基于HPM視角的高中數學探究性教學

蘇佳敏 桂國祥

摘? 要：以球的體積公式探究教學為例，根據新課程理念，按照歷史發生的順序恰當地重構教學思路，循序漸進、激發興趣，使學生經歷劉徽、祖暅探索球體積公式的過程，加強對學生方法、態度、探究能力和邏輯思維能力的培養，培育科學精神和創新意識，促使其更好地適應當前高考數學以數學文化為背景、強調思維方法的考查趨勢．

關鍵詞：數學史；數學探究；球的體積

中圖分類號：G633.6? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）02-0029-06

引用格式：蘇佳敏，桂國祥. 基于HPM視角的高中數學探究性教學：以球的體積公式教學為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（2）：29-34.

一、引言

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出：“數學文化應融入數學教學活動. 在教學活動中，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中……將數學文化融入教學，還有利于激發學生的數學學習興趣，有利于學生進一步理解數學，有利于開拓學生視野、提升數學學科核心素養.”球的體積是高中立體幾何中的重要內容，而各個版本的教材都將對球的體積公式的起源、探究、推導的內容放在課后閱讀材料中. 有的教師不重視對課后閱讀材料的研究，照本宣科，將幾何公式直接灌輸給學生，導致學生缺乏思考，“生硬”地接受結論，思維僵化. 事實上，教材的編排方式給教師提供了很大的發揮空間，教師可以依據新課程理念，恰當重構教學思路，沿著前人研究的思路展開，使學生經歷數學知識發生發展的過程，發散思維、直觀感受、推理論證，在探究課堂中培養數學核心素養，也在一定程度上感受古人的智慧，從而滲透數學文化，培養學生的科學精神、探究能力和邏輯思維等. 當前，高考數學命題常以數學文化為背景，強調對數學思維方法的考查. 對此，課堂中要注重數學文化與數學探究，從而更好地培養學生的理性思維，加強數學應用.

二、案例呈現

1. 問題提出

在球的體積公式的探究性教學中，許多教師通過講述祖暅原理引入半球體的參照體來推導球的體積公式，但并未抓住探究課堂的實質，依舊是強行灌輸，學生缺乏思考. 祖暅原理是如何來的？又是如何找到這樣的參照體的？其他的參照體是否可以？對這些問題未進行過多闡述. M.克萊因曾言：“數學絕對不是課程中或教科書里所指的那種膚淺觀察和尋常診釋. 換句話說，它并不僅僅是從顯明敘述的公理推演出毋庸置疑的結論來.”他十分重視數學史對數學教育的重要價值，他認為歷史上數學家曾經遇到的困難是現今的學生也極有可能遇到的，因而數學家解決問題的途徑對課堂教學具有重要的指導和借鑒意義. 因此，可以以問題驅動的方式，對球的體積公式按照數學家的探索思路展開研究，以探究式的教學方式循序漸進地激發學生的探索興趣，從而促使學生主動參與、積極體驗、自主探究，形成師生互動的教學氛圍，使學生真正成為課堂的主體.

2. 感悟劉徽創造牟合方蓋

《九章算術》中記載的“開立圓術”表示：圓與其外切正方形的面積之比為[S圓∶S正方形=π∶4]，在底面直徑與高相等的圓柱中內切一個球，沿著中心軸切開，截面恰好是一個正方形里內切一個圓（如圖1），所以該圓柱與其內切球的體積之比為[V球∶V圓柱=π∶4]. 取[π=3]，球的直徑為[d]，則[V圓柱=34d3]，所以[V球= 916 d3]. 它的出發點是認為球的體積是其外切圓柱體積的[34]. 劉徽對其注釋時發現問題，并巧妙利用“截面法”反駁這一推論，并創造新的幾何體——牟合方蓋，得到球的體積應該為其外切“牟合方蓋”體積的[π4].

[圖1]

教師用我國古代數學家劉徽在給《九章算術》寫注時發現的錯誤引入，并提出問題：有沒有辦法證明這個結論錯在哪里呢？

學生思考后提出猜想：對于球及其外切圓柱，沿中心軸切開，截面剛好是一個圓與其外切正方形，如果不沿中心軸切開，則不是一個圓與其外切正方形.? 教師用信息技術軟件展示，將這個幾何體從豎直方向層層切開（如圖2），發現除了過中心軸的截面剛好是一個圓與其外切正方形外，其他層都是一個小圓嵌在一個長方形里，它們的面積之比要小于[π∶4]，所以疊加起來，球與圓柱體的體積之比也小于[π∶4]. 劉徽用“截面法”反駁了這一推論，其中蘊含了轉化的思想. 在這個探究過程中，學生深刻感受到數學文化的內涵，增強了文化自信. 由學生自主思考劉徽反駁推論的思路，引發學生深度思考“截面法”中蘊含的極限思想.

