例談中位線定理在幾何問題中的應用

李小娟

［摘 要］中位線定理是初中數學的重要定理，它在平面幾何問題的解決中有廣泛的應用。文章通過分析典型例題，介紹一些中位線定理的應用方法，旨在幫助學生提高解題效率，提升解題能力。

［關鍵詞］中位線定理；幾何問題；應用

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）05-0009-03

中位線定理是初中數學的重要定理，它在平面幾何問題的解決中有廣泛的應用。下面筆者結合一些典型例題介紹一些中位線定理的應用方法。

一、利用中位線定理求線段的長

因為中位線定理反映兩條線段之間的數量關系，所以已知三角形中位線與第三邊中的其中一個量，就可以求得另一個量。

［例1］（1）課本再現：如圖1所示，[D]、[E]分別是[△ABC]的邊[AB]、[AC]的中點。求證：[DE]∥[BC]，且[DE=12BC]。定理證明：如圖2所示，延長[DE]至點[F]，使得[EF=DE]，連接[CF]。請你寫出完整的證明過程。

（2）知識應用：如圖3所示，在四邊形[ABCD]中，[AB=6]，[CD=8]，[∠BAC=30°]，[∠ACD=120°]，點[E]、[F]、[M]分別是[AD]、[BC]、[AC]的中點，求[EF]的長。

（1）證明：在[△AED]和[△CEF]中，[DE=FE，∠AED=∠CEFAE=CE，]，

∴[△AED ]≌[△CEF]（SAS），∴[AD=CF]，[∠A=∠ECF]，∴[AB]∥[CF]，∵[AD=BD]，∴[BD=CF]，∴四邊形[DBCF]為平行四邊形，∴[DF]∥[BC]，[DF=BC]，∴[DE]∥[BC]，[DE=12BC]。

（2）解：∵點[E]、[M]分別是[AD]、[AC]的中點，∴[EM]是[△ADC]的中位線，∴[EM=12CD=4]，[EM]∥[CD]，∴[∠EMC+∠ACD=180°]，∵[∠ACD=120°]，∴[∠EMC=60°]。同理可得，[MF=12AB=3]，[MF]∥[AB]，∴[∠CMF=∠BAC]，∵[∠BAC=30°]，∴[∠CMF=30°]，∴[∠EMF=90°]，∴在Rt[△EMF]中，[EF=EM2+MF2=42+32=5]。

評注：本題首先回顧了中位線定理的證明過程，然后運用中位線求線段的長。在此過程中，不僅應用了中位線的位置關系，得到相應的角度，而且應用了中位線的數量關系，得到相應線段的長，最后在所確定的直角三角形中應用勾股定理求得線段的長。

二、利用中位線定理證明線段相等

利用中位線定理證明線段相等，需要證明這兩條線段分別是另兩個三角形的中位線，然后再利用全等三角形證明另兩個三角形的第三邊相等。在此過程中，可能不止一次地利用全等三角形證明線段相等，還可能利用特殊三角形的性質獲得相等的線段或角。

［例2］如圖4所示，已知兩個等腰Rt[△ABC]，Rt[△CEF]有公共頂點[C]，[∠ABC=∠CEF=90°]，連接[AF]，[M]是[AF]的中點，連接[MB]、[ME]。當[∠BCE=45°]時，求證： [BM=ME]。

求證：如圖5所示，延長[AB]交[CE]于點[D]，連接[DF]，則易知[△ABC]與[△BCD]均為等腰直角三角形，∴[AB=BC=BD]，[AC=CD]，∴點[B]為[AD]的中點，又∵點[M]為[AF]的中點，∴[BM=12DF]。延長[FE]與[CB]延長線交于點[G]，連接[AG]，則易知[△CEF]與[△CEG]均為等腰直角三角形，∴[CE=EF=EG]，[CF=CG]，∴點[E]為[FG]的中點，又∵點[M]為[AF]的中點，∴[ME=12AG]。在[△ACG]與[△DCF]中，[AC=CD，∠ACG=∠DCF=45°CG=CF，]，∴[△ACG ]≌[△DCF]（SAS），∴[DF=AG]，即[BM=ME]。

