初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“設(shè)而不求”解題技巧的應(yīng)用研究

摘 要：為了幫助學(xué)生對初中數(shù)學(xué)復(fù)雜問題進(jìn)行簡化探究和有效解答，文章研究了“設(shè)而不求”解題技巧在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用。首先概述“設(shè)而不求”內(nèi)涵與價(jià)值，其次以人教版初中數(shù)學(xué)教材為參考，結(jié)合大量例題說明“設(shè)而不求”具體的應(yīng)用方向和解題過程，最后簡要總結(jié)全文內(nèi)容，以期為初中數(shù)學(xué)教師提供有益參考。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；解題技巧；“設(shè)而不求”

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2097-1737（2024）06-0068-04

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，一部分復(fù)雜題目不能直接通過設(shè)未知數(shù)求解，而是要應(yīng)用“設(shè)而不求”解題技巧，這要求教師指導(dǎo)學(xué)生掌握“設(shè)而不求”解題技巧，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的多元思維。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)主動(dòng)理解“設(shè)而不求”解題技巧內(nèi)涵與價(jià)值，找準(zhǔn)典型例題，引導(dǎo)學(xué)生探究應(yīng)用情境與方法。

一、“設(shè)而不求”的內(nèi)涵與價(jià)值

“設(shè)而不求”是初中數(shù)學(xué)問題解決方法之一，指的是在解決某些復(fù)雜問題時(shí)設(shè)定一些未知數(shù)，然后將未知數(shù)視為已知數(shù)，根據(jù)題目本身各已知條件，通過整體消元簡化問題解決過程，在降低解題難度的基礎(chǔ)上提高解題的準(zhǔn)確性。對于初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)來說，

“設(shè)而不求”是極為重要的一種方法，使學(xué)生掌握初中數(shù)學(xué)“設(shè)而不求”解題技巧，不僅可全面提高他們在代數(shù)方程、函數(shù)、幾何圖形等方面的學(xué)習(xí)質(zhì)量，還能使他們在中考時(shí)游刃有余地處理復(fù)雜題、壓軸題。初中數(shù)學(xué)教學(xué)離不開“設(shè)而不求”的解題技巧。教師應(yīng)對此加以重視，結(jié)合典型例題指導(dǎo)學(xué)生。

二、“設(shè)而不求”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）化簡運(yùn)算問題

化簡運(yùn)算屬于初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，如有理數(shù)化簡運(yùn)算、整式化簡運(yùn)算等。雖然相較于方程、函數(shù)、空間幾何等知識(shí)點(diǎn)，化簡運(yùn)算問題較為簡單，但也有一部分初中數(shù)學(xué)化簡計(jì)算問題具有一定復(fù)雜性，學(xué)生不能通過常規(guī)方式找到解題思路和答案，此時(shí)就需要運(yùn)用“設(shè)而不求”解題技巧[1]。

例如，在人教版數(shù)學(xué)八年級（下冊）“二次根式的加減”教學(xué)中，有如下問題：

先化簡，再求值：＋

問題包含兩個(gè)根式，無形中增加了化簡與運(yùn)算難度，但若細(xì)心觀察不難發(fā)現(xiàn)，被開方數(shù)有理數(shù)部分相同，無理數(shù)部分互為相反數(shù)。根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，可推測解題過程或許與以下兩公式有關(guān)：

平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2

完全平方公式：（a±b）2＝a2＋2ab＋b2

之后，以兩大公式為切入點(diǎn)，可設(shè)為a，為b，則原問題轉(zhuǎn)化為求解a+b的值。a2＝（）2＝6＋，b2＝（）2＝6－，則a2+b2＝12。ab＝·＝＝5。a+b＝，代入a2+b2＝12、ab＝5，則a+b＝＝，可得＋＝。

應(yīng)用“設(shè)而不求”解題技巧，借助新的未知數(shù)表示算式中復(fù)雜的根式，學(xué)生可巧妙地將復(fù)雜根式化簡求值問題轉(zhuǎn)化為“開平方”問題，進(jìn)而通過平方差公式與完全平方公式的創(chuàng)新運(yùn)用實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確解題。

