果Fig.12 Test results under the condition of length 2

根據圖11和圖12可知,隨著柔性梁長度的增加,轉角誤差和加速度信號的幅值逐漸增加。但是,模糊補償滑模控制策略卻可以有效地減弱柔性梁的跟蹤誤差和加速度幅值。此外,從圖11中加速度信號的傅里葉變換結果可以看出,柔性梁在旋轉過程中有兩個主要頻率。其中一個是主頻處于低頻區域與柔性梁旋轉頻率相對應,另一個主頻處于高頻區域與柔性梁的振動頻率相對應。兩種不同的控制策略對柔性梁的頻率的影響有限。這表明模糊補償滑模控制策略可以在不改變運動特性的情況下提高柔性梁的運動精度。

為了更加清晰地說明模糊補償控制策略的優勢,本文對轉角跟蹤誤差和加速度數據進行統計學分析。由此可以得到跟蹤誤差和加速度信號的統計指標分布規律,如圖13所示。

(b) 加速度標準差指標圖13 試驗數據統計指標分布圖Fig.13 Test data statistical index distribution map

根據圖13可知,在兩種長度工況下,模糊補償滑模控制策略都具有最好的統計指標。相比較于滑模控制策略,模糊補償滑模策略可以使轉角跟蹤誤差絕對值的平均值下降17.86%、加速度的標準差下降31.90%。試驗數據的量化分析結果再一次的證明了滑模控制策略的有效性和優勢。

綜上,根據數值仿真分析和樣機控制試驗說明了模糊補償滑模控制策略可以有效地提高空間柔性機械臂的轉角控制的精度。進而減弱振動。

5 結 論

本文以空間柔性機械臂為研究對象,建立了考慮二維變形和外界干擾的動力學模型。采用模糊補償滑模控制策略提高空間柔性機械臂的轉動精度,進而減弱振動。模糊補償滑模控制策略通過模糊規則辨識補償包含柔性非線性項和外界干擾的動力學不確定成分提高控制精度。仿真分析和樣機控制試驗表明,所提出的控制策略能有效提高旋轉角度的控制精度、減弱振動。具體結論如下:

(1) 空間柔性機械臂的動力學方程包含許多非線性項。當柔性結構長度較長、抗彎剛度較小時,這些非線性項對空間柔性機械臂的建模精度有一定的影響。在動力學建模中應該考慮這些非線性項。

(2)由非線性項和外界干擾組成的不確定部分會影響空間機械臂的轉動控制精度。模糊補償策略可以辨識和補償動力學模型的不確定成分,從而提高轉動控制精度。

(3) 本文提出的模糊補償滑模控制策略可以有效地提高空間柔性機械臂的轉動控制精度、減弱振動。本文提出的控制策略使轉角跟蹤誤差絕對值的平均值下降17.86%,加速度的標準差下降31.90%。

附錄A

動力學模型的參數的表達式如下所示。

(A.1)

(A.2)

(A.3)

(A.4)

(A.5)

(A.6)

(A.7)