探究概率數列模型中的馬爾科夫鏈

胡坤　任蘭蘭

【摘 要】 馬爾科夫鏈本質上是一條時間序列，下一時刻的狀態只依賴于上一時刻的結果.在最新的計算數學與應用數學科研領域中，常用馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法（MCMC）進行參數估計.由于馬爾科夫鏈具備良好的概率性質，因此，在高中數學概率問題中引用馬爾科夫鏈成為了熱潮.同時，由于概率問題的求解常會遇到遞推公式，所以，借助數列方法顯得格外重要.以兩個馬爾科夫鏈模型——“賭徒破產”和“懸崖漫步”為例，敘述解題方法和相關結論.

【關鍵詞】 高中數學；概率數列模型；馬爾科夫鏈；MATLAB;仿真分析

概率統計是高中數學的重要一章.近年來，隨著概率題的不斷升級，以條件概率和全概率為基礎的數列模型被挖掘出來，不斷上升為考試熱點.以2023年新高考全國Ⅰ卷為例，第21題也考查了概率數列模型，重視程度可見一斑.目前，有文獻表明，概率數列模型的應用場景非常廣泛，涉及博弈、金融、預測等領域［1］.下文以近期較熱門的馬爾科夫鏈為例［2］，闡述概率數列模型在這類問題中的解決辦法，并利用數學軟件MATLAB進行仿真分析，得出背后的一些數理結果.

1 馬爾科夫鏈——“賭徒破產”模型

馬爾科夫鏈的數學定義：假設序列狀態是…，Xt－2，Xt－1，Xt，Xt+1，…，那么Xt+1時刻的狀態的條件概率僅依賴前一狀態Xt，即P（Xt+1|…，Xt－2，Xt－1，Xt）=P（Xt+1|Xt）.

現實生活中存在著許多馬爾科夫鏈，如著名的“賭徒破產”模型［3］.假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭贏的概率為1/2，且每局賭贏可以贏得1元；每一局賭輸的概率也是1/2，且賭輸就要輸掉1元.賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結束賭博游戲：一種是手中的賭金為0元，即賭徒輸光；另一種是賭金達到預期的B元，賭徒停止賭博.記賭徒的本金為A元（A∈N*，A

3 結語

高中階段，概率是高考的必考一章，從各地區的模擬題和高考題可看出，概率的數列模型已成為研究熱點［1-2］.學生對古典概型、二項分布、超幾何分布、正態分布（連續型和離散型）等學習可能較為熟悉，而對數列和概率交叉形成的模型較為陌生，特別是復雜的構造問題.經過本文的敘述可以得出，教師在概率教學中要大膽創新，積極研究考試熱點，啟發學生用發展的眼光看問題，用交叉的思路解題，為大學不同專業的學習和發展打下基礎.

參考文獻

［1］ 劉海濤.探析隱藏在高考概率題中的數列模型［J］.數學教學研究，2021，40（05）：63-67.

［2］ 董曉立.數學精微何處尋，紛紜題海有模型——一類基于馬爾科夫鏈的概率試題研究［J］.數學之友，2022，36（18）：80-81+84.

［3］ 王穎俐，嚴俊秀.賭徒輸光問題的解法［J］.太原師范學院學報（自然科學版），2016，15（01）：6-8+12.

作者簡介 胡坤（1992—），男，安徽池州人，碩士，中學一級教師；研究方向為反問題計算及資料同化方法；發表SCI論文2篇，高中數學教學研究論文7篇.

任蘭蘭（1991—），女，江蘇蘇州人，碩士，中學一級教師；研究方向為初等數學教學；發表論文2篇.

基金項目 江蘇省現代教育技術研究2021年度立項課題“基于現代信息技術的高中數學教學模式創新研究”（2021-R-94387）；2022年度“姑蘇教育人才”項目“基于‘自研·共習·自求的中學數學教師協同發展路徑的實踐研究”（RCZZ202209）.