微項目學習融入數學常態課的實踐

徐彩鳳　林俊晨

【摘 要】 數學微項目學習是數學項目學習的一種方式，它繼承了數學項目學習優勢，同時也能融入數學常態課.以“對數函數的概念與性質”單元第一課時為例，從微項目主題、結構性的知識網絡、驅動性問題、活動設計和成果展評五個環節對微項目學習融入數學常態課進行實踐，嘗試轉變教學模式，促進學生主動建構知識網絡，提升教學質量.

【關鍵詞】 數學項目學習；數學微項目學習；數學常態課；對數函數

“項目學習”是近年來教育界的熱點，國家對項目學習的開展十分重視.2019年《國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》提出注重“項目設計”等跨學科綜合性教學.同年，中共中央、國務院印發《關于深化教育教學改革全面提升義務教育質量的意見》提出開展項目化學習.2020年版的普通高中課程標準提出了大單元教學、主題學習、任務群等體現項目學習理念的學習方式改革的要求.學科項目化學習的設計一方面是基于課程標準中的關鍵能力或概念，另一方面又指向創造性、批判性思維、探究與問題解決、合作等重要的學科素養.這種項目化學習的定位，體現了將學科學習的學與教方式的變革與真實問題解決情境的整合［1］.《普通高中數學課程標準（2017年版2020修訂）》指出，數學源于對現實世界的抽象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等，理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律［2］.可見，數學與現實世界密切相關，來源于生活，又服務于生活，高中數學的很多內容都可以采用項目學習，項目學習的實施有利于促進學生實踐能力和創新意識的發展.

1 數學項目學習

從數學教學模式角度看，數學項目學習是一種重視學生主體性發揮的教學方法，特別是學生的學習活動動機和學習責任感.從課程設計的角度考慮，數學項目學習的設計是特定課程開發的過程.在數學項目教學與課程實施實踐中，還需要考慮如何為學生提供一定復雜性、真實且充滿問題的學習情境，以促進學生持續的探索和學習.數學項目學習有助于學生接觸到各個學科領域，使他們更易于理解數學概念，體會不同學科之間的相互聯系，激發學生的學習興趣，促進學生主動參與數學學習，啟迪思維，引導學生探尋問題，尋求解決策略，促進反思與批判性思維［3］.

2 數學微項目學習

與傳統的數學教與學相比，數學項目學習實踐對教師和學生都是一種挑戰，教師和學生都存在對項目學習的“不適應”.高中數學教學因其內容多，時間緊，很多教師不敢貿然采用項目學習教學方式，因此數學項目學習并未在高中數學教學中實現大規模推廣應用.正是在此背景下，數學微項目學習應運而生.夏雪梅博士在《項目化學習設計：學習素養視角下的國際與本土實踐》一書中界定微項目學習為在課堂中為學生提供15～20分鐘的探索性項目任務，它的核心價值取向和設計思路與學科、跨學科項目化學習是一樣的，只是在一節課中很難進行完整設計，通常只取其中的驅動性問題、探究性實踐、社會性實踐這幾個要素［4］.數學微項目學習具備數學項目學習以學生為中心、強調學習的情景化、問題驅動等優點，它將數學學科核心知識設計成可操作易實施的微項目，使其小到被常規課程所容納，教師可以方便地將數學微項目學習更好地融入數學教學中，從而促進課堂育人方式的轉變.數學微項目學習具有六個特征（如圖1），能提高學生思維的參與度，更好地把握數學本質，促進學生實踐能力和創新意識的發展.

3 微項目學習融入數學常態課的實踐

設計數學微項目時，需要考慮如何緊扣本單元的核心內容選取有挑戰性的主題，項目實施時用到哪些知識點，學生在實施過程中會碰到哪些困難，怎樣通過設計驅動性問題來突破，預設學生能達到怎樣的水平等等.因此，一個完整的數學微項目學習需包括微項目主題、結構性的知識網絡、驅動性問題、活動設計和成果展評五個環節.下面以人教A版必修第一冊“對數函數的概念與性質”單元第一課時為例進行微項目學習設計.

