經(jīng)歷過程 提升素養(yǎng)

徐黃娟

［摘? 要］ 在新課改的推動下，數(shù)學教學逐漸走出了“重知識輕能力”的誤區(qū). 教學中，教師通過設計探究性問題引導學生積極思考、主動建構(gòu)，在深刻理解知識的同時，逐漸將知識內(nèi)化為能力. 文章以“十字相乘法”教學為例，從“數(shù)”“式”通性出發(fā)，讓學生通過經(jīng)歷類比、歸納、轉(zhuǎn)化等過程建立十字相乘模型，以此促進學生學習品質(zhì)的提升和數(shù)學核心素養(yǎng)的落實.

［關鍵詞］ 通性；過程；數(shù)學素養(yǎng)

初中數(shù)學教學中，教師逐漸改變“以講代學”“以練代思”的低效教學模式，轉(zhuǎn)而為學生提供一個開放、自由的探究空間，讓學生親歷知識的形成過程，進而將知識、技能逐漸內(nèi)化為能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng). 筆者在教學“十字相乘法”時，在教學設計和教學實施中堅持以生為本的教育理念，重視學生思考、探究、交流等綜合能力的培養(yǎng)，取得了較好的教學效果. 現(xiàn)將教學過程呈現(xiàn)給同仁，若有不足，請指正！

教學分析

“十字相乘法”是因式分解的重要方法之一，其在解一元二次方程或一元高次方程中有著重要的應用. 在學習本課內(nèi)容前，學生已經(jīng)理解并掌握整式乘法，教學中應重視引導學生關注因式分解與整式乘法的相互關系，讓學生通過經(jīng)歷觀察、對比、歸納、運用等過程理解“十字相乘法”的算法，明晰“十字相乘法”的算理，提高學生數(shù)學推理、數(shù)學抽象等素養(yǎng).

教學簡錄

1. 數(shù)式類比，發(fā)現(xiàn)算法

活動1：如圖1，結(jié)合23×12的豎式乘法經(jīng)驗，嘗試用豎式乘法計算（2x+3）（x+2）.

學生活動：教師預留時間讓學生思考、模仿，學生給出豎式計算過程（如圖2）.

追問1：圖2的計算過程是否成立呢？該如何驗證呢？

學生活動：運用多項式乘法法則驗證，即（2x+3）（x+2）=2x2+4x+3x+6=2x2+7x+6，由此驗證圖2中計算結(jié)果是正確的.

追問2：在計算兩個兩位數(shù)相乘時，是否可以運用多項式乘法法則呢？

學生活動：學生通過拆分得到如下計算過程，23×12=（20+3）×（10+2）=200+40+30+6=276，由此驗證運用多項式的乘法法則可以計算兩個兩位數(shù)相乘.

【練習1】? 用豎式完成下列多項式的計算：①（2x-3）×（x+2）；②（2x-5）（3x+2）.

教學說明? 從學生熟悉的數(shù)的豎式乘法開始，引導學生通過經(jīng)歷猜想、驗證、解釋等過程感知用豎式計算多項式的乘法是科學的、合理的. 同時，通過追問讓學生將數(shù)的運算與式的運算建立聯(lián)系，從而將數(shù)的運算法則及運算律推廣至式的運算中，體會數(shù)與式之間的內(nèi)在聯(lián)系，逐漸建構(gòu)完善的認知體系.

2. 觀察思考，提煉算法

教師投影展示學生的計算結(jié)果（如圖3），并讓學生思考如下問題：

問題1：積的二次項系數(shù)和積的常數(shù)項是如何得到的呢？

學生活動：學生通過觀察、交流等活動發(fā)現(xiàn)其二次項系數(shù)為兩個因式中一次項系數(shù)之積，而常數(shù)項為兩個因式中常數(shù)項之積.

問題2：積的一次項系數(shù)又是如何得到的呢？

師生活動：為了便于觀察，教師將兩個因式中的字母略去，讓學生將目光聚焦在系數(shù)上，由此發(fā)現(xiàn)積的一次項系數(shù)是兩個因式中一次項系數(shù)和常數(shù)項交叉相乘再相加得到的. 為了讓學生進一步體會“交叉相乘，再相加”的關系，在教師的引導下，學生得到了如圖4所示的簡圖. 在此基礎上，教師將簡圖進一步簡化，給出圖5.

問題3：如果讓你寫出（ax+b）·（ax+b）的一次項系數(shù)，你會嗎？

師生活動：學生結(jié)合剛剛的研究經(jīng)驗給出圖6. 在此基礎上，教師讓學生利用多項式乘法法則進行計算，進一步驗證該方法的正確性、合理性. 接下來師生共同歸納，形成“十字相乘法”的算法.

【練習2】? 利用“十字相乘法”填空：

（1）（x-3）（x+4）=（? ? ）x2+（? ? ）x+（? ? ）；

（2）（2a-3）（3a-4）=（? ? ）a2+（? ? ）·a+（? ? ）；

（3）（5x-3y）（2x+4y）=（? ? ）x2+（? ? ）xy+（? ? ）y2.

教學說明? 引導學生觀察兩個因式中一次項系數(shù)、常數(shù)項與兩個因式之積中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項之間的對應關系，由此通過親身經(jīng)歷“十字相乘法”的形成過程、深化對“十字相乘法”的理解，為接下來應用“十字相乘法”解題打下堅實的基礎.