評注：利用三角形中位線定理證明線段之間的相等關系，就是將欲證明相等的兩條線段進行轉移，通過證明與之關聯的兩條線段相等，從而證明原來的兩條線段相等。當題中有中點或較多中點時，可以考慮使用中位線定理。

三、利用三角形中位線證明線段的和差關系

利用三角形中位線定理證明線段的和差關系，首先證明一條線段是某個三角形的中位線，然后再證明其他線段與三角形第三邊之間的數量關系，最后再代入即可。

［例3］（1）如圖6所示，[BD]、[CE]分別是[△ABC]的外角平分線，過點[A]作[AF⊥BD]，[AG⊥CE]，垂足分別是[F]、[G]，連接[FG]，延長[AF]、[AG]，與直線[BC]相交于點M、N。求證：[FG=12（AB+BC+AC）]。

（2）若[BD]、[CE]分別是[△ABC]的內角平分線（如圖7），其余條件不變，線段[FG]與[△ABC]的三邊又有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給予證明。

（1）求證：∵[AF⊥BD]，[∠ABF=∠MBF]，∴[∠BAF=∠BMF]，在[△ABF]和[△MBF]中，∵[∠AFB=∠MFB，BF=BF，∠ABF=∠MBF，]∴[△ABF ]≌[△MBF]（ASA），∴[MB=AB]，[AF=MF]。同理，[CN=AC]，[AG=NG]，∴[FG]是[△AMN]的中位線，∴[FG=12MN=12]（[MB+BC+CN]）[=12]（[AB+BC+AC]）。

（2）[FG=12]（[AB+AC-BC]）。如圖8所示，延長[AG]、[AF]，與直線[BC]相交于[M]、[N]，∵由（1）的證明過程類似證明[△ABF ]≌[△NBF]，∴[NB=AB]，[AF=NF]，同理[CM=AC]，[AG=MG]，∴[FG]是[△AMN]的中位線，∴[FG=12MN]，∴[BC=BN+CM-MN=AB+AC-2FG ]，∴[FG=12（AB+AC-BC）]，所以線段[FG]與[△ABC]三邊的數量關系是[FG=12]（[AB+AC-BC]）。

評注：本題利用三角形中位線定理證明了一個重要的結論，即從三角形一個頂點向兩條外角平分線作垂線，兩個垂足之間的線段長等于三角形周長的一半；從三角形一個頂點[A]向兩條內角平分線作垂線，兩垂足之間的線段長等于以點[A]為端點的兩條邊的和減去第三邊的差的一半。

四、利用三角形中位線定理證明角相等

利用三角形中位線定理證明角相等，首先要利用中位線定理得到線段之間的數量關系與平行關系，然后結合已知條件得到相等的線段，最后由“等邊對等角”得到相等的角。

［例4］如圖9所示，在四邊形[ABCD]中，[AB=CD]，點[E]、[F]分別是邊[AD]、[BC]的中點，直線[EF]分別與[BA]、[CD]的延長線交于點[M]、[N]。求證：[∠BMF=∠CNF]。

解析：如圖10所示，連接[BD]，取[BD]的中點[P]，連接[PE]、[PF]，可得[PE]為[△ABD]的中位線，[PF]為[△BCD]的中位線，∴[PE]∥[AB]，[PF]∥[CD]，[PE=12AB]，[PF=12CD]，∴[∠PEF=∠BMF]，[∠PFE=∠CNF]，∵[AB=CD]，∴[PE=PF]，∴[∠PFE=∠PEF]，∴[∠BMF=∠CNF]。

評注：連接四邊形的對角線，取對角線的中點，構造三角形中位線，在證明過程中，既利用了三角形中位線的平行關系，也利用了三角形中位線中線段之間的數量關系，即通過“中位線相等”得“兩角相等”，通過“平行”得“同位角相等”，進而得證。

五、利用三角形中位線定理求角的度數

利用三角形中位線定理求角的度數，首先要構造三角形中位線，然后利用三角形中位線獲得線段的平行關系與數量關系，最后結合已知角度與三角形內角和定理求角的度數。

［例5］如圖11所示，在[△ABC]中，[∠A=40°]，[D]、[E]分別在[AB]、[AC]上，[BD=CE]，[BE]、[CD]的中點分別是[M]、[N]，直線[MN]分別交[AB]、[AC]于[P]、[Q]。求[∠APQ]的度數。