3.1 微項目主題

項目學習的主題是項目的“心臟”，它指某個待探究的數學課題或者亟待解決的情境性問題［5］.每個微項目主題的設計要明確指向本課時的學習目標.在此基礎上，要對整個單元內容進行分析和課時安排，具體如表1所示.

基于此，確定本單元項目主題為“考古學家如何利用碳14測年技術來確定年份？——指數函數和對數函數的相互關系”.具體可描述為：碳14測年技術被比喻為“計算時間的時鐘”，通過這一方法可以建立人類歷史的時間標尺，為人類社會各個階段的發展確立時間點.我國著名考古學家夏鼐先生評價“碳14測定年代法的采用，使中國的新石器考古學因為有了確切的年代序列而進入了一個新時期”.

指數函數y=（1/2）^{x/5 730}（x≥0）描述了死亡生物內碳14的含量y隨死亡時間x的推移而不斷衰減的規律.已知考古學家用科學儀器測出死亡生物體碳14的含量為0.8，請判斷該生物死亡了多長時間，并建立相應函數模型.

3.2 結構性的知識網絡

數學項目的主題一般基于相應的數學內容或單元內容，學生在進行項目化學習時應先建構相應主題的知識網絡.在學習對數函數之前，學生已經知道對數運算是指數運算的逆運算.按照這一思路，利用對數函數是指數函數的反函數這一性質，研究對數函數問題自然也是指數函數“反過來的問題”.本項目涉及的核心概念有對數函數的定義、對數函數的圖象與性質、反函數，可建構如下知識網絡（圖2）.

3.3 驅動性問題

數學項目的驅動性問題是根據本項目的重難點進行設置的，進行項目前先預設學生學習過程中可能出現的障礙，再以問題情境驅動微項目學習.本項目中，學生需要面對如何獲得對數函數的概念，如何利用指數函數的圖象得到對數函數的圖象以及如何研究對數函數的性質等困難，因此設計以下驅動問題：

問題1：前面利用指數與對數的相互關系，我們得到時間x關于碳14含量y的函數模型x=log5 7301/2y，y∈（0，1］.一般地，對于指數函數y=ax（a>0，且a≠1），同理可得x=logay（a>0，且a≠1），這是一個函數嗎？

追問：自主閱讀人教A版必修第一冊第130頁例1之前的內容，你能根據指數函數與對數函數對應關系之間的聯系，得到對數函數的底數的取值范圍、定義域和值域嗎？

問題2：由問題1可知指數函數和對數函數的定義域和值域互換，那么指數函數圖象上的點和對數函數圖象上的點是不是有此特征呢？

追問：在同一個直角坐標系中畫出函數y=2x和函數y=log2x的圖象，并觀察兩個圖象之間有什么關系？不用描點法，你能借助y=2x的圖象作出y=log2x的圖象嗎？

問題3：底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于y軸對稱，那么底數互為倒數的兩個對數函數是否也有某種對稱性呢？依據你得到的結論，利用函數y=log2x的圖象畫出函數y=log1/2x的圖象.

問題4：類比指數函數性質的研究過程，你能寫出對數函數y=logax（a>0，且a≠1）的性質嗎？

問題5：對比指數函數和對數函數的圖象和性質，你有什么發現？能得到什么結論？

問題6：回到項目主題，從數學角度解釋死亡時間隨碳14含量的衰減而變化的規律.

3.4 活動設計

活動設計是根據驅動問題來設計，是有目的的行動，以避免學生活動變成一種盲目的忙碌、活躍.學生通過主動探索和交流，能獲得新知識、新的思想方法和行動策略等.本項目活動設計如下：

活動1：根據指數和對數之間的關系，得到對數函數的三要素，指出對數函數和指數函數的底數相同，定義域和值域互換.

