對一道“α旋轉函數”試題的解析與思考

【摘 要】 對山東省2023年高三模擬考試中一道新定義——“α旋轉函數”試題的分析、解答，比較兩種解法的特點，揭示問題的內涵實質和解法背后蘊含的數學思想方法.通過對試題的遷移發散和與例題的比較，總結提煉解析此類問題的一般思路.

【關鍵詞】 α旋轉函數；坐標旋轉變換；等價轉化；比較；遷移

高考評價體系從核心功能、考查內容、考查要求三個方面回答了為什么考、考什么、怎么考，明確了“一核四層四翼”，強調了試題應具備基礎性、綜合性、應用性和創新性，以立德樹人、服務選才、引導教學為目標，考查學生的必備知識、關鍵能力、學科素養和核心價值.山東省實驗中學2024屆高三一診數學試卷第12題就是這樣一道兼具綜合性和創新性的具有較好選拔功能的題目.

1 試題呈現與解析

例1 （山東省實驗中學2024屆高三一診數學第12題，多選題）在平面直角坐標系xOy中，將函數y=f（x）的圖象繞坐標原點逆時針旋轉α（0°<α≤90°）后，所得曲線仍然是某個函數的圖象，則稱f（x）為“α旋轉函數”，則（）.

4 一點思考和建議

4.1 抽象問題具體化是試金石也是敲門磚

數學是一門高度抽象的學科，而新定義題中的新概念、新性質、新運算、新模型等對于學生而言就更加抽象、更加陌生了.如何將陌生的、未知的問題轉化為熟悉的、已知的問題呢？抽象問題具體化是試金石也是敲門磚.如文章例1中對于A，B兩個選項的解答，就是很好的抽象問題具體化的體現：“α旋轉函數”對于學生而言非常抽象，但是對于選項A，很容易聯想到斜率之積為-1的兩條直線互相垂直，考慮特殊情況就是函數y=x與y=－x，再結合函數的定義，就能判斷出A正確；同理選項B也是用特殊的、具體的函數y=（tan10°）x來處理.抽象問題具體化一下子就將陌生問題轉化為了熟悉的問題.

4.2 等價轉化等數學思想是關鍵也是核心

抽象問題具體化能解決問題的特殊情形，但是對于一般的情況則需要用到等價轉化等數學思想方法，這是將陌生問題轉化為熟悉問題進而解決問題的關鍵也是核心.如例1中C，D選項，在假設學生知道坐標旋轉變換公式的前提下，還需要結合函數的定義將原問題等價轉化為f（x）為“45°旋轉函數”函數y=f（x）－x在定義域內是一一映射.進而轉化為判斷函數的單調性.在假設學生不知道坐標旋轉變換公式的前提下，還可以用“相對”的思想，將原問題等價轉化為斜率為1的直線與原函數圖象的交點個數問題，最后也可以歸結到判斷函數y=f（x）－x在定義域內的單調性上來，兩種思路和解法殊途同歸.由此可見，要想將學生陌生的、未知的、儲備知識之外的問題轉化為熟悉的、已知的、能力范圍內的問題，逆向思維、相對思想、數形結合、等價轉化等數學思想必不可少，這其中又以等價轉化思想最為關鍵.

4.3 比較聯想、發散遷移是深入研究問題的必由之路

做一題會一題是必須的，但是做一題會一類題，做一題能對數學解題甚至對數學本身有更深層次的認識和理解才是解題教學的追求.“α旋轉函數”問題，表面上就是兩個問題：一個是旋轉問題，一個是函數定義問題.通過解題，又能聯想并提出許多新的、有價值的問題.例2的設置，就是對例1的發散遷移、深入研究，并且結合極坐標、三角、數列、函數等知識探究了問題的一般性結論.比較例1例2中四個選項、解法1和解法2、例1和例2，會對此類問題及其解法有更深的認識和理解.綜合聯想所學知識、思想方法，發散遷移，深入研究問題，理解問題的實質和解題的本質，能促進數學知識、思想方法形成體系，使各種解題方法融會貫通、織成網絡，有利于引導學生更深入地認識和理解數學，培養和發展其數學抽象、邏輯推理和數學運算等核心素養.

參考文獻

［1］ 李鴻昌. “斜橢圓”面積的八種求解方法［J］. 中學數學雜志， 2023（09）：43-46.

［2］ 徐潑. 一個旋轉變換函數問題［J］. 數學教學，2019（08）：21-23.

作者簡介 陳超（1989—），男，湖北應城人，中學一級教師；主要從事高中數學教學研究；發表論文多篇.