模型建構：從隱性到顯性的自然回歸

陳晨 趙軍 徐琳琳

［摘? 要］ 數(shù)學模型是我們對知識的提煉與積淀，巧妙借助模型建構將問題進行轉化，往往能起到柳暗花明的效果. 文章從教材習題出發(fā)，以“添加輔助圓求最值問題”的模型建構為例，著眼于提高學生分析和解決問題的能力，詮釋“隱圓”建構的類型和技巧，通過建模探究，引領學生實現(xiàn)從隱性到顯性的自然回歸，有效提升其學科素養(yǎng).

［關鍵詞］ 最值；隱性；顯性；輔助圓

……

教學說明? 通過對課本習題的又一次拓展，師生共同得出結論：“有一組對角都是直角的四邊形四個頂點共圓”，并在此基礎上引導學生合理添加輔助圓求最值，輔助圓最小則其直徑就最小，反之亦然. 求最值的過程，讓學生體會從隱性走向顯性的過程，這增強了學生的“添圓”技巧，提升了學生的建模能力.

5. 課堂小結

師：通過這節(jié)課的探究，大家有哪些感悟與收獲呢？說出來與大家一起分享！

生20：求最值問題要注意隱圓的存在，我深深體會到“圓來”如此簡單！（贏得掌聲）

生21：解題過程中我們要密切關注圓從隱性到顯性的過程，隱圓通常源于三種情形，即“定點定長有定圓”“定邊定角有定圓”“對角雙垂有定圓”.

生22：構建顯性“圓”源于轉化的需要，當我們解題遇到困難時要能主動建模！

……

師：建模（圓）相當于“無中生有”，是在已有條件基礎上的重建，考驗我們對圓的理解、回歸與運用，只要添“圓”得當，必能撥云見天，柳暗花明！

教學反思

1. 隱性設計的目標指向將“模型”藏于無形

命題者在命制試題時一旦將圓隱去，答題者也就失去了直接運用圓的性質解決問題的顯性思考，增加了解決問題的難度，所以，從命題者的角度出發(fā)，合理將圓隱去的設計能有效考查答題者對模型的回歸處理能力，即化歸思想和建模能力. “隱圓”的方法多種多樣，無論是“定點+定長”“定邊+定角”還是“對角+雙垂”，各模型之間是相互關聯(lián)的，其最終都能回歸圓的定義：圓是到定點的距離等于定長的點的集合. 存在隱圓的試題具有什么特點？學生在學習過程中怎樣去領悟這些特點？這些都離不開教師的引導與點撥，教師可以從命題者的角度與學生敞開心扉，談談此類問題的設計目的、思路，讓學生領悟試題“圓來”的模樣和生成的過程，只有知己知彼，方能百戰(zhàn)不殆！

2. 顯性回歸的實施路徑將“模型”建于有形

從答題者的角度思考，模型建構的難點在于建，怎樣將無形的模型建于有形？從哪里入手去建？關鍵時候要能結合題目聯(lián)想到所需要的模型，沒有一定的積累無法完成模型的建構. 建模既要充分考慮學生的學習情況，尤其是學生的“最近發(fā)展區(qū)”，也需要結合題目自身的條件進行分析. 當我們帶領學生將隱圓問題的類型進行歸類、應用，通過專題進行系統(tǒng)的探究后，對于隱圓問題學生當能從容應對. 那么，其他類型的建模問題呢？因此，我們可以在每章節(jié)學習結束后結合課本內容進行歸納、提煉，平時要善于總結，形成熟悉的基本模型，歸納出屬于自己的“定理”，結合點的運動軌跡去捕獲需要的模型并加以應用，培養(yǎng)建模的能力，發(fā)揮模型的價值.

3. 隱性設計與顯現(xiàn)回歸將“模型”置于其中

隱性設計實質上是建立在顯性設計的基礎之上，通過層層設防，將其“明顯的解題思路”隱藏至“無痕”甚至難以發(fā)現(xiàn)，但解決問題時歸根到底還是要回到顯性設計下的最明顯的、直觀的解題思路上來. 所以，顯性設計是命題的出發(fā)點，隱性設計是通過對顯性設計的隱藏、變異催生的，是一種“潛伏”，也是一種轉化［2］. 隱性設計與顯現(xiàn)回歸以命題者對“模型”的隱藏和答題者對“模型”的探尋進行“對弈”，命題者設計之初的“隱”就是為了答題者原路的“回”，答題者對模型的“建”也回應了命題者當初對模型的“藏”，兩者和諧共生. 藏得太深，無人能建，藏得太淺，人人得見，如果只有“隱”“藏”，而沒有“回”“建”，隱性設計也就失去了意義，所以，隱性設計要掌握好“度”，要符合課標的要求和學生的認知水平，讓多數(shù)學生學有所獲！“隱性問題”源于知識，藏在模型，成于推理. 在教學中，我們只有抓住問題本質，著眼于提高學生分析和解決問題的能力，才能有效建構數(shù)學模型，高效提升解題素養(yǎng).

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學版社，2022.

［2］ 趙軍. 問題設計的顯性與隱性比較例析［J］. 中學數(shù)學教學參考，2017（29）：2-5.