對2023年新高考Ⅱ卷解析幾何的探究

【摘 要】 對2023年全國新高考數學Ⅱ卷第21題進行了探討，分析試題的解法，推廣得到更一般的結論，探尋試題的命制背景.

【關鍵詞】 高考題；解法探究；溯源；非對稱;推廣

高考試題具有很好的引領與指導作用，吸引著眾多教師學習、探秘、改編.下面是對2023年全國新高考數學Ⅱ卷第21題的一點思考，供大家參考.

1 真題呈現

2023年全國新高考Ⅱ卷第21題如下：

已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為（－25，0），離心率為5.

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點B（－4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P，證明：點P在定直線上.

本題考查了雙曲線的標準方程，直線與雙曲線的位置關系，意在考查學生數形結合的數學思想和運算求解能力，對考生的邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力有較高的要求，試題解法多樣，內涵豐富，突出選拔功能，是一道非常好的高考壓軸題.

結論11 如圖4，已知橢圓x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），點M（x0，y0）是平面內一定點，過點M任作一直線交橢圓于A，B兩點，交直線l：x0x/a2+y0y/b2=1于點E，P為過E與x軸垂直的直線上的任意一點，則直線PA，PM，PB的斜率成等差數列．

結論12 已知雙曲線x2/a2－y2/b2=1（a>0，b>0），點M（x0，y0）是平面內一定點，過點M任作一直線交雙曲線于A，B兩點，交直線l：x0x/a2－y0y/b2=1于點E，P為過E與x軸垂直的直線上的任意一點，則直線PA，PM，PB的斜率成等差數列．

結論13 已知拋物線y2=2px（p>0），點M（x0，y0）是平面內一定點，過點M任作一直線交拋物線于A，B兩點，交直線l：y0y=p（x0+x）于點E，P為過E與x軸垂直的直線上的任意一點，則直線PA，PM，PB的斜率成等差數列．

結論14 如圖5，已知橢圓x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），點E（x0，y0）是平面內一定點，過點E任作一直線交橢圓于A，B兩點，交直線l：x0x/a2+y0y/b2=1于點M，P為過E與x軸垂直的直線上的任意一點，則直線PA，PM，PB的斜率成等差數列．

結論15 已知雙曲線x2/a2－y2/b2=1（a>0，b>0），點E（x0，y0）是平面內一定點，過點E任作一直線交雙曲線于A，B兩點，交直線l：x0x/a2－y0y/b2=1于點M，P為過E與x軸垂直的直線上的任意一點，則直線PA，PM，PB的斜率成等差數列．

結論16 已知拋物線y2=2px（p>0），點E（x0，y0）是平面內一定點，過點E任作一直線交拋物線于A，B兩點，交直線l：y0y=p（x0+x）于點M，P為過E與x軸垂直的直線上的任意一點，則直線PA，PM，PB的斜率成等差數列．

參考文獻

［1］ 于新華.二次曲線中極點與極線性質的初等證法[J] .數學通訊（下半月），2020（12）：40-41.

［2］ 劉旭飛. 對一道模塊考試題的再探究[J]. 數學通訊（下半月），2016（05）：44-47．

作者簡介 劉旭飛（1982—），男，中學高級教師，碩士，溫州市第二層次骨干教師；主要從事中學數學教學研究；發表論文10余篇.