[圖2]

教師繼續提問：可以找到球的一個外切幾何體，使球與之體積的比值恰好等于[π∶4]嗎？

學生思考數學家們遇到的難題，教師在恰當的時機采用信息技術軟件展示對一個正方體從上下和左右兩個方向做內切圓柱（如圖3），它們相交的部分形成了一個新的幾何體——牟合方蓋（如圖4）. 在古代，“牟”是相同的意思，“蓋”是雨傘的意思，所以牟合方蓋指的就是把兩個方形的雨傘合在一起. 我們在牟合方蓋里放入一個內切球，同樣用“截面法”（如圖5）切割，能夠發現什么現象呢？

[圖3][圖4][圖5]

學生發現無論是從上到下還是從左到右，每個截面中，圓與正方形的面積的比值都是[π∶4].

教師總結：由于截面中圓與正方形的比值都是[π∶4]，所以球與其外切牟合方蓋的體積之比也是[π∶4]. 如果可以求得牟合方蓋的體積，就可以得到球體的體積.

由于求解牟合方蓋的體積比較復雜，劉徽最終并未解決這個問題. 學生在此環節經歷中國古代數學家所遇到的困難，經歷知識發生發展的過程，感受創立牟合方蓋的創新思維. 將數學史融入課堂，深度學習隨之發生，可以使學生體會數學家在認識正確的數學規律時所迸發的創造性思維，以及科學精神與科學態度，加強學生對數學文化的理性認識，從而形成積極的探索態度.

3. 解決牟合方蓋體積，提出祖暅原理

教師提問：你有求解牟合方蓋體積的思路嗎？

學生思維碰撞后，教師引導學生了解中國古代數學家祖暅沿用劉徽的思想，巧妙地取正方體與內切牟合方蓋這個幾何體的八分之一（如圖6），他沒有直接求八分之一牟合方蓋的體積，而是研究八分之一的正方體（邊長為[r]）與八分之一的牟合方蓋的體積之差，并用平行于底面的平面在高[h]處將其截開. 教師提出開放性問題，在培養學生抽象能力的基礎上，進一步培養他們的幾何直觀素養，使學生感受數學家突破難點的過程，引導學生沿著數學家的探索思路揭示球的體積公式中蘊含的數學本質，培養學生的探究能力.

[D][C][B][A][O][r][r][r][h][圖6]

思考：圖6所示陰影部分的面積為多少？

學生代表回答：[S陰影=r2-AB2=r2-r2-h2=h2].

學生自主思考探索后，教師再講解祖暅的思路.? 祖暅發現底邊為[r]、高也為[r]的倒立方錐（如圖7）在高[h]處的截面是一個正方形，其面積[S陰影=h2]. 根據“截面原理”他提出：兩個同底等高的幾何體，如果在等高處的截面面積恒相等，那么這兩個幾何體的體積相等. 這就是著名的祖暅原理——“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是立體的高.

[h][D][C][B][A][r][r][圖7]

那么，根據祖暅的思路，可以求解牟合方蓋和球的體積了嗎？

學生動手計算：因為[r3-18V牟=13r3]，所以[V牟=][r3-13r3×8=163r3].

根據《九章算術注》中的[V球∶V牟合方蓋=π∶4]，可以得到球的體積公式[V球=43πr3]. 學生通過計算得出兩者的體積，數學運算素養得到了培養. 同時，也讓學生體會到了得到一個數學公式背后需要付出的努力，讓他們感受數學家們的發散思維，以及對數學的刻苦鉆研精神和不斷探索的科學品質，增強民族自信與文化自信.

4. 利用祖暅原理再探球的體積公式

前面講解了劉徽與祖暅的思路，教師引導學生感受數學家的探索歷程，從而推導出球的體積公式. 球的體積公式并不是真正由學生自主探索出來的，為避免灌輸式教學，設計實驗探究環節，學生受數學家們探索思路的啟發，舉一反三，自主探索發現球體的參照體，找到比牟合方蓋更簡便的幾何模型來解決球的體積問題.

利用祖暅原理，你還可以想到用其他的幾何體來求半徑為[R]的球的體積嗎？要想計算球的體積，需要找一個同底等高，且處于同一高度的截面面積與球恒相等的幾何體作為它的參照體. 由于球比較特殊，根據其對稱性，取其一半進行思考. 學生學習過簡單的旋轉幾何體，容易想到圓柱和圓錐.

學生所想的幾何體當中，哪個可以作為半球的參照體呢？從圓柱和圓錐的頂點和底面出發思考，同一高度的橫截面的面積明顯不相等.

如圖8和圖9，教師通過幾何畫板軟件動態演示，引導學生觀察同底等高的半球與圓柱、半球與圓錐在同一高度的橫截面的面積明顯不相等，驗證其不滿足祖暅原理，說明這兩個幾何體皆不可以作為半球的參照體.

