園丁還是木匠

蔣亦　萬姝瑋

【摘 要】 展示課堂實(shí)錄，三問數(shù)學(xué)探究課：什么是數(shù)學(xué)探究活動？數(shù)學(xué)探究活動的本質(zhì)是什么？數(shù)學(xué)探究活動中，老師的角色是什么？尋找讓學(xué)生提出問題、開放水平更高的探究課.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)探究；開放水平；切線；切點(diǎn)弦；弦切線

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》將數(shù)學(xué)探究活動作為高中數(shù)學(xué)課程的五大主題之一，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識、提高學(xué)生的探究能力已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要目標(biāo). 本文以2023年江蘇省評優(yōu)課課題，蘇教版普通高中教科書《數(shù)學(xué)（選擇性必修）》第一冊第67頁“問題與探究：圓的切線與切點(diǎn)弦”為例，三問數(shù)學(xué)探究活動，探尋站位更高、更自然的探究課.

1 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 提出問題

笛卡爾：“求切線不但是我所知道最有用最一般的問題，而且甚至可以說，是我唯一想要在幾何學(xué)里知道的問題.”

問題 在平面內(nèi)，過一點(diǎn)可作已知圓的幾條切線？如何求圓的切線方程？

2 思考

一堂富有思維含量的探究課，上課過程相當(dāng)流暢，老師設(shè)計(jì)的問題環(huán)環(huán)相扣，學(xué)生回答相當(dāng)?shù)轿唬n堂氛圍熱烈，為廣大教師認(rèn)可.但這也不禁引發(fā)筆者思考：“課堂氛圍熱烈，學(xué)生反應(yīng)到位”就是好課嗎？

2.1 什么是數(shù)學(xué)探究活動

數(shù)學(xué)探究活動是指圍繞具體數(shù)學(xué)問題開展自主探究、合作研究并最終解決問題的探究活動，是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的一類學(xué)習(xí)實(shí)踐活動［1］.課標(biāo)要求學(xué)生能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究.一般表現(xiàn)：發(fā)現(xiàn)并提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，尋求解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論［2］.“問題、證據(jù)、結(jié)論、論證”是探究活動的四個(gè)主要要素.根據(jù)告知要素的數(shù)量，數(shù)學(xué)探究活動的開發(fā)水平被劃分為四個(gè)層次，如表1.

“提出問題”和“探究1”還是挺自然的，“探究2”指向性太強(qiáng)，不自然，自然的問題應(yīng)該是：過圓外一點(diǎn)P的切線方程是什么？怎么會直接去思考探究1結(jié)論的遷移“x0x+y0y=r2表示怎樣的直線呢？”

探究2的提出應(yīng)該是這樣的：當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，過點(diǎn)P的切線方程太復(fù)雜，沒有價(jià)值. 回看探究1的結(jié)論非常漂亮. 實(shí)際上，當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，直線l：x0x+y0y=r2還是存在的，那么它表示怎樣的直線呢？

唯有經(jīng)歷這樣的過程，才能培養(yǎng)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)并提出有意義的數(shù)學(xué)問題”的能力，同時(shí)也將數(shù)學(xué)探究活動開放水平從水平三提高到水平四.

2.2 數(shù)學(xué)探究活動的本質(zhì)

筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)探究活動的本質(zhì)是“再創(chuàng)造”，就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來；教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生. 這是一種最自然的、最有效的學(xué)習(xí)方法［4］.

這節(jié)課為什么流暢，且學(xué)生反應(yīng)到位？探究1起點(diǎn)低，學(xué)生探究順利，老師及時(shí)總結(jié)（其實(shí)是一種“強(qiáng)化”：后續(xù)探究繼續(xù)這么干），教學(xué)重點(diǎn)探究2依然如此，更加強(qiáng)化了這種操作模式，直接促使教學(xué)難點(diǎn)探究3順利突破. 可以說，學(xué)生連一點(diǎn)彎路都沒有走，是老師“保姆式”的暗示，幫學(xué)生跨過了失敗、痛苦和無助，同時(shí)也剝奪了學(xué)生經(jīng)歷質(zhì)疑問難、勇于探究、敢于創(chuàng)新的機(jī)會.