活動2：教師先示范通過指數函數y=2x的圖象得到對數函數y=log2x的圖象的方法，觀察得出指數函數y=2x的圖象和對數函數y=log2x的圖象關于y=x對稱，指出已知y=2x的圖象就可以利用這種對稱性得到y=log2x的圖象.

活動3：學生類比指數函數中的研究方法，在同一坐標系中利用對數函數y=logax（a=2，3，4）的圖象，根據底數互為倒數的兩個對數函數的圖象關于x軸對稱，利用對稱性得到對數函數y=logaxa=1/2，1/3，1/4的圖象.

活動4：類比指數函數的性質，分析對數函數的性質.

活動5：比較指數函數和對數函數的圖象和性質，指出指數函數和對數函數互為反函數.

活動6：學生利用今天所學知識，對死亡時間隨碳14含量的衰減而變化的規律進行分析.

3.5 成果展評

項目成果展示、評析是微項目學習的高潮.在活動過后，及時展示學生作品，先比照差異，通過師生互評、生生互評等方式分析原因，學生在這個過程中可以進一步形成認識，激發學生思維發展.同時在課堂最后，教師要對小組工作和成果進行總結性評價，可以是對成果是否達到目標的評價，也可以是對學生數學素養、問題解決、合作交流能力的評價.通過評價，提高學生學習興趣，幫助學生認識自我，增強自信；幫助教師改進教學，提高質量.如此，學生的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗得到再次強化，能更好地建構自己的知識體系.

結合上述“對數函數的概念與性質”單元第一課時的微項目設計和實踐，擬構建了微項目學習融入數學常態課教學的學習過程模型（圖3）.

總之，在進行數學微項目教學時，教師首先要選好緊扣素養目標的、有挑戰性的微項目主題，以激發學生的求知欲.其次建構結構性的知識網絡，通過設計驅動性問題，并輔以相對應的活動設計，啟發學生思考、合作、交流和探究實踐，在此過程中，學生經歷了數學信息接受、處理和表達的過程，修正改善內在的數學知識和數學觀點，對數學認知的完善有著重要的作用.同時在成果展評階段，教師要對小組工作和成果進行總結性評價，形成完整性知識結構，這是對項目活動中數學知識的再次梳理，可以幫助學生強化概念和原理，更好地建構自己的知識體系.因此，微項目學習適時嘗試融入數學常態課，可以改進高中數學課堂教學模式，提升課堂教學質量，發揮學科育人功能.

參考文獻

［1］ 夏雪梅.學科項目化學習設計：融通學科素養和跨學科素養［J］.人民教育，2018（01）：62.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.1：1.

［3］ 徐斌艷.數學核心素養驅動的數學項目學習［J］.中學數學參考，2021（28）：6.

［4］ 夏雪梅.項目化學習設計：學習素養視角下的國際與本土實踐［M］.北京：教育科學出版社，2021.3：18.

［5］ 徐斌艷.數學素養與數學項目學習［M］.上海：華東師范大學出版社，2021.7：16.

作者簡介 徐彩鳳（1984—），女，福建廈門人，一級教師；市數學學科帶頭人培養對象，區數學學科帶頭人；曾獲同安區優秀教師、區優秀共產黨員稱號和廈門市技能賽三等獎和創新賽二等獎；主要從事高中數學教學研究.

林俊晨（1999—），男，福建廈門人，二級教師；區骨干教師，曾獲區級“基礎教育優質微課程”高中數學學科二等獎；主要從事高中數學教學研究.

基金項目 福建省中青年教師教育科研項目（JSZJ21064（福建教育學院資助））；廈門市教育科學“十四五”規劃2022年度課題“項目式學習下高中數學綜合實踐活動教學研究”（22059）和廈門市教育信息技術研究2022年度課題“TPACK視角下信息技術深度融合數學教學實踐研究”（XMKT2208）.