[圖8][R半球 = 5.72厘米? h半球 = 5.72厘米

r半球截面 = 5.33厘米

S半球截面 = 118.97平方厘米][半球][R圓柱 = 5.72厘米? h圓柱 = 5.72厘米

r圓柱截面 = 5.72厘米

S圓柱截面 = 136.81平方厘米][圓柱]

[圖9][R半球 = 5.72厘米? h半球 = 5.72厘米

r半球截面 = 5.29厘米

S半球截面 = 117.10平方厘米][半球][R圓錐 = 5.72厘米? h圓錐 = 5.72厘米

r圓錐截面 = 3.55厘米

S圓錐截面 = 52.65平方厘米][圓錐]

教師繼續引導學生觀察幾何畫板軟件中的這三個幾何體，并提問：它們的體積之間存在怎樣的大小關系？學生容易發現圓柱的體積比半球的體積大，而圓錐的體積又比半球的體積小. 根據學生對圓柱體和圓錐體的學習基礎，采用“先猜后證”的學習模式，聯系已經學過的知識，進行知識遷移，更加直觀地發現需要組合體才可以達到目的，從而引導學生動手操作，進行裝沙實驗. 通過動手實踐形成知識，發展學生的直觀想象素養，提升學生解決實際問題的能力.

教師與學生動手操作，用高與底面半徑都為[R]的半球、圓柱、圓錐和若干細沙進一步驗證.

學生展示：把圓錐嵌入圓柱中形成組合體，在半球容器內裝滿細沙，然后將其倒入組合體中，剛好裝滿，總結得出半球的體積等于圓柱的體積減去圓錐的體積.

實驗存在誤差，需要從理論層面推理論證. 教師用幾何畫板軟件直觀展示底面半徑與高都為[R]的半球與圓柱圓錐的組合體，用平行于底面且高度為[l]的平面去截這兩個幾何體（如圖10）.

[圖10][隱藏對象][R]

教師提問：半球與參照體分別被平面截得的陰影部分面積該怎么求？

學生作答：[S半球截面=πr2=πR2-πl2 0≤l≤R]，[S參照體截面=S大圓-S小圓=πR2-πl2 0≤l≤R]，符合祖暅原理，所以半球的體積等于同底等高的圓柱的體積減去同底等高的圓錐的體積，所以[V半球=πR3-13πR3=][23πR3]，所以[V球=43πR3].

用幾何畫板軟件直觀展示是將信息技術與數學課程深度融合，有助于學生發現半球與參照體在同一高度截面面積的等量關系，運用轉化與化歸的思想對球的體積進行嚴格地推理論證，訓練學生思維的嚴謹性，幫助他們更好地掌握知識點.

5. 反思拓展球的體積公式的論證過程

回顧球的體積公式的證明過程，可以發現，當將半球的截面面積公式表示為一個固定的圓減去一個逐漸變化的圓時，可以構造出一個圓柱中挖去一個同底等高的圓錐的組合體. 那么，半球截面面積的表達式是否可以改為一個固定的正方形減去一個逐漸變化的正方形的面積的差呢？類比先前的構造方式，你能想到什么樣的組合體？

學生思考后回答：一個底面為正方形的四棱柱中挖去一個同底等高的四棱錐（如圖11）. 將圓改為正方形，可以構造出一個棱柱中挖去一個同底等高的棱錐. 令該棱柱底面邊長為[πR]，高為[R]，當平行于底的平面在高[l]處將其截開，得到陰影部分的面積為[S截面面積=πR2-πl2=πR2-πl2 0≤l≤R]，則其與半球截面的面積相等，這兩個幾何體的高也相等，由祖暅原理，得[V半球=πR3-13πR3=23πR3]，所以[V球=43πR3]. 則該組合體也可以作為半球體的參照體來推導球的體積公式.

[圖11]

當截面面積為兩個三角形或兩個長方形的面積之差時，是否也可以找到相應的參照體來推導球的體積公式呢？

學生課下思考當截面面積改為兩個長方形面積之差時（如圖12），令長方體底面長為[πR]，寬為[R]，高為[R]，當平行于底面的平面在高[l]處將其截開，得到陰影部分的面積為[S截面面積=πR×R-πl×l=πR2-πl2 0≤l≤R]，

則其與半球截面面積相等，這兩個幾何體的高也相等. 由祖暅原理，得[V半球=πR3-13πR3=23πR3]，所以[V球=43πR3].

[圖12]

當截面面積改為兩個三角形面積之差時（如圖13），令三棱柱底面的直角邊長分別為[πR]與[2R]，高為[R]，當平行于底面的平面在高[l]處將其截開，得到陰影部分的面積為[S截面面積=12×2R×πR-12×2l×πl=πR2-πl2][0≤l≤R]，則其與半球截面面積相等，這兩個幾何體的高也相等. 由祖暅原理，得[V半球=πR3-13πR3=][23πR3]，所以[V球=43πR3].

