二十輥軋機輥系耦合振動特性及振動控制

孔祥嵐, 和東平, 徐慧東, 王 濤, 黃慶學

(1.太原理工大學 機械與運載工程學院,太原 030024;2.先進金屬復合材料成形技術與裝備教育部工程研究中心,太原 030024)

軋機振動在帶鋼軋制過程中普遍存在,嚴重的振動不但對帶鋼質量產生不利影響,而且會嚴重影響設備健康運行。在極薄帶軋制過程中影響更為顯著[1]。Kapil等[2]基于四輥軋機建立了非線性參激系統,利用多尺度法分析了系統穩定性與幅頻特性。Zhang等[3]建立了軋機非線性水平-垂直-扭轉耦合模型,分析了不同外激勵幅值下工作輥的幅頻特性以及不同輥縫下的工作輥動態分岔特性。劉飛等[4-6]以四輥軋機為例,探究了液壓缸內分段彈性力和摩擦力約束對系統幅頻特性的影響,同時對系統分岔特性和穩定性進行了分析。Zhang等[7]考慮油缸非線性摩擦,分析了PID控制下的軋機垂直振動特性。Hou等[8-9]基于軋制變形區油膜厚度的動態影響,建立了軋機縱橫耦合非線性動力學模型,通過數值仿真分析了界面接觸率非線性參數等因素對主共振幅頻特性的影響。Peng等[10-11]考慮到軋件彈塑性變形,建立了四輥軋機滯后非線性垂直振動模型,采用多尺度法分析了線性剛度與非線性剛度對1/2亞諧波和1∶1內共振幅頻特性的影響。通過時滯位移控制,分析了增益系數與延遲時間對振幅以及共振區域的影響。Lu等[12]利用Hopf分岔定理和Routh-Hurwitz行列式,分析了多自由度耦合軋機振動系統分岔特性,研究了不同軋制條件對系統穩定性的影響。

由于二十輥軋機結構復雜,輥系的分析在板形控制方面十分重要,包括參數計算[13],工藝優化[14],凸度調控[15],輥系變形分析[16]以及整體控制策略[17-18]等。然而對二十輥軋機輥系振動的研究并不多見。Wu等[19]基于二十輥軋機輥系結構,建立線性水平-垂直振動耦合動力學模型,仿真分析了不同軋制力與軋制速度對工作輥振動特性的影響。在此基礎上,提出了工作輥表面出現缺陷下的時變剛度動力學模型,通過數值仿真[20],三維模型有限元模擬[21]和試驗分析驗證了動力學模型的有效性。Wang等[22]分析了靜態與動態下輥系間接觸力的變化。袁凱等[23]通過建立二十輥軋機有限元模型,分析了不同軋制力對于輥系穩定性的影響。

振動問題會給軋機帶來許多負面影響,因此,抑制軋機振動已成為機械設計和振動控制領域共同關注的焦點。為了實現對軋機振動的有效控制,Qi等[24]分析了軋機模數控制增益對耦合振動的影響,并提出通過降低軋機模數控制AGC增益來緩解軋機振動。Qian等[25]提出一種自適應模糊軋機垂直振動控制方法,可以計算未知的非線性函數和系統參數,通過仿真證明了該系統的穩定性。華長春等[26]提出了一種自適應預定性能控制方法,用于非線性不確定的軋機振動模型,可以避免扭振現象的產生。Zeng等[27]通過設計線性與非線性反饋控制器實現了軋機垂直水平扭轉耦合系統的Hopf分岔控制,并研究了線性增益系數與穩定性區域的關系以及非線性增益系數對振幅的影響。Wang等[28]利用非線性控制器有效控制了軋機主傳動時滯系統的Hopf分岔,仿真結果表明振動幅值得到了有效的抑制。張義方等[29]提出通過電氣改造來抑制電氣驅動諧波,進而實現對軋輥扭振的控制。和東平等[30]設計了一款非線性參數分岔控制器,可以用于控制波紋輥軋制系統的跳變以及時滯現象。

Washout濾波控制器是一種可用于線性與非線性系統的狀態反饋控制方法,具有改善系統性能,精準控制,降低誤差,實時響應等特點,被廣泛應用于機械、電氣等領域。Zhai等[31]驗證了Washout濾波控制器對非線性系統Hopf分岔的有效控制以及系統穩定性的提升。Liu等[32]將Washout濾波控制器用于軋機機電耦合扭轉系統,研究了時間常數,線性增益對Hopf分岔點的影響以及非線性增益與振動幅值的關系。

本文在專家學者對軋機振動的研究基礎上,根據極薄帶軋制工藝與二十輥軋機輥系特點,提出了具有非線性軋制界面與耦合振動特性的簡化動力學模型,并對其振動特性和振動控制展開研究。

