淺析“對勾函數”的頂點

【摘 要】 “對勾函數”的實質是一般雙曲函數. 通過坐標系旋轉的方法和對曲線相關幾何性質的分析，給出嚴格的推導，證明該曲線為雙曲線，從而對這類函數的頂點及其所對應雙曲線的頂點位置進行討論，通過甄別二者的差異，加深對方程與曲線的概念理解.

【關鍵詞】 “對勾函數”；坐標旋轉；數形結合

1 問題提出

數學家華羅庚曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.”這句話是對數學學習中數形結合思想的形象闡述. 數形結合思想是學習數學的重要途徑，尤其是解決函數問題的“殺手锏”. 在學習基本初等函數時，有這樣一類特殊的函數［1］，其解析式可寫為f（x）=ax+b/x（a>0，b>0），由于其圖象酷似試卷上的對勾，故而得名“對勾函數”.根據均值不等式，當x>0時，ax+b/x≥2ab，當且僅當x=b/a時取最小值，并且在0，b/a單調遞減，在b/a，+∞單調遞增，再利用其奇偶性，不難得出其在－b/a，0單調遞減，在－∞，－b/a單調遞增. 我們將函數圖象的最高點或者最低點稱為函數的頂點，因此，點Ab/a，2ab，B－b/a，－2ab即為“對勾函數”的頂點，如圖1所示.

實際上，這里提到的函數的頂點，與曲線的頂點并不完全相同. 例如二次函數頂點，就是其圖象拋物線的頂點，這并無異議. 但是嚴格的說，我們還沒有弄清“對勾函數”圖象的類型，這樣的圖象是否有頂點還屬未知. 那么，對勾函數的圖象到底是什么曲線呢？這樣的曲線有頂點嗎？點A，B是不是這條曲線的頂點呢？接下來，我們先從其圖象屬性談起.

2 圖象分析

根據“對勾函數”的解析式，不難得出其圖象有兩條漸近線，即直線x=0和y=ax，綜合函數的其他性質，結合學生所學的內容，可以初步猜測函數的圖象雙曲線. 我們通過坐標旋轉的方式推導其標準方程. 為簡便且不失一般性，接下來的推導將函數簡化為f（x）=x+1/x.

如果“對勾函數”的圖象確實為雙曲線，那么雙曲線的實軸和虛軸將在兩條漸近線的角平分線上，如圖2，

不難得出圖中虛線對應的方程為y=x·tan3π/8，以此線為實軸，只需將圖中坐標系順時針旋轉3π/8. 這里借助復數的三角形式進行推導.

3 頂點辨析

大部分學生并沒有嚴格推導過“對勾函數”圖象的屬性，因此很可能誤以為函數的頂點就是其曲線的頂點. 現在曲線特征已經清楚了，很顯然二者并不是同一位置的點. 雙曲線的頂點，指的是雙曲線實軸的端點，也就是雙曲線與實軸所在直線的交點. 按前面的推導，對函數f（x）=x+1/x來說，其頂點應該在曲線與對稱軸y=x·tan3π/8的交點C，D處（由于數值較為復雜，此處不提供坐標），而我們前面提到的點A（1，2）和點B（-1，-2）顯然不在直線y=

x·tan3π/8上，而是在直線y=2x上. 如圖3，以雙曲線的右支為例，可以直觀地認為點A（1，2）是函數圖象的最低點，但C點則為曲線真正的頂點.

如果我們將以上的推導結果呈現給學生，可能他們會有一點點失望，前面辛辛苦苦推導出來的雙曲線的頂點，并不是“對勾函數”的頂點. 那我們的這一番辨析和證明，還有什么實際意義嗎？雙曲線的這兩個頂點，在函數運算中好用嗎？

相信大部分學生的回答是否定的，不好用，以前甚至沒聽說過. 然而，這樣的辨析和推導非常有意義，至少我們能從中探究曲線類型的特征，能將解析幾何和函數圖象深入地有機結合，這樣的融合，不僅有實際意義，更具備很高的理論價值.

4 問題小結

學生對函數的基本知識和基本方法已經有了較好的掌握，對基本初等函數的性質和圖象有了比較深刻的認識. 隨著學習的深入，我們會不斷遇到曾經熟悉的知識的新面孔. 例如前面提到的二次函數圖象是拋物線，那么這個函數圖象上的點是不是真的滿足拋物線“曲線上的點到平面內定點距離與到定直線（定點不在定直線上）的距離相等”這一標準定義呢？還有學生初中學過的反比例函數，它的圖象也是雙曲線，那么曲線上的點也符合雙曲線的定義嗎？這其實是對老師和學生提出的更高要求，我們需要在不斷的學習新知識的過程中加深對已有知識內涵的探究和理解，這樣的動態過程非?？少F，值得堅持和大力發揚.

當然，本文中用到的一些方法也并非是最優解法，學生完全可以提出自己的優化方法. 例如坐標系旋轉問題，如果有更加簡潔的方式，也完全可以替換；還比如雙曲線特征的切入角度，大家也都可以不斷完善不斷修正. 我們引導學生用自己所學，探究課本上或生活中的數學問題，這將使他們的學習不斷生活化，不斷充滿挑戰，也必然不斷增添新的趣味.

回到前面的問題. 從實用性角度看，顯然A，B兩個點更加好用，或者說更“漂亮”. 但實事求是的說，學習數學的真正意義是研究問題和解決問題，其前提是學習者必須要搞清楚問題的實質，知道其所以然，那么關乎命名、稱謂等外圍的問題就“各花入各眼、各名歸各人”了. 就好比“對勾函數”，這并不是課本上給出的規范名稱，但其通用程度并不亞于指數函數、對數函數等“正牌函數”. 可沿用至今，學生似乎并沒有對這個名稱左右挑揀：“對勾函數”能體現這個函數的什么性質呢？反映函數冪次了嗎？體現函數性質了嗎？涉及到運算特征了嗎？都沒有. 但是，論形象，論生動，這又是最佳的名稱，而我們廣泛提到的所謂數學核心素養［2］，往往在這樣形象和生動的意象中慢慢醞釀成型，深入同學們的內心.

總而言之，通過不斷的探究、辨析、對比、認定，我們應該更加清楚地認識到，既合情又合理的現象固然大家喜聞樂見，但真理的存在及其意義是我們每個人都無法改變的，我們需要探究它、優化它，但前提必須是保護它、尊重它；同樣，實際的稱謂和意義是我們可以適當賦予的，我們需要使之科學化、規范化，但目的一定是使我們所學知識更加生動化、形象化. 這既是數形結合的較高境界，也是理論和現實的完美融合.

參考文獻

［1］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心編著. 普通高中課程標準實驗教科書·數學（B版）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 章建躍. 樹立課程意識，落實核心素養［J］. 數學通報，2016，55（05）：1-4.

作者簡介 崔鵬（1984—），男，高級教師，年級組長，北京數學會會員，海淀區學科帶頭人，海淀區名師工作站出站；主要研究數學課堂教學、教材教法分析以及數學學科德育教學.

基金項目 北京市海淀區教育科學“十四五”規劃重點課題“基于核心素養的高中數學教學情境設計與研究”（HDGH20210216）.