以定理為本，探解法之源

丁堅(jiān)鋒

［摘? 要］ 平面幾何的教育價(jià)值主要體現(xiàn)在邏輯思維與理性思維的培養(yǎng)方面，定理是幾何邏輯推理的重要依據(jù)，用對(duì)定理是解決幾何問題的關(guān)鍵. 文章分析了一道幾何題的錯(cuò)解，提出幾何定理教學(xué)要重視學(xué)生對(duì)命題邏輯結(jié)構(gòu)的理解和數(shù)學(xué)表征能力的培養(yǎng)，使學(xué)生明白定理的適用性.

［關(guān)鍵詞］ 最值問題；錯(cuò)解分析；定理教學(xué)

反思與啟示

定理是進(jìn)行幾何邏輯推理的重要依據(jù)，在初中階段，學(xué)生用錯(cuò)定理的現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，學(xué)生沒能準(zhǔn)確表征定理中的題設(shè)和結(jié)論，就無法把問題中的條件與定理中的題設(shè)相匹配. 因此，在幾何教學(xué)中，我們需要在定理的邏輯結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)表征兩個(gè)方面給予重視.

1. 理解定理的邏輯結(jié)構(gòu)

定理是一種數(shù)學(xué)命題，有兩種形式，即“A是B”或“如果P，那么Q”，它由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成. 例如，“兩直線平行，同位角相等”描述的是一個(gè)由位置關(guān)系決定數(shù)量關(guān)系的事實(shí)，有些學(xué)生常常把它與“同位角相等，兩直線平行”相混淆，或者把兩者互用，原因是沒有搞清楚“題設(shè)”與“結(jié)論”的區(qū)別. 又如，“垂線段最短”，它是一個(gè)簡化描述的定理，從這五個(gè)字中看不出“題設(shè)”是什么，“結(jié)論”是什么，所以學(xué)生用這個(gè)定理時(shí)也會(huì)頻頻出錯(cuò). 為了使學(xué)生盡可能避免發(fā)生這些錯(cuò)誤，教師在教學(xué)定理時(shí)，要讓學(xué)生充分理解定理中的“題設(shè)”與“結(jié)論”，要讓學(xué)生明白“題設(shè)”即已知條件是“因”，“結(jié)論”是由前面的條件得到的“果”.

2. 理解定理的數(shù)學(xué)表征

在數(shù)學(xué)問題解決中，表征問題是解決問題的前提條件，若要理解某個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，就必須在這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與一個(gè)更易理解的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間建立一個(gè)映射. 分析問題的過程就是主體不斷試錯(cuò)，不斷修正自己對(duì)問題的表征的過程，問題的解決就是找到了適宜的問題表征的結(jié)果. 簡單地說，就是分析問題中的條件不斷與定理進(jìn)行匹配. 所以，學(xué)生應(yīng)用定理的能力與其數(shù)學(xué)表征能力直接相關(guān). 幾何定理通常是一種用文字或符號(hào)描述的陳述性語句，在其陳述性的文字背后隱藏著圖形關(guān)系，學(xué)生要學(xué)會(huì)在文字與圖形兩者之間“行走”——文字表征與圖形表征相結(jié)合. 在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)定理模型化、圖形化，即把陳述性的文字語言與圖形表征相結(jié)合，才能使學(xué)生理解得更透徹、更深刻.

總之，幾何定理教學(xué)要重視學(xué)生對(duì)定理中的“題設(shè)”和“結(jié)論”的識(shí)別和理解，讓學(xué)生在大腦中建立定理的“微模型”，并能準(zhǔn)確表征，這樣才能使學(xué)生在邏輯推理時(shí)用對(duì)定理、用好定理.