[圖13] [2l]

將探究活動延續到課后，更好地發展學生的數學思維. 通過課后探究，學生在課堂上所體會到的數學思想與方法得以拓展應用，有利于發散思維，打破思維定式，促進學生實踐能力和創新意識的發展.

三、教學反思

1. 數學史融入探究式教學有助于學生完成復雜背景的數學題

筆者于2023年6月在南昌市第一中學進行實踐授課，課前、課后分別進行了問卷調查與訪談，并與對照班進行對照實驗. 對照班采取教材中不要求推導公式的教學思路，給予相應公式的應用練習；實驗班在本節課后除了繼續探究其他幾何體是否可以作為半球體的參照體外，還完成了幾道以“牟合方蓋”“祖暅原理”為背景的數學題. 在實驗班，課堂上參照數學知識的歷史發展進程來預測學生可能的認知困難，有針對性地提出相關教學策略，學生對新知的探究知其來龍去脈，參與探究過程. 根據后測訪談，了解到學生看到復雜的數學史背景題目時，心理負擔減輕很多，做題過程更加游刃有余，正確率與效率明顯提升，對新知的理解水平有所提升. 可以看出，將數學史融入球的體積公式的教學實踐，能夠有效提升學生對知識的理解水平，更好地完成新高考下的數學文化類題目.

2. 探究性學習融入數學史可預測學生的認知錯誤

探究性學習強調讓學生主動探究發現，獲得新知. 在這個過程中，學生會遇到很多困難，這些困難也恰恰是歷史上的數學家們所遇到的. 由此，教師能預測學生可能遇到的困難，通過融入數學史給學生提供思路，幫助學生理解知識的來龍去脈，構建設計理念，確定探究路徑，滲透數學精神，培養學生良好的數學學習態度.

本節課依據教材內容進行擴充，重現劉徽發現《九章算術》里的錯誤，構造牟合方蓋推導球的體積公式，之后祖暅計算出牟合方蓋的體積提出祖暅原理. 利用祖暅原理，學生探究發現新的幾何體作為半球體的參照體，推導出球的體積公式，并拓展創新. 整條學習鏈完整，內容的引出合理自然，解決了球的體積公式的推導問題，也讓學生感嘆中國古代數學家的智慧，比死記硬背球的體積公式的教學更加高效. 學生既學到了系統的數學知識，也體會了數學知識發生發展的過程，恰當地培養了學生良好的數學思維習慣，激勵他們不斷創新.

3. 數學史融入教學要重視揭示數學思想與方法

數學思想與方法是素質教育的重要內容，注重數學思想與方法可以更好地培養學生的創造力、數學思維品質和科學觀念等. 在球的體積公式的探索過程中，多次運用了轉化思想. 在《九章算術》中，人們將空間問題轉化為平面問題，從而推導出公式. 在此基礎上，劉徽利用截面法，再次將問題轉化為平面，并利用了極限思想來證明牟合方蓋的合理性. 雖然劉徽未正式提出極限的概念，但是在魏晉時期數學家們已經開始利用極限思想來解決數學問題，讓人非常震驚. 兩百多年后的祖暅，在劉徽的基礎上提出了祖暅原理，同樣利用了極限思想. 學生自主探究，運用轉化與化歸思想將半球體轉化為圓柱和圓錐的組合體，使得這兩個幾何體在等高處的截面面積恒相等. 歷史上，數學家們在解決數學問題時，運用了很多數學思想與方法. 教師應該加以挖掘，讓學生在感受數學思想與方法的同時，為古人的智慧而驚嘆，佩服他們刻苦鉆研、孜孜不倦的精神，在課堂中潛移默化地融入恰當的思政教育，鼓勵學生不斷創新，在科學的道路上奮勇向前.

4. 探究性學習可以恰當地進行課后延伸

探究性學習充分發揮學生的主體作用，要求學生能夠善于發現問題，從數學的角度分析問題，并通過合作探索解決問題，積累經驗，培養創新意識與能力. 在本節課的課堂上，教師通過問題驅動帶領學生探索. 但是這是不夠的，還要利用課堂上學習的數學思想與方法將探索延伸到課后，實現對知識的拓展和應用. 教師和學生在課堂上共同找到符合祖暅原理的半球體的參照體，將這個問題進行延伸，可以讓學生課后繼續探索，發散思維，思考將截面面積用兩個正方形、兩個長方形或兩個三角形的面積差進行替代，是否也可以找到相應的參照體，并推導出球的體積公式. 如果可以找到參照體并推導球的體積公式，就是學生的創新與發現.

參考文獻：

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