談高考立體幾何試題改編路徑

盧榮亮　孫超逸　高貞

【摘 要】 從改編2023年全國新高考Ⅰ卷18題出發，應用理論聯系實際的方法，探究高考立體幾何試題改編路徑：變背景、變條件、變問題；以“摳圖法”得到新的幾何體，并通過8種不同解法談改編題的質量．

【關鍵詞】 新高考；立體幾何；改編；變背景；變條件；變問題

題目 （2023年全國新高考Ⅰ卷18題）如圖1，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．

（2）點P在棱BB1上，當二面角P-A2C2-D2為150° 時，求B2P．

我們知道高考立體幾何試題一共分三個部分：背景、條件、問題，因此我們的改編路徑有以下幾種：條件、問題均不變，形式變一變［1］；條件不變，問題改變；條件改變，問題不變；條件和問題均改變；背景改變，條件和問題均不變；背景改變，條件或問題改變［2］．下面我們基于前五種路徑對2023年全國新高考Ⅰ卷18題進行改編．為什么要改編第18題？因為筆者參加了第18題的閱卷工作，發現第一問有很多奇怪的解法，最常規的建系法反而不會用，因此就有了改編1—4．

改編1 題目條件不變，問題也不變，只是問題的形式變一變：

（1）證明：A2，B2，C2，D2四點共面．（問法不一樣，本質和原題一模一樣）

（2）點P在棱BB1上，當二面角P-A2C2-D2的余弦值為－3/2 時，求B2P．

改編2 題目條件不變，改變問題：

（1）證明：B2C2⊥平面A1B1CD；

（2）點P在棱BC上，求平面PA2C2和平面A2C2D2的余弦值的取值范圍．

答案：（1）略；（2）0，21/7

為什么想到問題“B2C2⊥平面A1B1CD”？因為有學生通過兩條直線垂直同一個平面證明兩直線平行．第（2）問去掉“二面角P-A2C2-D2為150°” 這個條件，自然就有這樣的問題：求平面PA2C2和平面A2C2D2的余弦值的取值范圍．

改編3 條件改變，問題不變：把題目中的“BB2＝2”這個條件去掉，換成“B2為BB1上的動點”．

（1）BB2的長度為多少時，B2C2∥A2D2；

（2）當B2C2∥A2D2，點P在棱BB1上，且二面角P-A2C2-D2為150° 時，求B2P．

答案：（1）BB2＝2；（2）B2P＝1

改編3把定點B2改為動點B2，新問題和原有問題本質一樣．

改編4 條件改變，問題改變：把題目中的“BB2＝2”改為“BB2＝1”．

（1）求直線B2C2和直線A2D2夾角的余弦值；

（2）點P在棱BB2上，求平面PA2C2和平面A2C2D2的余弦值的取值范圍．

答案：（1）310/10 ；（2）21/7，3/2

改編4這兩個問題也比較容易想到，而且可以換成許許多多類似的問題．

改編1—4的目的是什么？訓練學生的基礎知識和基本技能，更準確地說訓練學生用建系法解決立體幾何第一問，鞏固基礎知識，訓練基本技能．

前4種改編對我們一線教師非常簡單，每一位普通教師都可以編出來，雖然簡單，但對鞏固學生雙基的效果明顯．為了進一步提升學生解決立體幾何問題的能力，提升學生的數學素養，為此筆者進行了如下改編，并對其進行全面解析，以幫助教師和學生更好的理解．

改編5是將高考題中P-A2B2C2D2直接從長方體中摳出來．

改編5 如圖2所示，在四棱錐P-ABCD中，AB=BC=CD=DA=5，PA=22，PB=1，PC=2，PC⊥PA．

（1）求二面角P-AC-D 的大小；

（2）求四棱錐P-ABCD 的體積．

分析：這是個不規則的四棱錐，對學生來說有一定難度，但有不少解法值得我們一起探究，下面筆者提供8種不同解法供讀者朋友參考，以便學生訓練，幫助他們提升空間想象能力、數學抽象能力、數學運算能力、立體幾何解題能力．

點評 改編5無疑是一次成功的改編，這樣不規則的四棱錐以前從未考過，有一定的新意，如果我們不指出它是從長方體中摳出來的，教師和學生都很難想到．這道題或許還有更多的解法，在本文中不再一一敘述．展示8種解法的目的，一方面是為了提升教師和學生從不同角度解決立體幾何問題的能力，另一方面也間接地說明改編的質量還可以．因為評價一道改編題的質量標準之一就是能否用多種解法去處理．當然這道改編題對大多數學生來說，還是有一定難度，這也不影響這道改編題的價值．

參考文獻

［1］ 楊元韡．例談高中數學試題的改編式命制的策略［J］．數學通訊，2019（02）：51-54＋59．

［2］ 龍艷文．高中數學試題改編的常用方法及意義［J］．數學通訊，2018（12）：9-11．

作者簡介 盧榮亮（1990—），男，江蘇南京人， 中學一級教師;研究方向為初數研究和命題研究.

孫超逸（1996—），男，浙江溫州人， 中學一級教師; 研究方向為教學研究.

高貞（1979—），女，浙江寧波人， 中學一級教師;研究方向為教學研究．