類比《經典詠流傳》　重溫經典高考題

【摘 要】 作為1984年高考的考生，對理工農醫類高考數學第四題記憶猶新．借鑒《經典詠流傳》欄目，從教36年來，一直將它作為立體幾何教學中的經典范例，演繹其權威性、示范性、輻射性．

【關鍵詞】 1984年高考數學試題；經典詠流傳；立體幾何

《經典詠流傳》是中央電視臺綜合頻道和央視創造傳媒有限公司聯合制作推出的文化音樂節目．《經典詠流傳》節目首先由主持人（撒貝寧）朗誦詩詞，接著經典傳唱人用流行歌曲的演唱方式重新演唱經典詩詞，在傳唱人的演繹中領略詩詞之美，再由嘉賓講述歌曲創作背景、時代意義，最后由資深評委專家（康震等）解讀經典背后的詩詞人文背景，引領觀眾共同品鑒歌詞文化內涵．

類比《經典詠流傳》節目，我們也重溫一下經典高考試題.

筆者作為理科生參加1984年高考，有幸錄取到師范院校數學專業學習，成為一名光榮的人民教師．從教高中數學36年，成長為特級教師、正高級教師，當選國家“萬人計劃”教學名師．時隔四十年，依然對當年的高考數學試題（理工農醫類）記憶猶新．尤其對第四題愛不釋手、流連忘返，并將其作為立體幾何教學中的經典范例，演繹其應用，彰顯其功能，收到良好效果．這是一道怎樣的試題呢？有著怎樣的精彩應用呢？

1 重溫經典試題

1984年全國高考數學試題（理工農醫類）第四大題（本題滿分12分，試卷滿分120分），原題如下（為了敘述方便，以下簡稱“案例1”）：

案例1 已知三個平面兩兩相交，有三條交線，求證這三條交線交于一點或相互平行．

2 嚴謹邏輯論證

2.1 文字語言等價切換為符號語言

已知：平面α，β，γ，直線l1，l2，l3，且α∩β=l1，β∩γ=l2，γ∩α=l3．

求證：P∈l1，且P∈l2，且P∈l3，或者l1∥l2∥l3．

2.2 符號語言等價切換為圖形語言

將符號語言等價切換為圖形語言，即構造滿足題意的三棱錐（圖1）與三棱柱（圖2）：

2.3 借助符號與圖形語言嚴密論證

證明如下：對于不重合的兩條直線l1，l2，要么相交，要么平行，二者必居其一．

4 贊美專家慧眼

鑒于案例1的經典性、權威性、輻射性、基礎性、本源性，為了警示一線教師高度重視案例1的功能與價值，專家在編寫新課標下的新版教材時特意反復出現案例1的“影子”，比如，文[1]第139頁“練習”第4題（以下簡稱題1）、文[1]第169頁“復習參考題8”第6題（以下簡稱題2）：

其中，題1是以符號語言呈現．因為b∥c，那么直線b與c確定平面γ，于是得到α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，這說明題1就是案例1的部分結論，也是題2（2）；題2的本質就是將案例1的兩個結論分拆為兩問，并以探究的形式呈現．題1、題2與案例1本質相同，讓人驚嘆教材編寫專家的睿智和慧眼，再一次彰顯案例1的重要性．

5 深度反思教學

立體幾何是研究現實世界物體的形狀、大小與位置關系的數學分支，立體圖形是立體幾何的研究對象，其中截面、共面、共點等問題屬于立體幾何的核心與本源，主要考查空間想象、邏輯推理、數學建模以及數學運算能力，目的在于建立空間感，優化思維，發展智力，提升素養，因而截面、共面等相關問題一直是教學、高考的熱點、重點與難點．

上述案例1的論證過程，看似簡單，其實構思過程很不容易，既是文字語言、圖形語言與符號語言的等價切換的抽象過程，又是構建數學模型（三棱錐、三棱柱）的具體過程，更是嚴謹、規范的邏輯推理論證過程，這是導致當年案例1得分極低的主要原因．上述案例2、案例3、案例4均為近期各地試卷中出現的試題，都是涉及立體幾何中的截面問題．對于案例2，學生未能正確作出經過三點A，E，F的完整截面，難以找到PC與平面ABE的交點為F，思維受阻而不得不直接放棄．對于案例3，大部分學生束手無策，難以在線段PC上找到點Q，使得A，E，Q，F四點共面．對于案例4，學生無法正確作出經過SB，CD，SD的中點的平面α，難以得到平面α截得四棱錐S-ABCD所得的完整截面．

教學實踐及考試統計數據都表明，學生害怕截面、共面問題，因為截面、共面等問題往往屬于邏輯推理論證層面，不方便甚至難以通過建立空間直角坐標系后借助坐標的代數運算來完成．上述案例2、案例3、案例4難度較大，而上述解答及證明過程簡潔明了，讓人賞心悅目，緣于借助案例1的結論．對于一道數學題目，當我們尋覓到一種妙解、巧證，宛如一彎絢麗的彩虹，折射出智者的光輝，體現出數學的魅力，正如克萊因感嘆：“一個精彩巧妙的證明，精神上近乎一首詩．”細心的讀者應該發現案例2的解答過程根本沒有利用已知條件“PA⊥平面ABCD；AB⊥AD”，從一個側面也說明了這些條件是多余的．命題專家之所以在命制試題時給出這些條件，緣于命題專家先入為主，默認解答案例2必須建立空間直角坐標系來處理，這也是專家命制數學試題時經常出現的瑕疵乃至錯誤．案例4連續兩次運用案例1的結論，折射出案例1的強大功能．其實，命題專家正是依據案例1的結論，采用逆向思維命制出案例4．

毫無疑問，1984年高考數學試題堪稱史上難度最大的年份之一．當年數學命題專家基于“出活題、考基礎、重能力”的指導思想，與目前新高考命題理念“反套路、考基礎、優思維、提素養”不謀而合，因而具有重要的研究價值．高考試題凝聚專家集體智慧，歷經長期實踐檢驗，具有權威性、示范性、輻射性，是教學中的經典范例．其實，每一年的高考試題中都有一些經典試題，值得深度研究，挖掘其內涵，彰顯其功能，突出其應用．期待有更多的數學同行將更多的經典數學試題像中央電視臺播出的《經典詠流傳》節目一樣，一代人一代人傳承下去，渴望有更多的數學雜志開辟這樣的特色專欄刊登這些經典試題，讓更多的數學后來人欣賞到當年精妙絕倫的經典試題．

案例1堪稱經典，經典應該傳承并發揚光大．

參考文獻

［1］ 中華人民共和國教育部．普通高中教科書·數學·必修第二冊（人教A版）[M].北京：人民教育出版社，2019．

作者簡介 王淼生（1966—），男，江西九江人，國家“萬人計劃”教學名師，福建省高層次A類人才，廈門市高層次A類人才，廈門市領軍人才，廈門市拔尖人才，正高級教師，特級教師；曾獲“蘇步青數學教育獎”一等獎，國家級基礎教育教學成果獎二等獎，全國教育科學研究優秀成果獎二等獎，福建省基礎教育教學成果獎特等獎；發表論文近300余篇．

基金項目 福建省教育科學“十四五”規劃2023年度課題“基于課程思政的高中數學課堂教學研究”（FJJKZX23-467）．