1 二十輥軋機模型及其動力學方程

二十輥軋機因具有整體剛度大,板形控制能力強以及軋制極限厚度小等特點,主要用于軋制精密極薄帶,如圖1所示。圖2為二十輥軋機輥系,由工作輥、第一中間輥、第二中間輥(圖2中:b為惰性輥;a、c為驅動輥)以及背襯輥組成。

圖1 二十輥軋制機組Fig.1 20-high rolling mill

1.工作輥;2.第一中間輥;3.第二中間輥;4.背襯輥。圖2 二十輥軋機輥系結構圖Fig.2 The roll system of 20-high rolling mill

在二十輥軋機工作過程中,工作輥振動決定極薄帶產品質量,而與工作輥接觸的第一中間輥會對工作輥的振動產生直接影響。故本文從二十輥中提取由工作輥和第一中間輥組成的六輥進行研究。由于輥系之間為圓柱輥身線接觸,忽略其輥系間阻尼的作用。同時基于軋制工藝不同以及潤滑狀態的變化產生非線性因素,故考慮了工作輥與極薄帶之間的非線性剛度以及非線性阻尼。基于上述簡化情況,結合軋機上下對稱結構,建立六自由度非線性動力學模型,如圖3所示。

圖3 二十輥軋機簡化后六自由度動力學模型Fig.3 Six-degree-of-freedom dynamic model of 20-high rolling mill after simplification

圖3中,簡化后六自由度動力學模型參數如表1所示。建立系統動力學方程如下

表1 六自由度動力學模型參數Tab.1 Parameters of six-degree-of-freedom dynamic model

(1)

由結構的左右對稱性以及m1的水平初始位移為零,式(1)可簡化為

(2)

2 軋機輥系主共振特性分析

2.1 主共振響應求解

對于非線性方程,很難進行精確值求解。通常采用近似值求解,在一定精度下,近似值可以替代精確解進行研究。本文采用多尺度法進行方程求解[33],引入下面的無量綱量,將方程(2)轉化成如式(3)所示的無量綱形式

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

設零階近似方程組(6)的解為

(8)

將式(8)代入式(7)得

k1-2A2eiω20T0-c1-1iω10B1eiω10T0-

2D1iω10B1eiω10T0+cc

2D1iω20A2eiω20T0+cc

2D1iω30B2eiω30T0+cc

(9)

(10)

為了方便式(10)求解,將B1,A2,B2設定為指數形式

B1=0.5b1eiφ1,A2=0.5a2eiφ2,B2=0.5b2eiφ3

(11)

式中,b1,a2,b2,φ1,φ2,φ3為時間T1的函數。

(12)

2.2 主共振特性分析

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)圖4 不同參數對主共振幅頻特性曲線的影響Fig.4 Primary resonance amplitude frequency curve with the influence of different parameters

在軋制生產過程中,通過調整軋制速度,減小材料張力的波動以及選取合適的潤滑劑,使工作輥受到外部擾動力得以抑制,同時軋制界面上剛度阻尼得到相應的改變,進而實現共振區域的減小和振峰彎曲程度的弱化,減小主共振對于極薄帶軋制生產的影響。

3 軋機輥系內共振特性分析

3.1 共振響應求解

(13)

2k1-2a2(b2k1-1sin(θ3)-

(14)

式(14)中一些量的詳細表達式見附錄A。

3.2 內共振幅頻特性分析

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)圖5 不同參數對內共振幅頻特性曲線的影響Fig.5 Internal resonance amplitude frequency curve with the influence of different parameters

4 諧波振動的穩定性分析

通過對幅頻特性曲線觀察發現,該系統因存在非線性而產生跳躍現象。本章對系統穩定性以及全局性態進行分析來揭示這種跳躍現象。

根據式(12)和式(14),可以歸納化簡為以下形式

(15)

這里,對于主共振情形,式(15)中Φ和Ψ如下

對于內共振情形,式(15)中Φ和Ψ如下

將式(15)兩個方程相除,化為自治形式一階微分方程

(16)

當外部擾動力幅值F0和頻率ω10給定后,通過一階微分方程式(16)可確定動相平面內的相軌跡。其中動相平面內的奇點(bs,θs)則對應系統的平衡態。奇點(bs,θs)滿足以下方程

(17)

從式(17)消除θs得到幅頻特性方程

(18)

引入擾動變量ξ=b1-bs和η=θ1-θs,并根據式(15)在奇點(bs,θs)附近取一次近似式

(19)

擾動變量一階微分方程式(19)本征方程為

(20)

