談高考立體幾何試題改編路徑

盧榮亮　孫超逸　高貞

【摘 要】 從改編2023年全國(guó)新高考Ⅰ卷18題出發(fā)，應(yīng)用理論聯(lián)系實(shí)際的方法，探究高考立體幾何試題改編路徑：變背景、變條件、變問(wèn)題；以“摳圖法”得到新的幾何體，并通過(guò)8種不同解法談改編題的質(zhì)量．

【關(guān)鍵詞】 新高考；立體幾何；改編；變背景；變條件；變問(wèn)題

題目 （2023年全國(guó)新高考Ⅰ卷18題）如圖1，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．點(diǎn)A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．

（2）點(diǎn)P在棱BB1上，當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150° 時(shí)，求B2P．

我們知道高考立體幾何試題一共分三個(gè)部分：背景、條件、問(wèn)題，因此我們的改編路徑有以下幾種：條件、問(wèn)題均不變，形式變一變［1］；條件不變，問(wèn)題改變；條件改變，問(wèn)題不變；條件和問(wèn)題均改變；背景改變，條件和問(wèn)題均不變；背景改變，條件或問(wèn)題改變［2］．下面我們基于前五種路徑對(duì)2023年全國(guó)新高考Ⅰ卷18題進(jìn)行改編．為什么要改編第18題？因?yàn)楣P者參加了第18題的閱卷工作，發(fā)現(xiàn)第一問(wèn)有很多奇怪的解法，最常規(guī)的建系法反而不會(huì)用，因此就有了改編1—4．

改編1 題目條件不變，問(wèn)題也不變，只是問(wèn)題的形式變一變：

（1）證明：A2，B2，C2，D2四點(diǎn)共面．（問(wèn)法不一樣，本質(zhì)和原題一模一樣）

（2）點(diǎn)P在棱BB1上，當(dāng)二面角P-A2C2-D2的余弦值為－3/2 時(shí)，求B2P．

改編2 題目條件不變，改變問(wèn)題：

（1）證明：B2C2⊥平面A1B1CD；

（2）點(diǎn)P在棱BC上，求平面PA2C2和平面A2C2D2的余弦值的取值范圍．

答案：（1）略；（2）0，21/7

為什么想到問(wèn)題“B2C2⊥平面A1B1CD”？因?yàn)橛袑W(xué)生通過(guò)兩條直線垂直同一個(gè)平面證明兩直線平行．第（2）問(wèn)去掉“二面角P-A2C2-D2為150°” 這個(gè)條件，自然就有這樣的問(wèn)題：求平面PA2C2和平面A2C2D2的余弦值的取值范圍．

改編3 條件改變，問(wèn)題不變：把題目中的“BB2＝2”這個(gè)條件去掉，換成“B2為BB1上的動(dòng)點(diǎn)”．

（1）BB2的長(zhǎng)度為多少時(shí)，B2C2∥A2D2；

（2）當(dāng)B2C2∥A2D2，點(diǎn)P在棱BB1上，且二面角P-A2C2-D2為150° 時(shí)，求B2P．

答案：（1）BB2＝2；（2）B2P＝1

改編3把定點(diǎn)B2改為動(dòng)點(diǎn)B2，新問(wèn)題和原有問(wèn)題本質(zhì)一樣．

改編4 條件改變，問(wèn)題改變：把題目中的“BB2＝2”改為“BB2＝1”．

（1）求直線B2C2和直線A2D2夾角的余弦值；

（2）點(diǎn)P在棱BB2上，求平面PA2C2和平面A2C2D2的余弦值的取值范圍．

答案：（1）310/10 ；（2）21/7，3/2

改編4這兩個(gè)問(wèn)題也比較容易想到，而且可以換成許許多多類(lèi)似的問(wèn)題．

改編1—4的目的是什么？訓(xùn)練學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更準(zhǔn)確地說(shuō)訓(xùn)練學(xué)生用建系法解決立體幾何第一問(wèn)，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，訓(xùn)練基本技能．

前4種改編對(duì)我們一線教師非常簡(jiǎn)單，每一位普通教師都可以編出來(lái)，雖然簡(jiǎn)單，但對(duì)鞏固學(xué)生雙基的效果明顯．為了進(jìn)一步提升學(xué)生解決立體幾何問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為此筆者進(jìn)行了如下改編，并對(duì)其進(jìn)行全面解析，以幫助教師和學(xué)生更好的理解．

改編5是將高考題中P-A2B2C2D2直接從長(zhǎng)方體中摳出來(lái)．

改編5 如圖2所示，在四棱錐P-ABCD中，AB=BC=CD=DA=5，PA=22，PB=1，PC=2，PC⊥PA．

（1）求二面角P-AC-D 的大小；

（2）求四棱錐P-ABCD 的體積．

分析：這是個(gè)不規(guī)則的四棱錐，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定難度，但有不少解法值得我們一起探究，下面筆者提供8種不同解法供讀者朋友參考，以便學(xué)生訓(xùn)練，幫助他們提升空間想象能力、數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、立體幾何解題能力．

點(diǎn)評(píng) 改編5無(wú)疑是一次成功的改編，這樣不規(guī)則的四棱錐以前從未考過(guò)，有一定的新意，如果我們不指出它是從長(zhǎng)方體中摳出來(lái)的，教師和學(xué)生都很難想到．這道題或許還有更多的解法，在本文中不再一一敘述．展示8種解法的目的，一方面是為了提升教師和學(xué)生從不同角度解決立體幾何問(wèn)題的能力，另一方面也間接地說(shuō)明改編的質(zhì)量還可以．因?yàn)樵u(píng)價(jià)一道改編題的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)之一就是能否用多種解法去處理．當(dāng)然這道改編題對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，還是有一定難度，這也不影響這道改編題的價(jià)值．

參考文獻(xiàn)

［1］ 楊元韡．例談高中數(shù)學(xué)試題的改編式命制的策略［J］．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2019（02）：51-54＋59．

［2］ 龍艷文．高中數(shù)學(xué)試題改編的常用方法及意義［J］．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2018（12）：9-11．

作者簡(jiǎn)介 盧榮亮（1990—），男，江蘇南京人， 中學(xué)一級(jí)教師;研究方向?yàn)槌鯏?shù)研究和命題研究.

孫超逸（1996—），男，浙江溫州人， 中學(xué)一級(jí)教師; 研究方向?yàn)榻虒W(xué)研究.

高貞（1979—），女，浙江寧波人， 中學(xué)一級(jí)教師;研究方向?yàn)榻虒W(xué)研究．