（二）代數(shù)方程問題

1.三元一次方程組“設(shè)而不求”解題技巧

三元一次方程組為人教版數(shù)學(xué)七年級（下冊）“二元一次方程組”拓展延伸內(nèi)容，也是初中“方程組”問題的重要內(nèi)容。常規(guī)解題思路為通過“代入”或“加減”進(jìn)行消元，將“解三元一次方程組”轉(zhuǎn)化為“解二元一次方程組”，再轉(zhuǎn)化為“解一元一次方程”，計(jì)算較為煩瑣。教師可以向?qū)W生講解相關(guān)“設(shè)而不求”解題技巧，巧解三元一次方程組問題[2]。

例如：有麻料、棉料、毛料三種布料，若購3匹麻料，7匹棉料，1匹毛料，共需315元；若購4匹麻料，

10 匹棉料，1匹毛料，共需420元。現(xiàn)在購麻料、棉料、毛料各1匹，共需多少元？

結(jié)合題意，可設(shè)麻料、棉料、毛料的價(jià)格分別為x、y、z元，列出下面方程組：

解方程，聯(lián)立（1）（2）：（1）×3－（2）×2，可得

x＋y＋z＝150，求出原問題正確解。

對比傳統(tǒng)解法“一一求出未知數(shù)取值，然后將它們相加，求得問題最終解”，此解法先設(shè)未知數(shù)，然后將“x＋y＋z”視為一個(gè)整體，有效地簡化了計(jì)算過程。教師還可基于此問題變式，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行變式練習(xí)，鞏固對應(yīng)“設(shè)而不求”解題技巧。

2.分式方程“設(shè)而不求”解題技巧

分式方程為人教版數(shù)學(xué)八年級（上冊）的重要內(nèi)容，主要目標(biāo)是使學(xué)生正確地理解分式方程概念，通過求解分式方程解決實(shí)際問題。但是，基于“分式”復(fù)雜性，分式方程實(shí)際求解過程通常較為煩瑣，易使學(xué)生出現(xiàn)計(jì)算失誤。這就要求教師在分式方程問題中，同樣向?qū)W生傳授“設(shè)而不求”的解題技巧。

例如：解方程 ＋＝＋

觀察該分式方程可以發(fā)現(xiàn)，方程等號兩邊與互為倒數(shù)，與同樣互為倒數(shù)。這在增加方程求解難度的同時(shí)，也為學(xué)生提供了新的解題思路——“設(shè)而不求”。具體來說，基于“倒數(shù)”特征，可將方程等號左邊設(shè)為m、設(shè)為n，則方程等號右邊、可分別表示為、，原方程轉(zhuǎn)化為

m＋n＝＋。轉(zhuǎn)化后，方程兩邊同時(shí)乘以mn，去分母可得mn（m＋n）＝n＋m，則mn＝1或m＋n＝0。mn＝1時(shí)，m＝，則 ＝1÷，＝，解得x＝0或x＝8；m＋n＝0時(shí)，＋＝0，解得x＝。所以，原方程解為x＝0或x＝8或x＝。

采取“設(shè)而不求”解題技巧，根據(jù)等式兩側(cè)分式對應(yīng)關(guān)系，將等式左側(cè)兩個(gè)分式分別設(shè)為m、n，右側(cè)分式對應(yīng)轉(zhuǎn)化為、，有效降低了第一步“去分母”難度。之后，基于“去分母”結(jié)果求出m、n對應(yīng)關(guān)系，在m＋n＝0或mn＝1與＋或·間建立聯(lián)系，可輕松求出未知數(shù)x的值。教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生挖掘分式方程此類對應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生準(zhǔn)確把握“設(shè)而不求”切入點(diǎn)。另外，在求出分式方程“可能的解”后，

