基于初中數(shù)學變式教學的研究

郭全生

［摘? 要］ 文章從變式的概念、類型以及對變式教學的理解出發(fā)，以“三角形三邊關系”的教學為例，具體從“課堂引入，激發(fā)興趣”“自主探索，主動獲取”“變式訓練，深化理解”三個方面展開教學，著重講述變式教學如何設計與實施，并從“橫向變式，多角度理解知識本質”“縱向變式，多層次揭露知識屬性”“正反變式，多維度完善認知結構”三個角度談幾點思考.

［關鍵詞］ 變式教學；思維；結構

弗賴登塔爾提出：“再創(chuàng)造”是數(shù)學教育的核心，并一再強調“數(shù)學學習唯一正確的方法就是知識的再創(chuàng)造”［1］. 變式教學能引導學生自主發(fā)現(xiàn)并提出問題，讓學生主動將所學的知識從實踐中創(chuàng)造出來. 將變式教學應用在初中數(shù)學課堂教學中，不僅能起到“減負增效”的教學成效，還能從一定意義上促進學生思維的發(fā)展，為核心素養(yǎng)的形成奠定基礎.

變式概述

變式教學的意圖在于帶領學生從多層次、多視角與多維度來理解教學內容、提煉數(shù)學思想方法、豐富并建構知識的表象、完善學生的認知結構，為形成良好的數(shù)學體系奠定基礎. 究竟什么是變式呢？

（一）變式的概念

變式是指改變同一類事物的非本質表現(xiàn)形式與特征，讓觀察者從新的角度去觀察與分析事物的本質，以凸顯事物本質特征的一種方法，學習者常在變式中思維. 從心理學的角度出發(fā)，數(shù)學變式就是從不同的層面、維度與角度來改變數(shù)學事物的條件與結論（非本質屬性），以揭露事物本質的過程.

換一個角度理解，我們也可以將數(shù)學變式理解為一種范式，即對數(shù)學教材中所呈現(xiàn)的典型問題、具體知識或思維模式的變形，通過對問題情境、條件、結論等的變換，更改學生思維的角度，整個過程保持事物本質不變. 也就是當數(shù)學事物的非本質屬性不斷發(fā)生變化、遷移，其本質屬性依然不發(fā)生任何變化.

（二）變式的類型

數(shù)學變式教學主要存在于如下兩類活動中：①陳述性知識的教學，如概念類；②程序性知識教學（過程性教學）.

第一種陳述性教學屬于靜態(tài)的教學模式，第二種程序性教學屬于動態(tài)的教學模式. 將靜止的概念性的變式教學模式應用到程序性知識教學中，無法推進教學發(fā)展，因此對這兩類教學模式教師應辨別清楚. 不過人們在應用的過程中發(fā)現(xiàn)了過程性變式，也就是說變式存在概念性變式與過程性變式兩大類.

概念性變式一般是指借助概念與非概念的變式來揭露數(shù)學概念的內涵與外延，讓學生從多個角度對概念產生深刻理解，從而建構完整的概念體系；過程性變式以變式的方式來凸顯數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程，讓學生對數(shù)學知識的來龍去脈產生深刻理解，形成完整的知識網絡.

（三）變式教學

所謂變式教學是指通過對數(shù)學概念的非本質屬性的更換、對典型例題中條件與結論的變換、對問題形式或內容的變化等，教師應有計劃、有目的地帶領學生從各種形式的“變換”中發(fā)現(xiàn)其恒定“不變”的本質，并從這種不變的本質中探索出可以產生變化規(guī)律的教學過程.

新課標背景下的變式教學，應將目光鎖定在“變”字上，引導學生明確“變”的價值與精髓，搞清楚“為什么要變”“變的意義是什么”“應該往哪里變”等，如此則能從真正意義上發(fā)展學生的“四基”與“四能”，提升學生的“三會”能力.

教學過程設計

加里寧認為，數(shù)學是思維的體操. 數(shù)學解題的起源、認識與理解等方面蘊含著嚴謹?shù)耐评磉^程，因此解題屬于一項智力活動，需要通過對一個個問題的解決達成目標. 在此，筆者以“三角形三邊關系”的教學為例，來說明應用變式教學激活學生思維的具體方法，讓學生體驗“數(shù)學地思維”帶來的樂趣.