根據李雅普諾夫的一次近似穩定性判據[35],根據實際參數計算給出解bs,θs漸進穩定的充分條件為q>0,根據該條件在主共振和內共振幅頻曲線圖中繪制穩定區域和不穩定區域判別曲線。此判別曲線將幅頻曲線分為穩定解曲線和不穩定解曲線(虛線)兩部分,如圖6(a)和圖7(a)所示。

圖6 主共振穩定性判別及相軌跡分析Fig.6 Primary resonance stability discrimination and phase trajectory analysis

圖7 內共振穩定性判別及相軌跡分析Fig.7 Internal resonance stability discrimination and phase trajectory analysis

以圖6和圖7所示的主共振和內共振情形為例來分析諧波振動的穩定性,在圖6(a)和圖7(a)中分別取σ=2,F=25及σ=5.5,F=250進行分析,并繪制相應的相軌跡圖,如圖6(b)和圖7(b)所示。結合幅頻曲線圖與相軌跡圖分析,可以看出當外部擾動頻率固定時,與振峰穩定解曲線相交的兩個點屬于穩定焦點,而與振峰腰部相交的不穩定解則以鞍點的形式出現。從相平面相軌跡圖可以看出,主共振情形的穩定焦點和內共振情形的穩定結點均與不穩定鞍點共存,過鞍點的分隔線劃分出穩定焦點和穩定結點的不同吸引盆,這正是引起幅頻特性曲線出現跳躍現象的原因。

5 軋機輥系的靜態分岔分析

在第2章得到的主共振幅頻方程(12),獲得b1的分岔方程,將其簡化為以下形式

(21)

式(21)可寫為

(22)

式中:m,n為開折參數;μ為分岔參數。m,n,μ見附錄B。令:

(23)

根據奇異性理論[36],式(23)是GS范式g(y,μ)=y7-μy=0的普適開折,奇異點為余維二的叉形點,于是系統有如下的分岔點集:

(1) 分岔點集B=φ

(4) 系統轉遷集∑=B∪H0∪H1∪D

根據分岔點集(4)得到轉遷集如圖8所示,圖中曲線將平面分為四個區域(Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ),不同區域以及臨界點所對應的拓撲結構如圖9所示。

圖8 系統轉遷集Fig.8 System transition set

圖9 系統拓撲結構圖Fig.9 System topology diagram

圖9中的局部分岔行為反映了系統的所有靜態分岔信息。當開折參數落在臨界曲線D時,隨著μ值增大,存在b1多解且躍遷現象,這將會導致系統振動顯著。當開折參數落在臨界曲線H1-,H1+以及H0,系統出現滯后現象。當開折參數穿過滯后點集進入區域Ⅱ,在分岔參數μ增大過程中,系統出現跳躍現象。當開折參數穿過雙極限點集進入區域Ⅲ,Ⅳ觀察到明顯的兩個極限點,可使系統在μ值較小時便產生明顯振動。當開折參數處于區域Ⅰ,系統擁有較大穩定區域,且不存在滯后跳躍等現象,可以有效降低系統振動。因此,在工程實踐中,有必要控制軋機的各種參數,以使開折參數m和n在區域Ⅰ中,從而提高極薄帶軋制過程的穩定性。

6 軋機輥系的振動控制

為了提高軋機系統穩定性,使工作輥振幅得到有效控制,設計一種狀態反饋控制器來降低擾動對系統穩定性以及工作輥振動的影響。

6.1 狀態空間表達式變換

狀態空間表達式變換方法是用來簡化非線性方程計算的可行數學方法,可以將系統平衡點轉移至原點,得到等效模型。

(24)

(25)

(26)

6.2 控制器設計

(27)

系統(27)的線性化矩陣為

線性化矩陣B的特征方程如下

λ7+p1λ6+p2λ5+p3λ4+p4λ3+

p5λ2+p6λ+p7=0

(28)

特征方程(28)的系數見附錄C。

特征方程式(28)的根均含有負實部是判斷系統穩定的充要條件,根據Routh-Hurwitz判據條件[38]得到如圖10所示的系統的穩定性控制區域,當ε=0.1,在正剛度與正阻尼作用下,控制增益km<0即可滿足系統穩定性條件。此時加入控制器的系統的平衡態是漸近穩定的,這表明通過合理地選取控制器的控制增益,可提高系統的穩定性。

(a)

(b)圖10 不同系統參數與控制增益系數確定的穩定區域Fig.10 The stability region determined by different system parameters and the optimal control gain

6.3 受控系統幅頻特性

將受控系統(27)轉化為如下形式

(29)

(30)

其中:

(31)