教師還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注左右兩側(cè)分母是否為0，去除不合題意的解。此例題中，x＝0、x＝8或x＝時(shí)，方程左右兩側(cè)分母均不為0，所以均為方程解。

（三）函數(shù)問題

人教版初中數(shù)學(xué)函數(shù)問題包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、銳角三角函數(shù)，貫穿八九年級。其中，二次函數(shù)圖像面積問題、反比例函數(shù)面積問題等，

均可應(yīng)用“設(shè)而不求”解題技巧求解[3]。

例如，在人教版教學(xué)在人教版數(shù)學(xué)九年級（下冊）“反比例函數(shù)”教學(xué)中，有下面這一道關(guān)于面積

的題：

如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系中，一條直線與反比例函數(shù)y＝（x>0）圖像交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B為AC中點(diǎn)。分別過A、B兩點(diǎn)作x軸的平行線，使其與反比例函數(shù)y＝（x>0）圖像交于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則四邊形ABED的面積是多少？

圖1

根據(jù)題意，AD與BE兩條線相互平行，四邊形ABED滿足梯形判定條件，其中，AD為梯形上底，BE為梯形下底，AD與BE之間的距離則為梯形高。想要求出四邊形ABED的面積，必須先確認(rèn)AD、BE的長及AD與BE之間距離的長，而求以上長度，需要明確A、B、D、E四點(diǎn)坐標(biāo)。由此可應(yīng)用“設(shè)而不求”解題技巧。首先，基于反比例函數(shù)y＝（x>0）圖像與直線交點(diǎn)，可設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（，m）。由于點(diǎn)B為AC中點(diǎn)，且點(diǎn)C在坐標(biāo)系x軸上，則點(diǎn)A橫縱坐標(biāo)均為點(diǎn)B的2倍，

即（，2m）。又因?yàn)锳D、BE與x軸平行，且點(diǎn)D、E與反比例函數(shù)y＝（x>0）圖像相交，則點(diǎn)E縱坐標(biāo)為m，橫坐標(biāo)為，整體可表示為E（，m），相對應(yīng)的，點(diǎn)D坐標(biāo)為（，2m）。AD長可通過點(diǎn)A、D橫坐標(biāo)相減求得，即－。同理，BE長度為－，梯形高為2m－m，則梯形面積為：SABDE＝（－＋－）（2m－m），化簡過程如下：

SABDE＝（－＋－）（2m－m）＝×

×m＝××m＝

由反比例函數(shù)圖像交點(diǎn)B切入“設(shè)而不求”，設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（，m），然后結(jié)合題意與圖像求出其他交點(diǎn)坐標(biāo)，順利表示出四邊形ABED求面積所需長度，代入梯形面積計(jì)算公式（上底＋下底），最后約掉所設(shè)未知數(shù)m，得出四邊形面積。運(yùn)用“設(shè)而不求”解題技巧，可使解題思路一目了然，大大降低了“求面積”

難度。

（四）幾何問題

初中數(shù)學(xué)幾何求值問題包括“求角度”“求長度”等，但由于很多時(shí)候題干沒有給出足夠的角度與長度信息，解題思路并不清晰，需要引入未知數(shù)。學(xué)生可以通過未知數(shù)逐步表示出解題所需角度或長度，

然后根據(jù)未知數(shù)在整個(gè)幾何圖形中的等量關(guān)系，順利求出待求角度或長度[4]。

例如，在人教版數(shù)學(xué)八年級（上冊）“三角形”教學(xué)中，有以下問題：

已知RtΔABD中（如圖2），∠ABD＝90°，C、E分別為線段AD上的兩點(diǎn)，滿足∠BAC＝∠BCA，BE將∠CBD平分為∠CBE與∠DBE，求∠AEB的度數(shù)。

圖2

這是典型的幾何圖形“求角度”問題?；趩栴}逆推，若想求出∠AEB的度數(shù)，需要用到∠CBE、∠CBD、∠ABD、∠ACB等多個(gè)角度，但是對于這些角，

