類比《經(jīng)典詠流傳》　重溫經(jīng)典高考題

【摘 要】 作為1984年高考的考生，對理工農(nóng)醫(yī)類高考數(shù)學(xué)第四題記憶猶新．借鑒《經(jīng)典詠流傳》欄目，從教36年來，一直將它作為立體幾何教學(xué)中的經(jīng)典范例，演繹其權(quán)威性、示范性、輻射性．

【關(guān)鍵詞】 1984年高考數(shù)學(xué)試題；經(jīng)典詠流傳；立體幾何

《經(jīng)典詠流傳》是中央電視臺綜合頻道和央視創(chuàng)造傳媒有限公司聯(lián)合制作推出的文化音樂節(jié)目．《經(jīng)典詠流傳》節(jié)目首先由主持人（撒貝寧）朗誦詩詞，接著經(jīng)典傳唱人用流行歌曲的演唱方式重新演唱經(jīng)典詩詞，在傳唱人的演繹中領(lǐng)略詩詞之美，再由嘉賓講述歌曲創(chuàng)作背景、時代意義，最后由資深評委專家（康震等）解讀經(jīng)典背后的詩詞人文背景，引領(lǐng)觀眾共同品鑒歌詞文化內(nèi)涵．

類比《經(jīng)典詠流傳》節(jié)目，我們也重溫一下經(jīng)典高考試題.

筆者作為理科生參加1984年高考，有幸錄取到師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)，成為一名光榮的人民教師．從教高中數(shù)學(xué)36年，成長為特級教師、正高級教師，當(dāng)選國家“萬人計劃”教學(xué)名師．時隔四十年，依然對當(dāng)年的高考數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）記憶猶新．尤其對第四題愛不釋手、流連忘返，并將其作為立體幾何教學(xué)中的經(jīng)典范例，演繹其應(yīng)用，彰顯其功能，收到良好效果．這是一道怎樣的試題呢？有著怎樣的精彩應(yīng)用呢？

1 重溫經(jīng)典試題

1984年全國高考數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）第四大題（本題滿分12分，試卷滿分120分），原題如下（為了敘述方便，以下簡稱“案例1”）：

案例1 已知三個平面兩兩相交，有三條交線，求證這三條交線交于一點或相互平行．

2 嚴(yán)謹(jǐn)邏輯論證

2.1 文字語言等價切換為符號語言

已知：平面α，β，γ，直線l1，l2，l3，且α∩β=l1，β∩γ=l2，γ∩α=l3．

求證：P∈l1，且P∈l2，且P∈l3，或者l1∥l2∥l3．

2.2 符號語言等價切換為圖形語言

將符號語言等價切換為圖形語言，即構(gòu)造滿足題意的三棱錐（圖1）與三棱柱（圖2）：

2.3 借助符號與圖形語言嚴(yán)密論證

證明如下：對于不重合的兩條直線l1，l2，要么相交，要么平行，二者必居其一．

4 贊美專家慧眼

鑒于案例1的經(jīng)典性、權(quán)威性、輻射性、基礎(chǔ)性、本源性，為了警示一線教師高度重視案例1的功能與價值，專家在編寫新課標(biāo)下的新版教材時特意反復(fù)出現(xiàn)案例1的“影子”，比如，文[1]第139頁“練習(xí)”第4題（以下簡稱題1）、文[1]第169頁“復(fù)習(xí)參考題8”第6題（以下簡稱題2）：

其中，題1是以符號語言呈現(xiàn)．因為b∥c，那么直線b與c確定平面γ，于是得到α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，這說明題1就是案例1的部分結(jié)論，也是題2（2）；題2的本質(zhì)就是將案例1的兩個結(jié)論分拆為兩問，并以探究的形式呈現(xiàn)．題1、題2與案例1本質(zhì)相同，讓人驚嘆教材編寫專家的睿智和慧眼，再一次彰顯案例1的重要性．

5 深度反思教學(xué)

立體幾何是研究現(xiàn)實世界物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)分支，立體圖形是立體幾何的研究對象，其中截面、共面、共點等問題屬于立體幾何的核心與本源，主要考查空間想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運算能力，目的在于建立空間感，優(yōu)化思維，發(fā)展智力，提升素養(yǎng)，因而截面、共面等相關(guān)問題一直是教學(xué)、高考的熱點、重點與難點．