解析：如圖12所示，取[BC]的中點[H]，連接[MH]、[NH]，∵[M]、[H]為[BE]、[BC]的中點，∴[MH]是[△BCE]的中位線，∴[MH]∥[EC]，[MH=12EC]。∵[N]、[H]為[CD]、[BC]的中點，∴[NH]是[△BCD]的中位線，∴[NH]∥[BD]，[NH=12BD]。∵[BD=CE]，∴[MH=NH]，∴[∠HMN=∠HNM]，∵[MH]∥[EC]，∴[∠HMN=∠PQA]，同理，[∠HNM=∠QPA]，∴[∠APQ=∠AQP=12×（180°-∠A）=70°]。

評注：本題已知兩條線段的中點，但是這兩條線段并不在同一個三角形中，無法直接利用三角形中位線定理，我們發現線段[BC]分別與有中點的兩條線段在三角形中，當取[BC]的中點[H]，分別連接[MH]、[NH]后，能夠獲得兩條三角形中位線。

六、利用三角形中位線定理判定四邊形的形狀

利用三角形中位線定理判定四邊形的形狀，一般用于判定中點四邊形的形狀，對于任意四邊形的中點四邊形，利用三角形中位線定理可判定其為平行四邊形。當原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形；當原四邊形的對角線互相垂直時，中點四邊形是矩形；當原四邊形的對角線相等且互相垂直時，中點四邊形是正方形。

［例6］我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形。（1）如圖13所示，點[P]是四邊形[ABCD]內一點，且滿足[PA=PB]，[PC=PD]，[∠APB=∠CPD]，點[E]、[F]、[G]、[H]分別為邊[AB]、[BC]、[CD]、[DA]的中點，猜想中點四邊形[EFGH]的形狀，并證明你的猜想。（2）若改變（1）中的條件，使[∠APB=∠CPD=90°]，其他條件不變，直接寫出中點四邊形[EFGH]的形狀（不必證明）。

解析：（1）四邊形[EFGH]是菱形。如圖14所示，連接[AC]、[BD]，∵[∠APB=∠CPD]，∴[∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD]，即[∠APC=∠BPD ]，在[△APC]和[△BPD]中，[AP=BP，∠APC=∠BPDPC=PD，]，

∴[△APC ]≌[△BPD]（SAS），∴[AC=BD]，∵點[E]、[F]、[G]、[H]分別為邊[AB]、[BC]、[CD]、[DA]的中點，∴[EF=12AC]，[FG=12BD]，[EH=12BD]，[GH=12AC]，∴[EF=FG=GH=EH]，∴四邊形[EFGH]是菱形。

（2）四邊形[EFGH]是正方形，設[AC]、[BD]交點為[O]，[AC]與[PD]交于點[M]，[AC]與[EH]交于點[N]，由（1）可得[△APC ]≌[△BPD]，∴[∠ACP=∠BDP]，∵[∠CPD=90°]，∴[∠PDC+∠PCD=90°]，∴[∠ODC+∠OCD=90°]，∴[∠COD=90°]，∴[AC⊥BD]，∵[EH]∥[BD]，[AC]∥[HG]，∴[∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°]，由（1）得四邊形[EFGH]是菱形，∴四邊形[EFGH]是正方形。

評注：中點四邊形是什么四邊形取決于原四邊形的對角線，所以此題必須作輔助線連接兩條對角線。連接四邊形的對角線后，既構造了四條三角形中位線，又構造了手拉手全等模型，通過手拉手全等模型得到四邊形對角線相等，通過三角形中位線定理使中點四邊形的四條邊與原四邊形的對角線之間有了數量關系。

通過上述例題的解析可知，利用三角形中位線定理可以計算線段的長，計算角度，可以證明線段之間的數量關系、角之間的數量關系，還可以判定四邊形的形狀。中位線可以起到橋梁紐帶的作用，在解決平面幾何問題的過程中出奇制勝。當問題中出現中點或中線時，可以考慮應用三角形中位線定理。

（責任編輯 黃桂堅）