（一）課前分析

本節(jié)課教學的重點與難點在于如何推理三角形三邊關系，此過程不僅需要學生明確三角形三邊關系的大小，還要學生判斷組成一個三角形三邊應具備怎樣的標準.

教學經驗告訴我們，學生在本章節(jié)容易出現(xiàn)的問題有以下幾類：①按照邊對三角形分類時，不少學生容易將等邊三角形與等腰三角形劃分成兩大類，導致解題出現(xiàn)失誤；②在利用三角形三邊關系的定理解決實際問題時，有些學生對于“兩邊之和大于第三邊”的理解不夠透徹，解題中出現(xiàn)以偏概全的現(xiàn)象；③解題過程中的分類討論也是學生的難點之一.

（二）教學過程

1. 課堂引入，激發(fā)興趣

課堂起始階段，要求學生根據(jù)教師所提供的導學案閱讀教材，并思考教師所設計的問題，讓學生從根本上理解“什么是按照邊分類”，確保分類過程不重復、不遺漏，著重強化等邊三角形屬于等腰三角形的特例，從屬于等腰三角形.

閱讀指導時，引導學生從定義出發(fā)提出自己的疑慮，對于教材所提供的文字、符號與圖形語言要做到“一一對應”的理解，將抽象的數(shù)學語言內化成自身的理解，提高學生的自主學習能力與數(shù)學語言水平，為接下來的變式教學夯實理論基礎.

2. 自主探索，主動獲取

要求基礎較好的學生將之前學過的與三角形三邊關系定理相關的公理與證明說一說，以勾起全體學生的回憶，讓學生從原有的認知信息庫中提取這部分知識，為本節(jié)課的學習奠定基礎.

從定理的理解中獲得“判斷三條線段構建三角形的方法具體有哪些”后，學生很快就能得到相應的“推論”，此刻則能順理成章地實施推論的探索與研究.

3. 變式訓練，深化理解

適當?shù)睦}教學與課堂小練能深化學生對定理及推論的理解，讓學生從中體會到數(shù)學的魅力. 尤其是變式的應用，能引導學生從不同的角度去思維與分析問題，訓練學生思維的敏捷度、靈活性、發(fā)散性與深度等. 在此過程中，教師需適當?shù)靥岢觯罕竟?jié)課涉及的定理與推論不僅為“三條線段”能否構建成一個三角形提供依據(jù)，還為后續(xù)“字母取值”問題的研究做鋪墊.

例題已知△ABC為等腰三角形，其中AB=AC=5，BC=6，求該三角形的周長.

對初中學生而言，這道題的起點相當?shù)停瑢W生很快就能給出“周長為16”的結論. 此問僅僅作為教學的門檻，讓所有學生都能夠開開心心地邁進來. 接下來，教師則將主動權交給學生，要求學生變更概念非本質特征，提出相應的變式.

變式1已知△ABC為等腰三角形，其中腰AB=5，周長為16，求底邊BC的長度.

師：如果將問題中的腰長與底邊長進行置換，可以獲得怎樣的變式？

變式2已知△ABC為等腰三角形，其中一條邊的長為5，還有一條邊的長為6，求△ABC的周長.

此變式看似簡單，實則將問題變得復雜了很多，此時若不加思考地直接給出“周長為16”的結論，顯然回答是不夠完整的. 一些思維比較靈活的學生很快就反應過來，此題存在兩種情況，即腰分別為5或者6，那么周長存在兩種情況：16或17.

變式3已知△ABC為等腰三角形，其中兩條邊的邊長分別為5和16，求該三角形的周長.

隨著變式3的落地，不少學生馬上聯(lián)想到變式2中存在兩種情況，思量著本題和上一題只有一個數(shù)據(jù)的差別，或許處理問題的方法也類似. 若這么想，則掉入了本題的“坑”里，從三角形三邊關系來看，本題只能存在一種情況，即腰長為16.

巡視發(fā)現(xiàn)，大部分學生在解決這個變式時思考得比較周全，教師充分肯定了學生的思維，并趁熱打鐵，要求學生嘗試轉變問題的內容與形式，看看能獲得怎樣的變式并解決之.