2.3 數(shù)學(xué)探究活動中老師的角色

成為園丁，不是木匠！數(shù)學(xué)探究活動中，引導(dǎo)學(xué)生就像照顧花園，做老師就像做一個(gè)園丁.我們要為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)充滿疑問、百思不得其解、又欲罷不能且寬松自主的課堂空間.做老師不能像做一個(gè)木匠，設(shè)計(jì)探究路徑，因?yàn)樘囟ㄓ?jì)劃的局限性大，當(dāng)前順利，但是沒有可遷移性. 也許開放水平更高的探究會使課堂逃離我們的控制，而最大的園藝勝利和歡樂往往來自于此.

我們要考慮的是創(chuàng)造一片草地、樹籬或村舍花園.混亂是草地的榮耀，不同種類的花草可能會隨著環(huán)境的變化而榮枯交替，沒有哪一株植物能保證會成為最高、最美或最長盛不衰的那一株.優(yōu)秀的園丁致力于創(chuàng)造肥沃的土壤，以涵養(yǎng)整個(gè)生態(tài)系統(tǒng)，其中不同的植物具有不同的弱點(diǎn)和生長苦難［5］.

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 提出問題

笛卡爾：“求切線不但是我所知道最有用最一般的問題，而且甚至可以說，是我唯一想要在幾何學(xué)里知道的問題.”

3.2 數(shù)學(xué)探究

探究1 已知圓O：x2+y2=r2，一點(diǎn)P（x0，y0），寫出過點(diǎn)P的切線l的方程.

當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，切線1條，方程x0x+y0y=r2，反之亦然.

當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，切線2條，方程（略），非常復(fù)雜，沒有價(jià)值.

當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，切線不存在.

追問：當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，切線1條，方程x0x+y0y=r2——這個(gè)結(jié)論非常漂亮，能否拓展？

預(yù)設(shè)：當(dāng)點(diǎn)P不在圓上時(shí)，方程x0x+y0y=r2客觀存在，表示怎樣的直線呢？

探究2 已知圓O：x2+y2=r2，圓O外一點(diǎn)P，方程x0x+y0y=r2表示怎樣的直線呢？

3.3 數(shù)學(xué)應(yīng)用

已知圓O：x2+y2=4，過點(diǎn)M（4，n），作圓O的兩條切線，證明：切點(diǎn)連線過定點(diǎn).

探究3 已知圓O：x2+y2=r2，圓O內(nèi)一點(diǎn)P，方程x0x+y0y=r2表示怎樣的直線呢？

3.4 課堂小結(jié)（同上）

參考文獻(xiàn)

［1］ 許彬，王宗信. 由木工刻圖引發(fā)的數(shù)學(xué)探究活動［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2023（08）：29-33.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018：35.

［3］ 劉云，張廣祥.高中數(shù)學(xué)必修教科書中數(shù)學(xué)探究活動分析［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012（10）：5-8.

［4］ ［荷蘭］弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］.陳昌平，唐瑞芬等，譯.上海：上海教育出版社，1995：3.

［5］ ［美］艾莉森·高普尼克.園丁與木匠［M］.劉家杰，趙昱鯤，譯.杭州：浙江人民出版社，2019：15.

作者簡介 蔣亦（1982—），男，江蘇常州人，中學(xué)高級教師；獲江蘇省基本功大賽二等獎(jiǎng)、常州市評優(yōu)課二等獎(jiǎng)；主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)方法研究和試題研究.

萬姝瑋（1985—），女，江蘇常州人，中學(xué)一級教師；獲武進(jìn)區(qū)評優(yōu)課一等獎(jiǎng)；主要從事高中數(shù)學(xué)解題研究.