上述案例1的論證過程，看似簡單，其實構(gòu)思過程很不容易，既是文字語言、圖形語言與符號語言的等價切換的抽象過程，又是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型（三棱錐、三棱柱）的具體過程，更是嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的邏輯推理論證過程，這是導(dǎo)致當(dāng)年案例1得分極低的主要原因．上述案例2、案例3、案例4均為近期各地試卷中出現(xiàn)的試題，都是涉及立體幾何中的截面問題．對于案例2，學(xué)生未能正確作出經(jīng)過三點A，E，F(xiàn)的完整截面，難以找到PC與平面ABE的交點為F，思維受阻而不得不直接放棄．對于案例3，大部分學(xué)生束手無策，難以在線段PC上找到點Q，使得A，E，Q，F(xiàn)四點共面．對于案例4，學(xué)生無法正確作出經(jīng)過SB，CD，SD的中點的平面α，難以得到平面α截得四棱錐S-ABCD所得的完整截面．

教學(xué)實踐及考試統(tǒng)計數(shù)據(jù)都表明，學(xué)生害怕截面、共面問題，因為截面、共面等問題往往屬于邏輯推理論證層面，不方便甚至難以通過建立空間直角坐標(biāo)系后借助坐標(biāo)的代數(shù)運算來完成．上述案例2、案例3、案例4難度較大，而上述解答及證明過程簡潔明了，讓人賞心悅目，緣于借助案例1的結(jié)論．對于一道數(shù)學(xué)題目，當(dāng)我們尋覓到一種妙解、巧證，宛如一彎絢麗的彩虹，折射出智者的光輝，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的魅力，正如克萊因感嘆：“一個精彩巧妙的證明，精神上近乎一首詩．”細(xì)心的讀者應(yīng)該發(fā)現(xiàn)案例2的解答過程根本沒有利用已知條件“PA⊥平面ABCD；AB⊥AD”，從一個側(cè)面也說明了這些條件是多余的．命題專家之所以在命制試題時給出這些條件，緣于命題專家先入為主，默認(rèn)解答案例2必須建立空間直角坐標(biāo)系來處理，這也是專家命制數(shù)學(xué)試題時經(jīng)常出現(xiàn)的瑕疵乃至錯誤．案例4連續(xù)兩次運用案例1的結(jié)論，折射出案例1的強大功能．其實，命題專家正是依據(jù)案例1的結(jié)論，采用逆向思維命制出案例4．

毫無疑問，1984年高考數(shù)學(xué)試題堪稱史上難度最大的年份之一．當(dāng)年數(shù)學(xué)命題專家基于“出活題、考基礎(chǔ)、重能力”的指導(dǎo)思想，與目前新高考命題理念“反套路、考基礎(chǔ)、優(yōu)思維、提素養(yǎng)”不謀而合，因而具有重要的研究價值．高考試題凝聚專家集體智慧，歷經(jīng)長期實踐檢驗，具有權(quán)威性、示范性、輻射性，是教學(xué)中的經(jīng)典范例．其實，每一年的高考試題中都有一些經(jīng)典試題，值得深度研究，挖掘其內(nèi)涵，彰顯其功能，突出其應(yīng)用．期待有更多的數(shù)學(xué)同行將更多的經(jīng)典數(shù)學(xué)試題像中央電視臺播出的《經(jīng)典詠流傳》節(jié)目一樣，一代人一代人傳承下去，渴望有更多的數(shù)學(xué)雜志開辟這樣的特色專欄刊登這些經(jīng)典試題，讓更多的數(shù)學(xué)后來人欣賞到當(dāng)年精妙絕倫的經(jīng)典試題．

案例1堪稱經(jīng)典，經(jīng)典應(yīng)該傳承并發(fā)揚光大．

參考文獻(xiàn)

［1］ 中華人民共和國教育部．普通高中教科書·數(shù)學(xué)·必修第二冊（人教A版）[M].北京：人民教育出版社，2019．

作者簡介 王淼生（1966—），男，江西九江人，國家“萬人計劃”教學(xué)名師，福建省高層次A類人才，廈門市高層次A類人才，廈門市領(lǐng)軍人才，廈門市拔尖人才，正高級教師，特級教師；曾獲“蘇步青數(shù)學(xué)教育獎”一等獎，國家級基礎(chǔ)教育教學(xué)成果獎二等獎，全國教育科學(xué)研究優(yōu)秀成果獎二等獎，福建省基礎(chǔ)教育教學(xué)成果獎特等獎；發(fā)表論文近300余篇．

基金項目 福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度課題“基于課程思政的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究”（FJJKZX23-467）．