在教師的肯定與鼓勵下，學生很快又提供了新的變式：

變式4已知△ABC為等腰三角形，其中腰的長度為x，則底邊的長y的取值范圍是多少？

觀察這個變式，可見學生的思維越來越深刻，此時的問題已經轉化成稍有難度的函數(shù)關系問題，拓展問題的外延，解題難度自然增加，對學生的思維要求也越來越高. 基于以上變式，結合已有的知識結構，學生亦能獨立解決本題. 為了進一步彰顯變式教學的作用，激活學生的思維，讓課堂充滿智慧與活力，教師提出如下變式：

變式5已知△ABC是一個腰長為x，底邊長為y，周長為16的等腰三角形，嘗試寫出x，y的函數(shù)關系式，并在平面直角坐標系內畫出此函數(shù)圖象.

原本很簡單的一個問題，通過幾個變式的應用，直指初中階段重要的教學內容——函數(shù)，并要求學生將問題與平面直角坐標系關聯(lián)思考，使得數(shù)形結合思想得以進一步強化.

縱觀整個教學過程，學生在教師的引導與點撥下，主動地參與教學活動，開動腦筋、積極探索與交流，并在跌宕起伏的氛圍中逐步深化對問題的理解與認識. 學生的思維隨著變式的發(fā)展而逐漸深刻、通透，學生也在愉悅的教學氛圍中有效發(fā)展學習能力.

幾點思考

（一）橫向變式，多角度理解知識本質

數(shù)學學科具有系統(tǒng)性特征，想要把握它的結構，就要分辨它與其他事物是如何關聯(lián)的. 想讓學生從真正意義上理解并掌握知識本質，就需要帶領學生從諸多關聯(lián)性的元素中實施意義建構. 橫向變式就是在具有典型特征或類型的基礎上，改變問題的外在形式，但本質卻不發(fā)生變化. 簡而言之，學生要從不同角度對材料進行類比分析，以更好地理解知識的內涵.

當然，橫向變式的問題可以源自教師設計的問題、課堂生成的問題、學生提出的問題等. 本節(jié)課在變式教學環(huán)節(jié)的初始階段，教師明確要求學生“變更概念非本質特征，提出相應的變式”. 學生的思維局限于這個條件，所提出的變式符合教學要求，學生也從中體驗到自主變式、探索與解題帶來的樂趣. 隨著變式問題的解決，學生對“三角形三邊關系”的本質有了更深層次的理解.

（二）縱向變式，多層次揭露知識屬性

不同形式的材料或問題能進一步闡明知識的本質屬性，改變知識的非本質特征可凸顯其本質特征，讓學生深層次理解知識的內涵. 皮亞杰提出，所有的數(shù)學知識都可以從結構建立的角度來考慮，這種建構是開放的，可以通過“更強的結構”來結構化它［2］.

初中數(shù)學教學中，結構化的元素關聯(lián)一般體現(xiàn)在知識結構的形成與發(fā)展的基礎上，對教學內容進行重組與分析，通過對其表征形式的變化，促使知識的縱向關聯(lián)，為意義建構奠定基礎. 本節(jié)課的變式教學，在教師循循善誘的引導與啟發(fā)下，學生的思維隨著問題的難度拾級而上，不僅從多層次揭露了“三角形三邊關系”定理的屬性，還進一步加強了學生對知識結構的認識.

（三）正反變式，多維度完善認知結構

奧蘇貝爾認為，當學材存在邏輯意義，且學生具備相應的知識基礎，那么這一類學材對學生而言就具有潛在意義. 當我們?yōu)閷W生提供的學材具有一定的結構性與邏輯意義，且與學生的認知水平相匹配時，那么學生的認知便能跟學材形成連結，讓學生由內而外地理解知識的內涵.

正反變式是指正例變式與反例變式兩類，當學生較好地掌握了某個知識點后，教師可通過正反變式來強化學生的認知，讓學生在“由反得正”中進一步鞏固、深化知識結構.

總之，不論是縱向、橫向，還是正反變式教學，其目的都是為了讓學生通過不同的視角來分析問題，對知識形成全方位的認識，實現(xiàn)知識的“再建構”. 事實告訴我們，變式教學不僅利于學生對知識的自主建構，讓學生更好地理解知識的本質與內涵，還能促進學生數(shù)學思維能力的螺旋式上升，從真正意義上發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］弗賴登塔爾. 作為教育任務的數(shù)學［M］. 陳昌平，唐瑞芬，譯. 上海：上海教育出版社，1995.

［2］皮亞杰. 結構主義［M］. 倪連生，王琳，譯. 北京：商務印書館，2011.