題干都沒有給出明確的度數(shù)。因此，可結(jié)合已知角與圖形信息，將它分別設(shè)為不同未知數(shù)，解題過程如下：

設(shè)∠BAC＝∠BCA＝x，則∠ABC＝180°－∠BAC

－∠ABC＝180°－2x

∵BE平分∠CBD

∴∠CBE＝＝

＝＝x－45°

∴∠BAC＋∠ABE

＝∠BAC＋∠ABC＋∠CBE

＝x＋（180°－2x）＋（x－45°）

＝135°

∴∠AEB＝180°－（∠BAC＋∠ABE）

＝180°－135°＝45°

通過“設(shè)而不求”解題技巧，設(shè)∠BAC與∠BCA為未知數(shù)x，從而在未知角與已知角間順利建立聯(lián)系，

最后基于三角形內(nèi)角和等量關(guān)系抵消未知數(shù)，求出待求角度，整體解題過程更加簡潔、高效。

（五）實(shí)際應(yīng)用問題

“設(shè)而不求”解題技巧還可以應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題的解決中[5]。廣義上，初中數(shù)學(xué)問題可分為“數(shù)學(xué)問題”與“實(shí)際問題”兩部分，上述例題可統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)問題”。“實(shí)際問題”通常與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)，意在使學(xué)生避免“書本化”“應(yīng)試化”的學(xué)習(xí)，

將所學(xué)知識(shí)與技能運(yùn)用在實(shí)際生活中。然而在一些實(shí)際問題中，學(xué)生同樣會(huì)遇到不能借助已知條件解題的復(fù)雜情況，需要遷移運(yùn)用“設(shè)而不求”解題技巧。

例如，在人教版數(shù)學(xué)八年級（下冊）“一次函數(shù)”

教學(xué)中，有以下問題：

明珠社區(qū)組織了一次團(tuán)購活動(dòng)，聯(lián)系了兩家旅行社，由2名導(dǎo)游帶隊(duì)，旅行票原價(jià)相同。A旅行社購票優(yōu)惠活動(dòng)為“1名導(dǎo)游不優(yōu)惠，其他導(dǎo)游與居民7折優(yōu)惠”。B旅行社購票優(yōu)惠活動(dòng)為“全體導(dǎo)游與居民7.5折優(yōu)惠”。假設(shè)當(dāng)參與團(tuán)購的居民人數(shù)是多少時(shí)，兩家旅行社收費(fèi)相同？

為了簡化計(jì)算，可將兩家旅行社旅行票原價(jià)設(shè)為a，參與團(tuán)購居民人數(shù)設(shè)為x，則兩家旅行社收費(fèi)情況分別為：

A旅行社：yA＝a＋0.7a（x＋1）

B旅行社：yB＝0.75a（x＋2）

若收費(fèi)相同，則yA＝y(tǒng)B，a＋0.7a（x＋1）＝0.75a（x＋2），解得x＝4。

若基于常規(guī)列方程思路求解，由于不確定旅行票原價(jià)，很難順利解題。而融合一次函數(shù)與“設(shè)而不求”

解題技巧，通過設(shè)未知數(shù)在A、B旅行社收費(fèi)之間建立函數(shù)關(guān)系，便可輕松解出題中所提問題。

三、結(jié)束語

言而總之，“設(shè)而不求”解題技巧是初中數(shù)學(xué)非常重要的解題思想與方法之一。教師應(yīng)通過合理引導(dǎo)幫助學(xué)生掌握“設(shè)而不求”解題技巧，使他們能夠在面對復(fù)雜問題時(shí)，最大限度地簡化解題過程，提高效率與準(zhǔn)確率。初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)大力完善“設(shè)而不求”解題技巧教學(xué)，以此提高學(xué)科整體教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)

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作者簡介：鄭麗華（1986.8-），女，福建莆田人，

任教于福建莆田青璜中學(xué)，一級教師，本科學(xué)歷。