3. 深入探索，領悟算法

活動2：已知x2+mx+10=（x+___）（x+___），那么整數(shù)m可能是何值？

師生活動：為了降低問題的難度，教師先讓學生在橫線上分別寫出可能出現(xiàn)的值. 學生根據(jù)乘法法則，得到橫線上可以填的值如下：①1，10；②2，5；③-1，-10；④-2，-5. 由此根據(jù)“十字相乘法”得到整數(shù)m可能為11，7，-11，-7.

問題1：m的值與什么有關呢？

學生活動：學生通過觀察發(fā)現(xiàn)m的值與常數(shù)項的分解有關.

追問1：4x2+mx+10=（___+2）（___+5）中的整數(shù)m為何值，它又與什么有關呢？

學生活動：在以上活動的基礎上，學生將二次項系數(shù)分解，然后在橫線上填上對應單項式，分別給出對應的m值，由此知曉m的值與二次項系數(shù)的分解有關.

教學說明? 通過探究性活動讓學生自己去感悟、去發(fā)現(xiàn)，讓學生理解待分解的二次三項式中一次項系數(shù)與二次項系數(shù)和常數(shù)項之間的聯(lián)系，從而為接下來的應用奠定基礎.

4. 例題示范，運用算法

例1? 利用“十字相乘法”分解因式：

（1）x2+5x-14；（2）2a2-11a+15.

師生活動：教師給出問題（1）的解答過程，并給出簡圖示范（如圖7）.? 教師讓學生獨立完成問題（2），通過具體操作讓學生理解并掌握“十字相乘法”的應用，形成解題規(guī)范.

設問：對于二次三項式，若想利用“十字相乘法”來分解，其二次項系數(shù)和常數(shù)項分解需要滿足什么條件呢？

師生活動：師生交流后歸納，在二次三項式ax2+bx+c（a≠0）中，若a= aa，c=cc，ac+ac=b，則ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.

追問1：對于形如x2-9，x2-4x+4這樣的平方差公式和完全平方式，是否可以利用“十字相乘法”分解呢？

追問2：通過以上應用，你有哪些心得體會？

學生活動：學生利用十字相乘法分解了x2-9和x2-4x+4這兩個多項式，可見，“十字相乘法”同樣適用于平方差公式和完全平方式. 學生交流利用“十字相乘法”的心得體會，體驗“十字相乘法”的便捷性、局限性，形成完善的認知.

【練習3】? 分解因式：

（1）x2+3x+2；（2）m2-7m-8；

（3）6x2-13xy-28y2；（4）2x2+x-15.

教學說明? 在數(shù)學教學中，例題教學是必不可少的，它是聯(lián)系知識、技能、思想和方法的橋梁. 通過前面的學習，學生對“十字相乘法”已經(jīng)有了清晰的認識，而對如何完成解答還存在一定的困惑，教師充分發(fā)揮例題的示范功能，讓學生有樣可模，有范可仿，形成解題規(guī)范，增強解題效果. 在此環(huán)節(jié)，教師讓學生交流自己的心得體會，旨在通過有效交流進一步強化學生對“十字相乘法”的理解. 同時通過交流與感悟，學生發(fā)現(xiàn)十字相乘法不是萬能的，其具有一定的局限性，繼而為接下來繼續(xù)學習其他方法進行因式分解埋下伏筆.

5. 課堂小結(jié)，重構(gòu)體系

問題1：本課學習中你有哪些收獲？有何感想？

師生活動：該環(huán)節(jié)主要以生生交流為主，通過對學習過程和內(nèi)容的回顧，深化知識理解，讓學生將“十字相乘法”納入因式分解體系中，以此通過認知體系的完善與重構(gòu)，發(fā)展學生學習能力，提升學生數(shù)學素養(yǎng).

教學思考

1. 搭建“數(shù)”與“式”溝通的橋梁

初中生有著豐富的研究數(shù)的經(jīng)驗，教師要引導學生用數(shù)學的眼光去觀察，用數(shù)學的思維去研究代數(shù)式，以此有效搭建“數(shù)”與“式”溝通的橋梁，讓學生體會類比和歸納等思想方法的重要應用價值，提高學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力. 在本課教學中，為了讓學生更好地理解和掌握“十字相乘法”，教師引導學生將數(shù)的豎式計算經(jīng)驗遷移至兩個同字母的一次二項式相乘中，激活了學生的思維，提高了學生參與課堂的積極性.

2. 重視經(jīng)歷知識形成過程

在傳統(tǒng)教學中，教師習慣直接將算法教給學生，然后通過大量機械練習讓學生鞏固強化，這樣學生可以通過模仿和套用解決問題，但是學生的運算能力依然停留在技能層面，不利于學生運算能力的發(fā)展與提升. 因此，在計算教學中，教師應盡量少一些機械的練習，帶領學生經(jīng)歷“理解算理—探究算法—活用算法”等過程，以此讓學生將知識與技能逐漸內(nèi)化為能力，有效提高學生的運算水平. 在本課教學中，在理解“十字相乘法”的算理時，教師通過“數(shù)”與“式”的溝通與轉(zhuǎn)化，讓學生理解其算理即為多項式乘法法則. 又如，在運用十字相乘法分解因式時，通過探索“m值與何有關”，讓學生理解“十字相乘法”的本質(zhì)就是乘法分配律的另一種形態(tài). 這樣通過經(jīng)歷過程，學生不僅掌握了算法，明晰了算理，而且能夠靈活應用算法解決問題，切實提高了學生的綜合計算能力.

總之，在數(shù)學教學中，教師要引導學生關注知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，重視培養(yǎng)學生的全局觀念和整體意識的發(fā)展. 同時，教師在教學中應多帶領學生經(jīng)歷知識形成和發(fā)展的過程，通過探究性學習來發(fā)展學生能力，提升學生素養(yǎng).