根據幅頻方程(31)可繪制幅頻曲線如圖11所示。可以看出,隨著控制增益km的減小,共振峰值得到明顯降低,但km達到一定程度后繼續減小,峰值不會降低,相鄰頻率下的振幅增大,但振峰彎曲程度減弱,躍遷不穩定性逐漸減弱。由此可知,增益系數選取適當值,可以實現在不增大相鄰頻率幅值的情況下,降低工作輥振幅且使系統穩定性得到提升。

圖11 控制增益對系統幅頻特性曲線的影響Fig.11 Amplitude frequency curve with the influence of the optimal control gain

6.4 數值仿真

綜合某實驗室280 mm森吉米爾二十輥軋機設備參數,取實際參數如表2所示。

表2 280 mm森吉米爾二十輥軋機設備參數Tab.2 Equipment parameters of 280mm Sendzimir 20-high rolling mill

由于工作輥在軋制過程中還會受到板材張力波動,軋制速度變化等因素引起的軋制力波動[39-40],故歸結設定為外部擾動力F=13 kN。為了驗證所設計的控制器的抑振效果,結合上述參數,調整控制增益km=-100,通過數值仿真,得到控制器施加前后時域曲線,相位圖,頻譜曲線和Poincaré截面圖如圖12～圖15所示。

(a) 未施加控制器系統

(b) 施加控制器后系統圖15 施加控制器系統前、后的Poincaré截面圖Fig.15 System Poincaré cross-section diagram before and after controller

從圖12中可以看出,在原系統不穩定的運行狀態下,施加控制器后系統在2 s左右達到穩定。原振動穩態最大位移幅值從2.0×10-6m穩定到1.5×10-6m,控制器可使系統振動得到一定程度抑制且系統穩定性得到明顯提高。圖13為頻譜曲線,可以發現原系統振動包含三個共振頻率,主共振頻率在850 Hz附近,次諧波共振頻率為50 Hz和100 Hz左右。施加控制器后,雖然主共振峰值沒有發生明顯改變。但次諧波共振峰值得到明顯有效抑制。因此,控制器可以抑制工作輥的垂直振動,提高軋機穩定運行和產品質量。

圖14表現為工作輥振動位移和振動速度的關系,可以看出施加控制器后,不僅使原系統的不穩定狀態得以穩定,而且建立的新穩定周期振動的幅值減少幅度明顯。圖15是Poincaré截面圖,對比圖15(a)、(b)可以看出施加控制器前后,系統從雜亂的散點趨于穩定的一點,說明通過控制器作用,系統振動狀態從不穩定狀態控制進入穩定狀態,進一步驗證了所設計控制器對工作輥抑振的有效性,在提高系統穩定性方面具有良好的控制效果。

7 結 論

本文建立了一種簡化二十輥軋機輥系的耦合振動模型,分析了輥系主共振和內共振情況下的振動特性及其穩定性,設計了一種狀態反饋控制器對工作輥的振動進行了有效的控制,結論如下:

(1) 根據二十輥軋機輥系的結構特點及極薄帶軋制工藝,簡化提出了一種具有非線性的六自由度輥系水平-垂直耦合動力學模型,為進一步揭示軋機的振動特性及穩定性分析奠定了基礎模型。

(2) 采用多尺度法求解得到了系統主共振和內共振兩種振動情況下的幅頻響應方程,分析了不同參數對各種共振情形下振動特性的影響。通過改變系統參數,可以有效減少共振區域,弱化跳躍現象,進而實現系統振動抑制。

(3) 根據李雅普諾夫一次近似穩定性判據,揭示了系統穩定焦點、穩定結點和不穩定鞍點的共存現象以及過鞍點的分隔線劃分出的不同穩定奇點的吸引盆。基于奇異性理論分析了軋機共振穩態響應分岔方程的穩定性,給出了系統的轉遷集和分岔拓撲結構圖,表明控制開折參數落入區域Ⅰ中有助于提高系統的穩定性。

(4) 通過對系統進行狀態空間表達式變換處理,基于Washout filter控制器原理設計了一種狀態反饋控制器,通過分析控制增益對幅頻特性的影響,表明選取適當控制增益可以實現在不增大相鄰頻率幅值的情況下,可降低工作輥振幅且提升了系統的穩定性;通過對比分析控制前后的時域圖、相位圖、頻譜圖以及Poincaré截面圖,表明所設計的控制器具有良好的工作輥減振效果。

附錄A

在內共振幅頻方程式(14)中

其中:

B1=2b1a2k2-1k2-2

B2=2b1b2k2-1k3-1

附錄B

在靜態分岔方程式(22)中

附錄C

在標準式線性化矩陣B的特征方程式(28)中